2.2 Графики и периодичность

10 класс · Алгебра◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: единичная окружность, радианы, понятие функции и её графика

Прилив в порту повторяется примерно каждые $12$ часов. Напряжение в розетке возвращается к прежнему значению $50$ раз в секунду. Кабинка колеса обозрения через полный оборот снова оказывается на той же высоте.

Всё это — один и тот же математический сюжет: точка ходит по окружности, а мы следим за одной её координатой. График такого движения и есть синусоида.

◎ После урока ты сможешь

• объяснять, как график синуса получается из движения точки по окружности
• формулировать определение периодической функции и находить период
• называть область определения, множество значений, нули и чётность синуса, косинуса и тангенса
• находить наибольшее и наименьшее значения выражений вида a·sin x + b

Прогноз до вычислений

Точка едет по единичной окружности с постоянной скоростью. Мы записываем только её ординату и откладываем её вправо по мере роста угла.

Ответь до эксперимента: сколько раз на промежутке от $0$ до $4\pi$ ордината окажется равной $0{,}5$? Ноль, один, два, четыре или бесконечно много?

Управляемый эксперимент

Слева точка идёт по окружности, справа её координата откладывается по вертикали. Меняй аргумент и следи, как связаны две картинки. Включи отметки через период и проверь: точки, отличающиеся на $2\pi$, лежат на одной высоте.

Лаборатория тригонометрических функций

От окружности к синусоиде

График не нарисован от руки: каждая его точка получена из координат точки поворота.

исследование

y = sin xy = cos x

Аргумент60°

−+

От -360° до 360°, шаг 15°; стрелки ↑ и ↓ тоже работают.

Отметки через периодвидныСкрыть точки x ± 2πТочки, отличающиеся на полный оборот, обязаны лежать на одной высоте.

∿

sin 60° = sin π/3 = √3/2 ≈ 0,866Такое же значение функция принимает в точках −300° и 420°: сдвиг на полный оборот возвращает точку окружности на место. Поэтому период равен 2π.

Ломаная графика построена по 241 вычисленным точкам, а не нарисована по памяти. Высота графика над осью в каждой точке равна ординате соответствующей точки окружности.

↺ Вернуть пример

График не нарисован по памяти — каждая точка получена из координат точки поворота. Именно поэтому он выглядит одинаково на каждом отрезке длины $2\pi$.

Периодичность

∴ Определение

Функция $f$ называется периодической, если существует такое число $T\ne 0$, что для всякого $x$ из области определения числа $x+T$ и $x-T$ тоже принадлежат области определения и

$f(x+T)=f(x).$

Число $T$ называют периодом. Наименьший положительный период называют основным; для синуса и косинуса он равен $2\pi$, для тангенса — $\pi$.

Если $T$ — период, то периодами будут и $2T$, $3T$, $-T$. Поэтому «период» без уточнения обычно означает основной.

Почему период синуса именно 2π, а не πРазбираем вместе

Проверим, годится ли $T=\pi$. Определение требует равенства при всех $x$, поэтому достаточно одного контрпримера.

Возьмём $x=\dfrac{\pi}{2}$:

$\sin\left(\frac{\pi}{2}+\pi\right)=\sin\frac{3\pi}{2}=-1, \qquad \sin\frac{\pi}{2}=1.$

Числа $-1$ и $1$ различны, значит $\pi$ периодом не является. А вот $2\pi$ работает всегда: поворот на полный оборот возвращает точку окружности на место, и ордината не меняется.

Обрати внимание на ловушку: при $x=0$ равенство $\sin(0+\pi)=\sin 0$ верно, ведь обе части равны нулю. Одна удачная точка ничего не доказывает.

Паспорт трёх функций

∴ Синус и косинус

$y=\sin x$: область определения $\mathbb{R}$, множество значений $[-1;1]$, период $2\pi$, функция нечётная $\big(\sin(-x)=-\sin x\big)$, нули $x=\pi n$, наибольшее значение достигается при $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$.

$y=\cos x$: область определения $\mathbb{R}$, множество значений $[-1;1]$, период $2\pi$, функция чётная $\big(\cos(-x)=\cos x\big)$, нули $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$, наибольшее значение при $x=2\pi n$.

Здесь и дальше $n\in\mathbb{Z}$.

Чётность видна прямо на окружности: точки поворота на $\alpha$ и на $-\alpha$ симметричны относительно оси абсцисс. Абсцисса у них общая — отсюда $\cos(-x)=\cos x$. Ординаты противоположны — отсюда $\sin(-x)=-\sin x$.

Графики синуса и косинуса — одна и та же кривая, сдвинутая вдоль оси $x$:

$\cos x=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right).$

Про сдвиги графика ты уже знаешь из преобразований графиков: прибавление к аргументу сдвигает картинку влево.

∴ Тангенс

$y=\operatorname{tg} x$: область определения — все числа, кроме $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$; множество значений — вся числовая прямая $\mathbb{R}$; период $\pi$; функция нечётная; нули $x=\pi n$.

В точках $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$ косинус обращается в ноль, поэтому тангенса там нет. График распадается на отдельные ветви, а прямые $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$ служат вертикальными асимптотами: ветвь подходит к такой прямой сколь угодно близко, но никогда её не достигает.

◆ Асимптота — старое знакомство под новым именем

Само явление ты видел ещё в галерее графиков 8 класса: ветви гиперболы $y=\dfrac{k}{x}$ подходят к осям сколь угодно близко, но не касаются их. Тогда это описывали словами — теперь у такой прямой есть имя.

Асимптота графика — прямая, к которой график приближается сколь угодно близко, когда точка уходит по нему всё дальше (вдоль оси или к «запретному» значению аргумента). Слово ещё встретится: у показательной функции асимптотой окажется ось $x$, у логарифмической — ось $y$.

Период тангенса вдвое меньше именно потому, что тангенс — отношение: при повороте на $\pi$ обе координаты меняют знак, а их частное знак сохраняет.

Значения выражений вида a·sin x + b

Множество значений синуса известно, и этого достаточно.

Наибольшее и наименьшее значения y = 3 sin x − 1Разбираем вместе

Синус принимает все значения от $-1$ до $1$ и никакие другие:

$-1\le \sin x\le 1.$

Умножим на положительное число $3$ — знаки неравенств сохранятся:

$-3\le 3\sin x\le 3.$

Вычтем единицу:

$-4\le 3\sin x-1\le 2.$

Значит, $E(y)=[-4;2]$. Наибольшее значение $2$ достигается там, где $\sin x=1$, то есть при $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$; наименьшее $-4$ — при $x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$.

Осторожно с отрицательным множителем: у функции $y=4-5\sin x$ наибольшее значение $9$ получается при $\sin x=-1$, а не при $\sin x=1$.

Проверка на косинусе

Переключи лабораторию на косинус и убедись, что связь та же, только снимается другая координата.

Лаборатория тригонометрических функций

От окружности к синусоиде

График не нарисован от руки: каждая его точка получена из координат точки поворота.

задача

y = sin xy = cos x

Аргумент120°

−+

От -360° до 360°, шаг 15°; стрелки ↑ и ↓ тоже работают.

Отметки через периодвидныСкрыть точки x ± 2πТочки, отличающиеся на полный оборот, обязаны лежать на одной высоте.

Значение функции (до сотых)

Проверить

?

Чему равно cos 120°?Найди точку поворота на окружности и сними нужную координату. Ответ вводи с точностью до сотых.

Ломаная графика построена по 241 вычисленным точкам, а не нарисована по памяти. Высота графика над осью в каждой точке равна абсциссе соответствующей точки окружности.

↺ Вернуть пример

! Где обычно теряют задачу

Считают период тангенса равным $2\pi$. Он равен $\pi$: ветви графика повторяются вдвое чаще, чем волны синуса.

Проверяют период в одной точке. Равенство $f(x+T)=f(x)$ должно выполняться при всех $x$. Одна удачная точка не доказывает ничего, зато одна неудачная опровергает всё.

Ищут наибольшее значение $4-5\sin x$ при $\sin x=1$. Перед синусом стоит минус, поэтому максимум выражения даёт минимум синуса.

Пишут $\sin(-x)=\sin x$. Нечётна именно синусоида; чётный — косинус.

Проверка понимания

Чему равен основной период функции y = tg x?

• А. π
• Б. 2π
• В. π/2

Практика

1. Какие из функций $y=\sin x$, $y=\cos x$, $y=\operatorname{tg} x$ чётные, а какие нечётные?
2. Найди все нули функции $y=\sin x$.
3. Найди все нули функции $y=\cos x$.
4. Найди множество значений функции $y=2\cos x+3$.
5. Найди наибольшее значение функции $y=4-5\sin x$ и все $x$, при которых оно достигается.
6. Сравни $\sin 1$ и $\sin 2$ (аргументы в радианах), не пользуясь калькулятором.
7. Известно, что $\sin x=0{,}4$. Чему равен $\sin(-x)$?
8. Известно, что $\cos x=-0{,}3$. Чему равен $\cos(-x)$?
9. Является ли число $\pi$ периодом функции $y=\cos x$? Проверь при $x=0$.
10. Сколько корней у уравнения $\sin x=0{,}5$ на отрезке $[0;4\pi]$?

Ответы и пояснения

1. Чётный только косинус: $\cos(-x)=\cos x$. Синус и тангенс нечётные.
2. $x=\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$: ордината равна нулю в двух точках оси абсцисс, а они отличаются на $\pi$.
3. $x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.
4. Из $-1\le\cos x\le 1$ следует $-2\le 2\cos x\le 2$ и $1\le y\le 5$. Ответ: $[1;5]$.
5. Наибольшее значение $4-5\cdot(-1)=9$ при $\sin x=-1$, то есть при $x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n$.
6. $\dfrac{\pi}{2}\approx 1{,}571$, поэтому оба числа лежат на $[0;\pi]$. Так как $\sin 2=\sin(\pi-2)\approx\sin 1{,}142$, а на отрезке $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$ синус возрастает и $1{,}142>1$, получаем $\sin 2>\sin 1$.
7. $\sin(-x)=-\sin x=-0{,}4$.
8. $\cos(-x)=\cos x=-0{,}3$.
9. Нет: $\cos(0+\pi)=-1$, а $\cos 0=1$.
10. Четыре. На $[0;2\pi)$ корни $\dfrac{\pi}{6}$ и $\dfrac{5\pi}{6}$; на $[2\pi;4\pi)$ они повторяются как $\dfrac{13\pi}{6}$ и $\dfrac{17\pi}{6}$. Точка $x=4\pi$ даёт $\sin 4\pi=0$ и не подходит.

Итог

• График синуса — это развёрнутое движение точки по окружности: по горизонтали угол, по вертикали ордината.
• Периодичность — не свойство картинки, а равенство $f(x+T)=f(x)$, обязанное выполняться при всех $x$.
• Основной период синуса и косинуса равен $2\pi$, тангенса — $\pi$; у тангенса есть вертикальные асимптоты.
• Синус и тангенс нечётные, косинус чётный; множество значений синуса и косинуса — отрезок $[-1;1]$.

Мы описали функции по отдельности. Дальше свяжем их между собой: зная одну, будем находить остальные.

← Единичная окружность и радианы · Дальше: тождества →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным