5.2 Координатный метод

9 класс · Геометрия◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: действия с векторами, теорема Пифагора, уравнение прямой y = kx + b

Две вышки стоят в точках $A(-2;1)$ и $B(4;9)$ на плане в километрах. Между ними нужно поставить ретранслятор — ровно посередине — и очертить круг, в котором сигнал доходит до обеих вышек.

Ни линейки, ни транспортира. Только координаты. И этого достаточно.

Прогноз до вычислений

Вектор $\vec{AB}$ идёт из $A(-2;1)$ в $B(4;9)$ .

Как, по-твоему, получить его координаты: сложить координаты точек, вычесть или взять полусумму? И будет ли $\vec{BA}$ тем же вектором?

Управляемый эксперимент

Отложи от начала координат два вектора — к точке $A$ и к точке $B$ . Разность $\vec a - \vec b$ на чертеже идёт из конца $\vec b$ в конец $\vec a$ : это и есть вектор между точками.

a: координата x4

От −8 до 8, шаг 1

a: координата y6

От −8 до 8, шаг 1

b: координата x−2

От −8 до 8, шаг 1

b: координата y1

От −8 до 8, шаг 1

Координата x вектора a − b

Координата y вектора a − b

Найди координаты вектора a − b и введи их в поля ниже.Складывать и вычитать координаты нужно по отдельности: отдельно x, отдельно y.

Квадрат длины считается точно: |a|² = 52, |b|² = 5.

Поменяй координаты несколько раз. Правило одно и то же: конец минус начало.

Координаты вектора и его длина

Длина вектора — это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $|x|$ и $|y|$ , поэтому

$|\vec a| = \sqrt{x^2+y^2}, \qquad AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}.$

Вторая формула — это теорема Пифагора, записанная в координатах. Ничего нового в ней нет, кроме удобства.

Паспорт отрезкаРазбираем вместе

Даны $A(-2;1)$ и $B(4;9)$ .

Вектор: $\vec{AB} = (4-(-2);\ 9-1) = (6;8)$ .

Длина: $AB = \sqrt{6^2+8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$ км.

Середина: $M\left(\dfrac{-2+4}{2};\ \dfrac{1+9}{2}\right) = M(1;5)$ — там и встанет ретранслятор.

Проверка: $AM = \sqrt{3^2+4^2} = 5$ и $MB = \sqrt{3^2+4^2} = 5$ . Половинки равны, значит середина найдена верно.

Уравнение окружности

Точка $M(x;y)$ лежит на окружности с центром $C(x_0;y_0)$ и радиусом $R$ ровно тогда, когда $CM = R$ . Записав расстояние формулой и возведя обе части в квадрат, получаем уравнение.

Круг связиРазбираем вместе

Ретранслятор стоит в $M(1;5)$ , до каждой вышки — $5$ км. Значит, зона уверенного приёма — круг радиуса $5$ с центром в $M$ :

$(x-1)^2+(y-5)^2 = 25.$

Попадает ли в него посёлок $P(4;9)$ ? Считаем левую часть: $(4-1)^2+(9-5)^2 = 9+16 = 25$ . Равенство выполнено — посёлок лежит ровно на границе.

А посёлок $Q(0;0)$ ? $(0-1)^2+(0-5)^2 = 1+25 = 26 > 25$ — он снаружи, связи нет.

Иногда уравнение окружности дают в «раскрытом» виде. Тогда его собирают обратно выделением полных квадратов:

$x^2+y^2-6x+4y-12=0 \;\Longleftrightarrow\; (x-3)^2+(y+2)^2 = 25,$

потому что $x^2-6x = (x-3)^2-9$ и $y^2+4y = (y+2)^2-4$ , а $12+9+4=25$ . Центр — $(3;-2)$ , радиус — $5$ .

Уравнение прямой

Любую прямую на плоскости можно задать уравнением

$ax+by+c=0,$

где $a$ и $b$ не равны нулю одновременно. Вектор $\vec n(a;b)$ перпендикулярен этой прямой — его называют вектором нормали, а вектор $(-b;a)$ идёт вдоль прямой и называется направляющим.

Частные случаи узнаются сразу: $b=0$ даёт вертикальную прямую $x = -\tfrac{c}{a}$ , а $a=0$ — горизонтальную $y=-\tfrac{c}{b}$ . Если $b \ne 0$ , уравнение приводится к знакомому виду $y = kx + m$ .

Прямая через две точкиРазбираем вместе

Найдём уравнение прямой через $A(1;2)$ и $B(3;6)$ .

Направляющий вектор: $\vec{AB} = (2;4)$ , его можно сократить до $(1;2)$ . Тогда нормаль — вектор $(2;-1)$ , и уравнение имеет вид

$2x - y + c = 0.$

Подставим координаты точки $A$ : $2\cdot1 - 2 + c = 0$ , значит $c=0$ . Получаем $2x-y=0$ , то есть $y = 2x$ .

Проверка по точке $B$ : $2\cdot3 - 6 = 0$ . Верно.

Серединный перпендикулярРазбираем вместе

Где находятся точки, одинаково удалённые от $A(1;1)$ и $B(5;3)$ ?

Это серединный перпендикуляр к отрезку $AB$ . Он проходит через середину $M(3;2)$ , а вектор $\vec{AB} = (4;2)$ служит для него нормалью. Значит, уравнение имеет вид $4x+2y+c=0$ .

Подставляем $M$ : $12+4+c=0$ , откуда $c=-16$ . Сокращаем на $2$ :

$2x+y-8=0.$

Проверка: точка $(4;0)$ удовлетворяет уравнению, так как $2\cdot4+0-8=0$ . И расстояния до концов действительно равны: до $A$ это $\sqrt{3^2+(-1)^2}=\sqrt{10}$ , до $B$ это $\sqrt{(-1)^2+(-3)^2}=\sqrt{10}$ .

Где теряются знаки и квадраты

Знак в уравнении окружности. Центру $C(3;-2)$ соответствует $(x-3)^2+(y+2)^2$ , а не $(x-3)^2+(y-2)^2$ : в формуле стоит минус координата центра, поэтому минус на минус даёт плюс.

Радиус вместо его квадрата. Справа в уравнении стоит $R^2$ . Для $R=4$ это $16$ , а не $4$ .

Середина через разность. В формуле середины стоит сумма координат, делённая пополам. Полуразность даёт координаты половины вектора $\vec{AB}$ , а вовсе не точку на отрезке.

Проверка понимания

Какое уравнение задаёт окружность с центром C(−3;2) и радиусом 4?

Практика

Точки $A(1;-3)$ и $B(7;5)$ . Найди координаты $\vec{AB}$ , длину $AB$ и середину отрезка.
Найди длину вектора $\vec a(-5;12)$ .
Найди расстояние между $P(-2;-1)$ и $Q(3;11)$ .
Точка $M(2;-1)$ — середина отрезка $AB$ , причём $A(-3;4)$ . Найди координаты $B$ .
Запиши уравнение окружности с центром $C(2;-5)$ и радиусом $3$ .
Какую фигуру задаёт уравнение $x^2+y^2-6x+4y-12=0$ ? Найди её центр и радиус.
Лежит ли точка $(6;2)$ на окружности $(x-3)^2+(y+2)^2=25$ ? А точка $(0;0)$ ?
Запиши уравнение окружности, для которой отрезок с концами $A(-1;2)$ и $B(5;10)$ — диаметр.
Запиши уравнение прямой, проходящей через $A(0;0)$ и $B(2;3)$ .
Запиши уравнения прямой $AB$ при $A(-2;1)$ , $B(-2;7)$ и прямой $CD$ при $C(0;5)$ , $D(4;5)$ .
Найди уравнение серединного перпендикуляра к отрезку с концами $A(1;1)$ и $B(5;3)$ .
Докажи, что треугольник с вершинами $A(0;0)$ , $B(6;0)$ , $C(3;3)$ равнобедренный, и найди длину медианы, проведённой из вершины $C$ .

Ответы и пояснения

$\vec{AB} = (6;8)$ ; $AB = \sqrt{36+64} = 10$ ; середина $M(4;1)$ .
$|\vec a| = \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13$ .
$\vec{PQ} = (5;12)$ , поэтому $PQ = \sqrt{25+144} = 13$ .
Из $x_M = \dfrac{x_A+x_B}{2}$ получаем $x_B = 2\cdot2-(-3) = 7$ и $y_B = 2\cdot(-1)-4 = -6$ ; значит $B(7;-6)$ .
$(x-2)^2+(y+5)^2 = 9$ .
Окружность: $(x-3)^2+(y+2)^2 = 25$ , центр $(3;-2)$ , радиус $5$ .
Для $(6;2)$ : $3^2+4^2 = 25$ — лежит. Для $(0;0)$ : $(-3)^2+2^2 = 13 \ne 25$ — не лежит (точка внутри, так как $13<25$ ).
Центр — середина $(2;6)$ ; $\vec{AB} = (6;8)$ , длина $10$ , радиус $5$ . Уравнение: $(x-2)^2+(y-6)^2 = 25$ .
Направляющий вектор $(2;3)$ , нормаль $(3;-2)$ , прямая проходит через начало координат: $3x-2y=0$ , то есть $y = 1{,}5x$ .
$x = -2$ (то есть $x+2=0$ ) и $y = 5$ (то есть $y-5=0$ ).
Середина $(3;2)$ , нормаль $\vec{AB} = (4;2)$ : $4x+2y-16=0$ , после сокращения $2x+y-8=0$ .
$AC = \sqrt{9+9} = 3\sqrt2$ и $BC = \sqrt{9+9} = 3\sqrt2$ — стороны равны. Середина $AB$ — точка $(3;0)$ , поэтому медиана из $C(3;3)$ имеет длину $3$ .

Итог

Координаты вектора — это разность координат конца и начала; длина считается по теореме Пифагора.
Середина отрезка — полусумма координат концов; обратная задача решается той же формулой.
Уравнение окружности $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$ — это записанное расстояние; уравнение прямой $ax+by+c=0$ несёт в коэффициентах вектор нормали.
Координатный метод заменяет догадку на вычисление: проверить принадлежность точки фигуре можно подстановкой.

Дальше мы научимся доставать из координат ещё и угол. Для этого потребуется новая операция, у которой два вектора превращаются в одно число.

← Векторы и действия с ними · Дальше: скалярное произведение →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.