4.3. Сложение чисел со знаком

6 класс · Числа со знаком◷ 40–45 минут◇ БазаНужно знать: координатная прямая, модуль и сравнение

Ночью было $-6\,°\text{C}$. К утру температура повысилась на $4\,°\text{C}$. Мы стоим в точке $-6$ и применяем изменение $+4$: движемся вправо и оказываемся в $-2$.

Здесь первое число задаёт начальное состояние, а второе — направленное изменение. Их сумма задаёт новое состояние.

◎ После урока ты сможешь

• моделировать сложение последовательными движениями по прямой
• складывать числа с одинаковыми и разными знаками через их модули
• оценивать знак и размер суммы до вычисления

Два движения подряд

В лаборатории первое число ставит нас в начальную точку. Положительное второе слагаемое ведёт вправо, отрицательное — влево. Меняй оба значения и сначала предсказывай конечную точку.

Лаборатория действий со знаками

Сложение: движение и нулевые пары

Одна и та же запись видна как путь по прямой и как взаимное уничтожение противоположных величин.

a + b

Движение по прямойНулевые пары

Первое слагаемое −6

−+

От −12 до 12, шаг 1

Второе слагаемое 4

−+

От −12 до 12, шаг 1

1. 1

   Определяем направление. Из −6 нужно двигаться вправо на 4.

2. 2

   Читаем конечную координату. Получаем −2.

+

−6 + (4) = −2Из −6 нужно двигаться вправо на 4. Знак ответа подтверждает конечная точка, а не правило, выученное отдельно от смысла.

↺ Вернуть пример

Для исходного движения получаем $-2$: от $-6$ четыре единицы вправо. Если второе слагаемое заменить на $-4$, пойдём влево и придём в $-10$.

∴ Смысл суммы

Чтобы прибавить число $b$ к числу $a$, начни в точке $a$. Если $b>0$, пройди $|b|$ единиц вправо; если $b<0$ — $|b|$ единиц влево; если $b=0$, останься на месте. Координата конца — сумма $a+b$.

Одинаковые направления

Если оба числа положительны, два движения идут вправо. Если оба отрицательны — влево. В обоих случаях расстояния складываются, а направление сохраняется.

$4+7=11,$

$-4+(-7)=-11.$

◆ Слагаемые одного знака

Сложи модули и поставь общий знак. Например, $-2{,}5+(-1{,}2)=-(2{,}5+1{,}2)=-3{,}7$.

Встречные движения

Теперь движения направлены в разные стороны. Часть пути взаимно уничтожается. От $0$ пять шагов влево и два вправо оставляют три шага влево:

$-5+2=-3.$

А два шага влево и пять вправо оставляют три шага вправо:

$-2+5=3.$

То же можно увидеть без прямой. Представим $+1$ светлой фишкой, а $-1$ — тёмной. Пара $+1$ и $-1$ вместе даёт ноль, поэтому её можно убрать. Из пяти тёмных и двух светлых фишек удалятся две нулевые пары, останутся три тёмные.

Лаборатория действий со знаками

Сложение: движение и нулевые пары

Одна и та же запись видна как путь по прямой и как взаимное уничтожение противоположных величин.

a + b

Движение по прямойНулевые пары

Первое слагаемое −5

−+

От −10 до 10, шаг 1

Второе слагаемое 2

−+

От −10 до 10, шаг 1

1. 1

   Определяем направление. Из −5 нужно двигаться вправо на 2.

2. 2

   Читаем конечную координату. Получаем −3.

+

−5 + (2) = −3Из −5 нужно двигаться вправо на 2. Знак ответа подтверждает конечная точка, а не правило, выученное отдельно от смысла.

↺ Вернуть пример

∴ Слагаемые разных знаков

Вычти меньший модуль из большего. Результат получает знак того слагаемого, чей модуль больше. Если модули равны, сумма равна нулю.

Это не отдельная магическая команда. Она кратко описывает, какое из двух противоположных движений оказалось длиннее.

Сложим −2,4 и 3,1Разбираем вместе

Сначала определяем направление: $3{,}1>2{,}4$, поэтому движение вправо преобладает и сумма положительна.

Остаток пути равен

$3{,}1-2{,}4=0{,}7.$

Значит,

$-2{,}4+3{,}1=0{,}7.$

На прямой ответ должен лежать между $0$ и $1$, что подтверждает вычисление.

Сложим −5/6 и 1/3Разбираем вместе

Приведём модули к одинаковым долям:

$\frac13=\frac26.$

Пять шестых влево сильнее двух шестых вправо. Остаются три шестых влево:

$-\frac56+\frac13=-\frac36=-\frac12.$

Проверка понимания

Чему равна сумма −3,5 + 1,2?

• А. −4,7
• Б. −2,3
• В. 2,3

Ноль и противоположные слагаемые

Движение на ноль не меняет положение:

$a+0=0+a=a.$

Равные движения в противоположных направлениях возвращают к началу:

$a+(-a)=0.$

Поэтому число $-a$ называют не только противоположным, но и противоположным слагаемым для $a$.

Порядок двух последовательных перемещений можно поменять: конечная точка не изменится. Например,

$-7+10=3,\qquad 10+(-7)=3.$

! Ловушка: складывать знаки отдельно

В сумме $-8+3$ нельзя выбрать знак по последнему числу и нельзя механически сложить $8+3$. Сначала сравни направленные расстояния: восемь влево сильнее трёх вправо, поэтому остаётся пять влево.

Практика

1. Вычисли $-7+(-5)$.
2. Вычисли $9+(-14)$.
3. Вычисли $-6+11$.
4. Вычисли $-2{,}4+3{,}1$.
5. Вычисли $-\frac56+\frac13$.
6. Вычисли $-1\frac14+\left(-\frac34\right)$.
7. Температура была $-8{,}5\,°\text{C}$ и повысилась на $12\,°\text{C}$. Какой она стала?
8. Баланс счёта равен $-450$ рублей: это долг. После внесения $300$ рублей каким станет баланс?
9. Найди $x$, если $-3+x=5$. Покажи движение на прямой.
10. Не вычисляя по частям, предскажи сумму $-2{,}7+0+2{,}7$, затем объясни.

Ответы и объяснения

1. $-12$: оба движения направлены влево.
2. $-5$: $14-9=5$, отрицательное движение длиннее.
3. $5$: $11-6=5$, положительное движение длиннее.
4. $0{,}7$.
5. $-\frac12$.
6. $-2$, потому что $-\frac54-\frac34=-\frac84=-2$.
7. $3{,}5\,°\text{C}$: $-8{,}5+12=3{,}5$.
8. $-150$ рублей: $-450+300=-150$; долг уменьшился, но не исчез.
9. $x=8$: от $-3$ до $5$ нужно пройти восемь единиц вправо.
10. $0$: числа $-2{,}7$ и $2{,}7$ противоположны, а прибавление нуля ничего не меняет.

Итог

• Сумма объединяет последовательные направленные изменения.
• При одинаковых знаках расстояния складываются; при разных — встречные части пути сокращаются.
• Знак суммы определяется преобладающим движением, а противоположные слагаемые дают ноль.

Следующий вопрос: что означает «вычесть отрицательное»? Ответ найдём через обратное движение.

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным