3.5 Практикум: распознать правило

9 класс · Алгебра◷ 70–90 минут · можно по станциям◇ Смешанная практикаНужно знать: уроки 3.1–3.4

В учебных заданиях обычно написано «дана арифметическая прогрессия». В жизни такой подсказки нет: есть только числа и описание процесса.

Поэтому здесь первый шаг каждой задачи один и тот же — выяснить, что происходит за один шаг: прибавление или умножение. Разность и знаменатель появятся уже потом.

◎ После урока ты сможешь

• определять вид прогрессии по описанию процесса или по первым членам
• выбирать формулу n-го члена или суммы под конкретный вопрос
• строить процентную модель и доводить ответ до нужной точности
• называть ограничения модели и проверять ответ вторым способом

Как отличить одно от другого

◆ Проверка за два действия

Возьми три подряд идущих члена и посчитай разности и отношения:

• разности одинаковы $\Rightarrow$ арифметическая прогрессия, $d=a_{n+1}-a_n$;
• отношения одинаковы $\Rightarrow$ геометрическая прогрессия, $q=\dfrac{b_{n+1}}{b_n}$;
• ни то ни другое $\Rightarrow$ обычная последовательность, работаем по её правилу.

Постоянная ненулевая последовательность $4,\;4,\;4,\dots$ проходит обе проверки сразу: это и арифметическая прогрессия с $d=0$, и геометрическая с $q=1$.

Станция 1. Что здесь за правило

Первые три члена видны, остальные скрыты. Посчитай разности и отношения и предскажи последний член.

Лаборатория последовательностей

Угадай следующий член по правилу

Каждый следующий член получается из предыдущего по формуле aₙ₊₁ = m·aₙ + c. Меняй m и c и смотри, когда получается арифметическая прогрессия, когда геометрическая, а когда ни та ни другая.

aₙ₊₁ = m·aₙ + c

АрифметическаяГеометрическаяСмешанное правило

Первый член a₁ 2

−+

От −50 до 50, шаг 0,5

Слагаемое c 3

−+

От −20 до 20, шаг 0,5

Множитель m 2

−+

От −4 до 4 без нуля, шаг 0,5

Сколько членов показать 6

−+

Целое число от 3 до 10

Правило: a₁ = 2, aₙ₊₁ = 2·aₙ + 3.

Номер и значение члена

n	1	2	3	4	5	6
aₙ	2	7	17	?	?	?

Последовательность определена только при натуральных n, поэтому на графике стоят отдельные точки, а не сплошная линия.

Мой ответ: a6

Проверить

?

Предскажи a6 по трём первым членам.Сначала посмотри, что происходит при переходе от члена к члену: прибавляется одно и то же число или умножается на одно и то же число.

↺ Вернуть пример

Когда не подходит ни один шаблонРазбираем вместе

Правило $a_1=2$, $a_{n+1}=2a_n+3$ даёт $2,\;7,\;17,\;37,\;77,\;157$.

Разности $5,\;10,\;20,\;40,\;80$ — не постоянны, значит прогрессия не арифметическая. Отношения $3{,}5;\;\approx2{,}43;\;\approx2{,}18$ — тоже разные, значит не геометрическая.

Формулы $n$-го члена для такой последовательности в школьном курсе нет — но каждый её член всё равно вычисляется однозначно, шаг за шагом. Это нормальная, полноценная последовательность.

Станция 2. Тренировочный план

Первый день пробежки — $15$ минут, каждый следующий день на $5$ минут больше. Проверь свой ответ для десятого дня в лаборатории, а для двадцатого посчитай по формуле.

Лаборатория последовательностей

Угадай следующий член по правилу

Каждый следующий член получается из предыдущего по формуле aₙ₊₁ = m·aₙ + c. Меняй m и c и смотри, когда получается арифметическая прогрессия, когда геометрическая, а когда ни та ни другая.

aₙ₊₁ = m·aₙ + c

АрифметическаяГеометрическаяСмешанное правило

Первый член a₁ 15

−+

От −50 до 50, шаг 0,5

Разность d (слагаемое c) 5

−+

От −20 до 20, шаг 0,5

Сколько членов показать 10

−+

Целое число от 3 до 10

Правило: a₁ = 15, aₙ₊₁ = 1·aₙ + 5.

Номер и значение члена

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
aₙ	15	20	25	?	?	?	?	?	?	?

Последовательность определена только при натуральных n, поэтому на графике стоят отдельные точки, а не сплошная линия.

Мой ответ: a10

Проверить

?

Предскажи a10 по трём первым членам.Сначала посмотри, что происходит при переходе от члена к члену: прибавляется одно и то же число или умножается на одно и то же число.

↺ Вернуть пример

Два вопроса — две формулыРазбираем вместе

Здесь $a_1=15$ и $d=5$.

Сколько минут в двадцатый день? Нужен $n$-й член:

$a_{20}=15+19\cdot5=110\text{ мин}.$

Сколько всего за двадцать дней? Нужна сумма:

$S_{20}=\frac{15+110}{2}\cdot20=62{,}5\cdot20=1250\text{ мин}=20\text{ ч }50\text{ мин}.$

Путать эти вопросы легко, а цена ошибки велика: $110$ минут и $1250$ минут — это разные величины с разным смыслом.

Станция 3. Деньги во времени

Вклад $50\,000$ ₽ под $9\,\%$ годовых на $4$ года. Посчитай сумму при сложном проценте сам, округли до целых рублей и проверь.

Лаборатория роста

Посчитай, куда придёт сложный процент

Две модели стартуют из одного числа. Первая каждый шаг прибавляет одно и то же, вторая — умножает на одно и то же. Обе нарисованы в одном масштабе, поэтому разрыв между ними виден честно.

A₀ + kn против A₀qⁿ

Линейная модель = простой процентСвоя прибавка за шаг

Начальная величина A₀ 50000

−+

От 1000 до 200000, шаг 1000

Ставка за шаг p, % 9

−+

От -50 до 50, шаг 0.5

Число шагов n 4

−+

Целое число от 1 до 15

Линейная модель: aₙ = 50000 + 4500·n. Экспоненциальная модель: bₙ = 50000·1,09ⁿ.

Значения после каждого шага

n	0	1	2	3	4
равные прибавки	50000,00	54500,00	?	?	?
равные множители	50000,00	54500,00	?	?	?

Обе модели определены только при целых n, поэтому точки соединены лишь для того, чтобы взгляд не терял линию: сами значения существуют только в отмеченных узлах.

Мой ответ (сложный процент, до целых)

Проверить

?

Посчитай сам: чему равна величина после 4 шагов при сложном проценте?Каждый шаг умножает величину на один и тот же множитель 1,09. Ответ округли до целых.

↺ Вернуть пример

◆ Паспорт результата

Рядом с каждым числом запиши: что оно измеряет, в какой единице получено, точное оно или округлённое и какое допущение модели использовано. Для денег — округление до копеек; для населения — до целых людей; для физического процесса — с оговоркой, что ставка постоянна.

Проверка понимания

Число заражённых растёт: 200, 240, 288, 345,6… Какая это модель?

• А. Арифметическая прогрессия: прибавляется примерно 40–58
• Б. Ни то ни другое: числа некрасивые
• В. Геометрическая прогрессия с q = 1,2

Итоговый набор задач

1. Последовательность задана формулой $a_n=5n-3$. Арифметическая ли она? Найди $d$ и $S_{10}$.
2. Последовательность задана формулой $b_n=3\cdot4^{\,n}$. Геометрическая ли она? Найди $q$ и $b_1$.
3. Первый день пробежки — $15$ минут, каждый следующий на $5$ минут больше. Сколько минут в двадцатый день и сколько всего за $20$ дней?
4. Сначала слух знают $2$ человека, и каждый час число знающих утраивается. Сколько человек будут знать через $5$ часов?
5. Найди сумму всех трёхзначных чисел, кратных $9$.
6. Найди сумму $1+3+9+\dots+3^8$.
7. Вклад $50\,000$ ₽ под $9\,\%$ годовых на $4$ года, сложный процент. Ответ округли до копеек.
8. Цена $4000$ ₽ дважды выросла на $5\,\%$, а потом снизилась на $10\,\%$. Какой стала цена?
9. В арифметической прогрессии $a_5=17$ и $a_{12}=45$. Найди $a_1$, $d$ и $S_{12}$.
10. В геометрической прогрессии $b_1=2$ и $S_3=26$. Найди $q$.
11. Первые три члена последовательности равны $2$, $4$, $8$. Приведи два разных продолжения и объясни, почему по трём членам судить нельзя.
12. Является ли число $2024$ членом прогрессии $5,\;12,\;19,\;\dots$?
13. Модель распространения слуха предполагает утроение каждый час. Какое ограничение реальности она не учитывает?
14. Величина дважды уменьшилась на $50\,\%$. Стала ли она равна нулю? Какая её доля осталась?

Ответы, модели и проверки

1. $a_{n+1}-a_n=5(n+1)-3-(5n-3)=5$ — разность постоянна, значит прогрессия арифметическая, $d=5$. Далее $a_1=2$, $a_{10}=47$, $S_{10}=\dfrac{2+47}{2}\cdot10=245$.
2. $\dfrac{b_{n+1}}{b_n}=\dfrac{3\cdot4^{\,n+1}}{3\cdot4^{\,n}}=4$ — отношение постоянно, прогрессия геометрическая, $q=4$ и $b_1=3\cdot4=12$.
3. $a_{20}=15+19\cdot5=110$ мин; $S_{20}=\dfrac{15+110}{2}\cdot20=1250$ мин $=20$ ч $50$ мин.
4. $2\cdot3^5=2\cdot243=486$ человек.
5. Числа $108,\;117,\;\dots,\;999$: $d=9$, $999=108+9(n-1)$ даёт $n=100$. Сумма $S_{100}=\dfrac{108+999}{2}\cdot100=55\,350$.
6. Это девять членов геометрической прогрессии с $b_1=1$ и $q=3$: $S_9=\dfrac{3^9-1}{3-1}=\dfrac{19\,683-1}{2}=9841$.
7. $50\,000\cdot1{,}09^4=50\,000\cdot1{,}41158161=70\,579{,}0805$, то есть $70\,579{,}08$ ₽.
8. Множитель $1{,}05\cdot1{,}05\cdot0{,}9=0{,}99225$, поэтому цена стала $4000\cdot0{,}99225=3969$ ₽ — чуть ниже исходной.
9. $d=\dfrac{45-17}{12-5}=\dfrac{28}{7}=4$; $a_1=17-4\cdot4=1$; $S_{12}=\dfrac{1+45}{2}\cdot12=276$.
10. $S_3=2\left(1+q+q^2\right)=26$, откуда $q^2+q-12=0$ и $q=3$ либо $q=-4$. Обе прогрессии подходят: $2+6+18=26$ и $2-8+32=26$. Два ответа — это полноценный результат.
11. Например, $a_n=2^n$ даёт $16$, а $a_n=n^2-n+2$ даёт $14$. Три члена — это начало последовательности, а не её правило.
12. Здесь $a_n=7n-2$. Из $7n-2=2024$ следует $7n=2026$, но $2026$ не делится на $7$ ($7\cdot289=2023$). Значит, нет.
13. Число людей конечно, поэтому неограниченный рост невозможен: рано или поздно новых незнающих просто не останется, и модель перестанет работать. Она годится только для начального участка.
14. Множитель $0{,}5\cdot0{,}5=0{,}25$: осталась четверть исходной величины. Нулём она не станет никогда — сколько бы раз мы ни делили пополам.

Рефлексия проекта

1. В какой задаче ответ был точным, а в какой — округлённым? Как ты это отметил в записи?
2. Какую задачу можно проверить вторым способом, а какую — только пересчётом?
3. Где твоя модель заведомо расходится с реальностью и на каком участке ей ещё можно доверять?

Возможные ответы: суммы прогрессий и денежные множители считаются точно, а население и число людей округляются; задачу $9$ можно проверить и через $a_n$, и через сумму крайних членов; экспоненциальные модели роста верны лишь на начальном участке — дальше вмешиваются ограничения ресурса.

✦ Мост дальше

В 10–11 классах равные множители перестанут быть привязаны к целым шагам: появится показательная функция, для которой имеет смысл и «полтора года», и логарифм, отвечающий на вопрос «за сколько шагов». Убывающая геометрическая прогрессия превратится в бесконечную сумму с конечным значением, а разности и отношения — в производную.

Всё это вырастет из одного различия, которое ты уже освоил: прибавлять одно и то же или умножать на одно и то же.

← Сложный процент и рост · К обзору 9 класса →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным