2.3 Исследование функции

11 класс · Алгебра◷ 60–70 минут◇ БазаНужно знать: правила дифференцирования, монотонность функции, решение квадратных уравнений и неравенств

До сих пор производная отвечала на локальный вопрос: что происходит в точке. Но у неё есть куда более сильное применение.

Посмотри на график роста числа подписчиков, на кривую температуры за сутки или на прибыль в зависимости от цены. Глазами ты сразу видишь: здесь растёт, здесь падает, вот тут разворот. Вопрос в том, как получить эти же выводы из формулы, без рисунка и без угадывания — особенно когда функция сложная и рисовать её по точкам долго и ненадёжно.

Оказывается, всю эту информацию несёт один-единственный признак: знак производной.

◎ После урока ты сможешь

• связывать знак производной с возрастанием и убыванием функции
• находить стационарные точки и определять их характер по смене знака
• различать точку экстремума и значение экстремума
• проводить полное исследование функции по алгоритму и записывать вывод

Прогноз до вычислений

1. Функция возрастает на промежутке. Какого знака её производная там — положительная, отрицательная или как получится?
2. В точке максимума касательная к гладкой кривой наклонена вверх, вниз или горизонтальна?
3. У функции $y=x^3$ производная в нуле равна нулю. Значит ли это, что в нуле у неё максимум или минимум?

Эксперимент: два графика, одна ось

В лаборатории сверху нарисована функция, снизу — её производная, и ось $x$ у них общая. Сравнивай два рисунка колонка за колонкой: что происходит с верхней линией там, где нижняя выше нуля, ниже нуля и ровно в нуле.

Лаборатория исследования

График функции и знак её производной

Классический случай: две стационарные точки, максимум левее минимума.

y′ и монотонность

y = x³ − 3xy = −x² + 4x − 3y = x³ + 3xy = x⁴ − 2x²V = x(12 − 2x)²S = 60x − 2x²

y = x³ − 3x→y' = 3x² − 3

Что говорит знак производной

1. 1

   f′(x) > 0 на (−∞; −1]Значит, функция возрастает на этом промежутке.

2. 2

   f′(x) < 0 на [−1; 1]Значит, функция убывает на этом промежутке.

3. 3

   f′(x) > 0 на [1; +∞)Значит, функция возрастает на этом промежутке.

4. 4

   x = −1: f′ = 0, значение 2Слева от точки производная положительна, справа — отрицательна; это точка максимума.

5. 5

   x = 1: f′ = 0, значение −2Слева от точки производная отрицательна, справа — положительна; это точка минимума.

ƒ

y' = 3x² − 3. x = −1 — точка максимума; x = 1 — точка минимума.возрастает на (−∞; −1]; убывает на [−1; 1]; возрастает на [1; +∞).

↺ Вернуть пример

Правило читается прямо с картинки. Пока нижний график выше оси — верхний идёт вверх. Пока нижний ниже оси — верхний идёт вниз. Точки, где нижний график пересекает ось, — это в точности вершины и впадины верхнего. Переключи вкладки и убедись, что это не совпадение: у монотонной кубической кривой производная вообще не пересекает ось, и разворотов у функции нет.

Признак монотонности

∴ Знак производной и монотонность

Пусть функция $f$ дифференцируема на промежутке $I$.

• Если $f'(x)>0$ во всех внутренних точках $I$, то $f$ возрастает на $I$.
• Если $f'(x)<0$ во всех внутренних точках $I$, то $f$ убывает на $I$.
• Если $f'(x)=0$ во всех точках $I$, то $f$ постоянна на $I$.

Смысл прозрачен: производная — скорость изменения. Положительная скорость означает рост, отрицательная — падение, нулевая — стояние на месте.

Обратное утверждение чуть слабее, и это важно. Если функция возрастает, то её производная неотрицательна: $f'(x)\geqslant 0$. Строгого неравенства требовать нельзя — у возрастающей функции $y=x^3$ производная в нуле обращается в ноль.

Стационарные точки и экстремумы

∴ Стационарная точка, максимум, минимум

Точку $x_0$ называют стационарной, если $f'(x_0)=0$. Геометрически это значит, что касательная в ней горизонтальна.

Точку $x_0$ называют точкой максимума функции $f$, если в некоторой окрестности этой точки выполняется $f(x)\leqslant f(x_0)$, и точкой минимума, если $f(x)\geqslant f(x_0)$. Общее название — точки экстремума.

Необходимое условие (теорема Ферма). Если $x_0$ — точка экстремума и функция в ней дифференцируема, то $f'(x_0)=0$.

Причина наглядна: слева от максимума функция растёт, справа падает, а в самой вершине касательная не может быть наклонена ни вверх, ни вниз — иначе по одну сторону нашлось бы значение больше.

Условие только необходимое: стационарных точек может быть больше, чем экстремумов. Чтобы отличить одно от другого, смотрят не на саму точку, а на её окрестность.

∴ Достаточное условие экстремума

Пусть $f'(x_0)=0$ и производная меняет знак при переходе через $x_0$.

• Если знак меняется с плюса на минус, то $x_0$ — точка максимума.
• Если знак меняется с минуса на плюс, то $x_0$ — точка минимума.
• Если знак не меняется, экстремума в $x_0$ нет.

Запомнить порядок помогает картинка: «вверх, потом вниз» — это вершина; «вниз, потом вверх» — это яма.

Алгоритм исследования

◆ Пять шагов

1. Найти область определения функции.
2. Найти производную $f'(x)$.
3. Решить уравнение $f'(x)=0$ и отметить корни на числовой прямой (вместе с точками, где производной нет).
4. Определить знак $f'$ на каждом промежутке — достаточно подставить одну удобную точку изнутри промежутка.
5. Выписать промежутки возрастания и убывания, а по смене знака — точки экстремума и значения функции в них.

Исследуем y = x³ − 3xРазбираем вместе

Область определения — все действительные числа.

Производная: $y'=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$.

Стационарные точки: $3(x-1)(x+1)=0$ даёт $x=-1$ и $x=1$.

Знаки. Берём по одной пробной точке на каждом промежутке: $y'(-2)=3\cdot 4-3=9>0$; $y'(0)=-3<0$; $y'(2)=12-3=9>0$.

Схема знаков производной: $+$ на $(-\infty;-1)$, $-$ на $(-1;1)$, $+$ на $(1;+\infty)$.

Вывод. Функция возрастает на $(-\infty;-1]$ и на $[1;+\infty)$, убывает на $[-1;1]$.

В точке $x=-1$ знак меняется с плюса на минус — это точка максимума, и $y(-1)=-1+3=2$. В точке $x=1$ знак меняется с минуса на плюс — точка минимума, $y(1)=1-3=-2$.

Именно эту картинку и рисовала лаборатория: вершина $(-1;2)$ левее впадины $(1;-2)$.

Исследуем y = x⁴ − 2x²Разбираем вместе

Производная: $y'=4x^3-4x=4x\bigl(x^2-1\bigr)=4x(x-1)(x+1)$.

Стационарные точки: $x=-1$, $x=0$, $x=1$ — их сразу три.

Знаки. Пробные точки: $y'(-2)=4(-2)(3)=-24<0$; $y'(-0{,}5)=4(-0{,}5)(-0{,}75)=1{,}5>0$; $y'(0{,}5)=4(0{,}5)(-0{,}75)=-1{,}5<0$; $y'(2)=4\cdot 2\cdot 3=24>0$.

Вывод. Убывает на $(-\infty;-1]$ и на $[0;1]$, возрастает на $[-1;0]$ и на $[1;+\infty)$.

Характер точек: $x=-1$ — минимум, $y(-1)=1-2=-1$; $x=0$ — максимум, $y(0)=0$; $x=1$ — минимум, $y(1)=-1$.

Обрати внимание: «максимум» в точке $0$ — локальный. Значение $0$ вовсе не самое большое у этой функции, ведь при $x=2$ получается $16-8=8$. Локальный максимум означает лишь «больше, чем у соседей».

Проверка понимания

Производная функции равна f′(x) = (x + 2)(x − 3). Что происходит в точке x = 3?

• А. Точка минимума: производная меняет знак с минуса на плюс
• Б. Точка максимума: производная обращается в ноль
• В. Экстремума нет: производная равна нулю сразу в двух точках

! Два разных «нуля производной» и два разных слова «максимум»

Первая ошибка. Из $f'(x_0)=0$ делают вывод «здесь экстремум». Это неверно: у функции $y=x^3$ производная $3x^2$ обращается в ноль при $x=0$, но знака не меняет — она положительна с обеих сторон. Функция просто возрастает всюду, а в нуле на мгновение «замирает». Проверка знака слева и справа обязательна.

Вторая ошибка. Путают точку максимума и максимум. Для $y=x^3-3x$ правильный ответ звучит так: точка максимума $x=-1$, максимум функции $y=2$.

Первое — это абсцисса, второе — значение. Вопрос «при каком $x$» и вопрос «чему равно» требуют разных ответов, и в задании обычно спрашивают что-то одно.

Практика

Для каждой функции найди промежутки монотонности, точки экстремума и значения функции в них.

1. $y=x^2-6x+5$.
2. $y=-x^2+4x-3$.
3. $y=x^3-3x^2$.
4. $y=x^3+3x$.
5. $y=2x^3-9x^2+12x$.
6. $y=x^4-4x$.
7. $y=x+\dfrac{1}{x}$ при $x>0$.
8. $y=\dfrac{x}{x^2+1}$.
9. $y=x^3-12x$.
10. Производная функции равна $f'(x)=x^2(x-4)$. Найди точки экстремума и объясни, что происходит в точке $x=0$.
11. Стационарные точки функций $y=x^3$ и $y=x^4$ совпадают: обе в нуле. Чем отличается поведение этих функций в нуле?
12. Докажи, что функция $y=x+\cos x$ возрастает на всей числовой прямой.

Ответы и пояснения

1. $y'=2x-6$, корень $x=3$. Убывает на $(-\infty;3]$, возрастает на $[3;+\infty)$; точка минимума $x=3$, минимум $y=9-18+5=-4$.
2. $y'=-2x+4$, корень $x=2$. Возрастает на $(-\infty;2]$, убывает на $[2;+\infty)$; точка максимума $x=2$, максимум $y=-4+8-3=1$. Это вершина параболы — старый ответ, полученный новым способом.
3. $y'=3x^2-6x=3x(x-2)$. Возрастает на $(-\infty;0]$ и $[2;+\infty)$, убывает на $[0;2]$. Максимум $y(0)=0$, минимум $y(2)=8-12=-4$.
4. $y'=3x^2+3>0$ при всех $x$. Функция возрастает на всей прямой, экстремумов нет.
5. $y'=6x^2-18x+12=6(x-1)(x-2)$. Возрастает на $(-\infty;1]$ и $[2;+\infty)$, убывает на $[1;2]$. Максимум $y(1)=2-9+12=5$, минимум $y(2)=16-36+24=4$.
6. $y'=4x^3-4=4\bigl(x^3-1\bigr)$, корень $x=1$. Убывает на $(-\infty;1]$, возрастает на $[1;+\infty)$; минимум $y(1)=1-4=-3$.
7. $y'=1-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{x^2-1}{x^2}$. При $x>0$ корень один: $x=1$. Убывает на $(0;1]$, возрастает на $[1;+\infty)$; минимум $y(1)=2$.
8. $y'=\dfrac{(x^2+1)-x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$. Знак совпадает со знаком $1-x^2$. Убывает на $(-\infty;-1]$ и $[1;+\infty)$, возрастает на $[-1;1]$. Минимум $y(-1)=-0{,}5$, максимум $y(1)=0{,}5$.
9. $y'=3x^2-12=3(x-2)(x+2)$. Возрастает на $(-\infty;-2]$ и $[2;+\infty)$, убывает на $[-2;2]$. Максимум $y(-2)=-8+24=16$, минимум $y(2)=8-24=-16$.
10. Корни: $x=0$ (двойной) и $x=4$. Множитель $x^2$ неотрицателен, поэтому знак производной задаёт скобка $x-4$: минус слева от $4$, плюс справа. В точке $x=4$ — минимум. В точке $x=0$ производная равна нулю, но знак не меняется, значит экстремума там нет.
11. У $y=x^3$ производная $3x^2$ знака не меняет — функция возрастает, экстремума нет. У $y=x^4$ производная $4x^3$ меняет знак с минуса на плюс — в нуле минимум. Одно и то же уравнение $f'=0$, разные ответы.
12. $y'=1-\sin x$. Так как $\sin x\leqslant 1$, производная неотрицательна при всех $x$, а в ноль обращается лишь в отдельных точках вида $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k$, где знака не меняет. Значит функция возрастает на всей прямой.

Итог

• Знак производной управляет монотонностью: плюс — возрастание, минус — убывание.
• Экстремум может быть только в стационарной точке, но не всякая стационарная точка — экстремум.
• Характер точки определяет смена знака производной: «$+$ на $-$» — максимум, «$-$ на $+$» — минимум, без смены — ничего.
• Точка экстремума — это значение аргумента, экстремум — значение функции; в ответе их не смешивают.

Мы научились находить локальные вершины и впадины. Но в прикладных задачах обычно спрашивают другое: самое большое или самое маленькое значение на заданном отрезке — при каком размере коробка вместительнее, при какой цене выручка выше. Там к стационарным точкам добавится ещё один тип кандидатов, о котором легко забыть.

← Правила дифференцирования · Дальше: задачи оптимизации →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным