4.2 Теорема синусов

9 класс · Геометрия◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: теорема косинусов, синус угла от 0° до 180°, вписанные углы

На другом берегу реки стоит одинокое дерево $C$. Переплывать с рулеткой никто не будет. Зато вдоль своего берега можно отмерить базис $AB = 50$ м и измерить теодолитом два угла: $\angle A = 60°$ и $\angle B = 45°$.

Известны сторона и два прилежащих к ней угла. Теорема косинусов тут не поможет — в её формулу входят две стороны, а у нас всего одна.

◎ После урока ты сможешь

• применять теорему синусов для поиска стороны и синуса угла
• связывать отношение «сторона к синусу» с диаметром описанной окружности
• вычислять площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними
• выбирать между теоремой синусов и теоремой косинусов по набору данных

Прогноз до вычислений

Третий угол найти легко: $\angle C = 180° - 60° - 45° = 75°$.

Теперь ответь без формул: какая сторона длиннее — $AC$ или $BC$? Против какого угла лежит каждая из них? Запиши предположение и оставь его до конца урока.

Управляемый эксперимент

Задай сторону между двумя углами и меняй сами углы. Следи не за длинами по отдельности, а за отношением каждой стороны к синусу противолежащего угла.

Лаборатория решения треугольников

Достроить треугольник по трём числам

Чертёж строится из данных, а не рисуется на глаз: длины и углы на картинке настоящие. Меняй набор данных и следи, какая теорема нужна первой.

исследование

Три стороныДве стороны и угол между нимиСторона и два угла

Сторона c = AB10 м

−+

От 3 до 15 м

Угол A60°

−+

От 15° до 150°

Угол B45°

−+

Сумма A и B не больше 165°

△

Треугольник остроугольный: наибольший угол равен 75°.Стороны: a = 8,97, b = 7,32, c = 10 м. Углы: A = 60°, B = 45°, C = 75°. Площадь 31,7 м², радиус описанной окружности 5,18 м.

↺ Вернуть пример

Проверь на нескольких наборах: три отношения $\dfrac{a}{\sin A}$, $\dfrac{b}{\sin B}$, $\dfrac{c}{\sin C}$ всё время совпадают. Причём равное значение получается и в остроугольном, и в тупоугольном треугольнике.

Теорема синусов

∴ Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}.$

Доказательство помещается в две строки. Проведём высоту $h$ из вершины $C$ к прямой $AB$. Из прямоугольных треугольников, которые она отсекает,

$h = b\sin A \quad \text{и} \quad h = a\sin B.$

Значит, $b\sin A = a\sin B$, откуда $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}$. Третье отношение получается высотой из другой вершины.

✦ Почему тупой угол не ломает доказательство

Если угол $A$ тупой, основание высоты падает вне отрезка $AB$, и в прямоугольном треугольнике участвует смежный угол $180° - A$. Но $\sin(180° - A) = \sin A$ — тот же множитель. Расширенное определение синуса из прошлого урока сделано ровно для этого.

Из теоремы сразу следует полезное правило: против большей стороны лежит больший угол. Формулу удобно писать в двух видах — стороной наружу для поиска стороны и синусом наружу для поиска угла:

$a = \frac{b\sin A}{\sin B}, \qquad \sin B = \frac{b\sin A}{a}.$

Расстояние до дерева на другом берегуРазбираем вместе

Дано: $c = AB = 50$ м, $\angle A = 60°$, $\angle B = 45°$, значит $\angle C = 75°$.

Сторона $AC$ лежит против угла $B$:

$AC = b = \frac{c\sin B}{\sin C} = \frac{50\cdot\sin 45°}{\sin 75°} \approx \frac{50\cdot 0{,}7071}{0{,}9659} \approx 36{,}60 \text{ м}.$

Сторона $BC$ лежит против угла $A$:

$BC = a = \frac{c\sin A}{\sin C} = \frac{50\cdot\sin 60°}{\sin 75°} \approx \frac{50\cdot 0{,}8660}{0{,}9659} \approx 44{,}83 \text{ м}.$

Прогноз подтвердился: $60° > 45°$, поэтому $BC > AC$. Проверить ответ можно теоремой косинусов: $50^2 + 36{,}60^2 - 2\cdot50\cdot36{,}60\cdot\cos 60° \approx 2500 + 1339{,}6 - 1830 = 2009{,}6$, а $44{,}83^2 \approx 2009{,}7$. Сходится.

Обзорно: общее отношение — это диаметр

У трёх равных отношений есть геометрический смысл. Опишем около треугольника окружность радиуса $R$ и проведём из вершины $B$ диаметр $BB'$.

Угол $BCB'$ опирается на диаметр, значит он прямой. Углы $A$ и $B'$ опираются на одну и ту же дугу $BC$, значит они равны. Из прямоугольного треугольника $BCB'$

$\sin B' = \frac{BC}{BB'} = \frac{a}{2R}, \qquad \text{а так как } \sin B' = \sin A, \text{ то } \frac{a}{\sin A} = 2R.$

∴ Расширенная теорема синусов

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R,$

где $R$ — радиус окружности, описанной около треугольника.

Проверка на знакомом случае: если $C = 90°$, то $\dfrac{c}{\sin 90°} = c = 2R$. Гипотенуза — диаметр описанной окружности, а её середина равноудалена от всех трёх вершин. Это в точности то, что ты знал про вписанный угол, опирающийся на диаметр.

Площадь через синус

Та же высота $h = b\sin A$ даёт формулу площади, которая не требует строить высоту вообще.

∴ Площадь по двум сторонам и углу между ними

$S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B = \frac{1}{2}ab\sin C.$

Половина произведения двух сторон на синус угла между ними. Угол берётся тот, который образован именно этими двумя сторонами, — как и в теореме косинусов.

Две площади и один выводРазбираем вместе

Пусть $b = 6$, $c = 10$, $\angle A = 30°$. Тогда

$S = \frac{1}{2}\cdot6\cdot10\cdot\sin 30° = 30\cdot\frac{1}{2} = 15.$

Теперь возьмём $b = 4$, $c = 9$, $\angle A = 150°$:

$S = \frac{1}{2}\cdot4\cdot9\cdot\sin 150° = 18\cdot\frac{1}{2} = 9.$

Обрати внимание: у углов $30°$ и $150°$ синусы совпадают. Значит, два разных по форме треугольника с одинаковыми сторонами $b$ и $c$ имеют одинаковую площадь. Наибольшая площадь при данных $b$ и $c$ получается при $A = 90°$, когда $\sin A = 1$.

Проверка понимания

В треугольнике известны сторона a = 12, угол A = 40° и угол B = 65°. Что найдётся быстрее всего?

• А. Сторона b по теореме косинусов
• Б. Сторона b по теореме синусов
• В. Ничего: данных не хватает

! Где ошибаются с теоремой синусов

Соотносят сторону не с тем углом. В пропорции сторона стоит рядом с синусом противолежащего ей угла, а не прилежащего. Прежде чем писать дробь, найди на чертеже угол, который смотрит на эту сторону.

Получают $\sin B = 1{,}3$ и продолжают считать. Синус не бывает больше единицы. Такой результат означает, что треугольника с данными числами не существует, — это честный ответ, а не ошибка вычислений.

Считают, что синус однозначно задаёт угол. У $\sin B = 0{,}5$ два решения: $30°$ и $150°$. Об этой ловушке — весь следующий урок.

Берут в формуле площади угол не между данными сторонами. $S = \dfrac{1}{2}bc\sin A$ работает, только если угол $A$ образован сторонами $b$ и $c$.

Практика

1. В треугольнике $a = 8$, $\angle A = 30°$, $\angle B = 45°$. Найди $b$.
2. В треугольнике $a = 10$ и $\angle A = 30°$. Найди радиус описанной окружности.
3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна $13$. Найди радиус описанной окружности.
4. Найди радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $6$.
5. В треугольнике $\angle A = 45°$, $\angle B = 60°$, $c = 10$. Найди $a$ и $b$.
6. Найди площадь треугольника со сторонами $6$ и $10$ и углом $30°$ между ними.
7. Найди площадь треугольника со сторонами $4$ и $9$ и углом $150°$ между ними.
8. Площадь треугольника равна $24$, две его стороны равны $8$ и $12$. Найди угол между ними.
9. В треугольнике $a = 7$ и $\angle A = 60°$. Найди сторону, лежащую против угла $45°$.
10. В треугольнике $\angle A = 120°$, $a = 14$, $b = 6$. Найди $\sin B$ и угол $B$.

Ответы и пояснения

1. $b = \dfrac{8\sin 45°}{\sin 30°} = \dfrac{8\cdot 0{,}7071}{0{,}5} = 8\sqrt{2} \approx 11{,}31$.
2. $2R = \dfrac{10}{\sin 30°} = 20$, поэтому $R = 10$.
3. $R = \dfrac{13}{2} = 6{,}5$: гипотенуза является диаметром.
4. $2R = \dfrac{6}{\sin 60°} = \dfrac{6}{\sqrt{3}/2} = 4\sqrt{3}$, поэтому $R = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46$.
5. $\angle C = 75°$. Тогда $a = \dfrac{10\sin 45°}{\sin 75°} = 10(\sqrt{3}-1) \approx 7{,}32$ и $b = \dfrac{10\sin 60°}{\sin 75°} \approx 8{,}97$.
6. $S = \dfrac{1}{2}\cdot6\cdot10\cdot\dfrac{1}{2} = 15$.
7. $S = \dfrac{1}{2}\cdot4\cdot9\cdot\dfrac{1}{2} = 9$.
8. $\sin \alpha = \dfrac{2S}{bc} = \dfrac{48}{96} = 0{,}5$, поэтому $\alpha = 30°$ или $\alpha = 150°$ — оба варианта дают площадь $24$.
9. $b = \dfrac{7\sin 45°}{\sin 60°} = \dfrac{7\sqrt{6}}{3} \approx 5{,}72$.
10. $\sin B = \dfrac{6\sin 120°}{14} = \dfrac{3\sqrt{3}}{14} \approx 0{,}371$, откуда $B \approx 21{,}8°$. Тупой вариант $158{,}2°$ отпадает: в треугольнике не может быть двух тупых углов.

Итог

• Теорема синусов: $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$.
• Она работает там, где сторона и противолежащий ей угол известны в паре, и позволяет добраться до остальных элементов.
• Общее отношение равно диаметру описанной окружности; для прямоугольного треугольника это даёт знакомое $R = \dfrac{c}{2}$.
• Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними.
• Синус не различает угол и смежный с ним, поэтому по синусу угол восстанавливается не всегда однозначно.

Теперь у нас два инструмента. Осталось научиться выбирать между ними по набору исходных данных и понять, когда данных достаточно для единственного ответа, а когда нет.

← Теорема косинусов · Дальше: решение треугольников →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным