4.4 Объёмы

11 класс · Геометрия◷ 60–70 минут◇ БазаНужно знать: цилиндр, конус, шар, объём призмы и пирамиды

Сколько литров в баке, сколько бетона в опоре моста, сколько воздуха в мяче. Все три вопроса про одну величину — объём. Для многогранников мы её считать умеем: формулы $V=S_{\text{осн}}h$ и $V=\tfrac13S_{\text{осн}}h$ выведены в уроке объёмы многогранников — там же появился и принцип Кавальери, который сейчас снова пойдёт в дело. Сейчас окажется, что круглые тела считаются почти теми же формулами, а для шара понадобится один красивый приём.

◎ После урока ты сможешь

• формулировать принцип Кавальери и объяснять, что именно он требует от сечений
• вычислять объёмы цилиндра, конуса и шара
• выводить объём шара сравнением полушара с цилиндром без конуса
• применять отношение объёмов 1 : 2 : 3 и правило роста объёма при подобии

Прогноз до вычислений

Возьмём три тела одного радиуса $R$: конус высоты $2R$, шар радиуса $R$ и цилиндр высоты $2R$. Каждое следующее «поглощает» предыдущее: конус помещается в шар, шар — в цилиндр.

Как относятся их объёмы? Запиши свою догадку тремя числами до всяких вычислений.

Объём цилиндра и конуса

Цилиндр можно сколь угодно точно приблизить призмой с правильным $n$-угольником в основании: при росте $n$ основание стремится к кругу, а объём призмы — к объёму цилиндра. Формула «площадь основания на высоту» переживает этот предельный переход без изменений. То же верно для конуса и пирамиды.

∴ Две первые формулы

$V_{\text{цил}}=S_{\text{осн}}\cdot h=\pi r^2h, \qquad V_{\text{кон}}=\frac13S_{\text{осн}}\cdot h=\frac13\pi r^2h.$

Множитель $\tfrac13$ у конуса — тот же самый, что и у пирамиды. Конус, вписанный в цилиндр с общим основанием и общей высотой, занимает ровно треть его объёма; между ними остаётся две трети.

Цилиндр и вписанный в него конусРазбираем вместе

Радиус $r=3$, высота $h=5$.

Цилиндр: $V=\pi\cdot3^2\cdot5=45\pi\approx141{,}37$.

Конус с тем же основанием и той же высотой: $V=\tfrac13\pi\cdot9\cdot5=15\pi\approx47{,}12$.

Проверка: $45\pi:15\pi=3:1$ — как и должно быть. Объём, оставшийся между конусом и цилиндром, равен $30\pi$.

Принцип Кавальери

С шаром приём «приблизить многогранником» уже не даёт короткой формулы. Нужен другой инструмент — сравнение тел по этажам.

∴ Принцип Кавальери

Пусть два тела заключены между двумя параллельными плоскостями. Если любая плоскость, параллельная им, высекает из обоих тел фигуры равной площади, то тела имеют равный объём.

Важно понимать, чего принцип не требует. Сечения не обязаны быть похожими друг на друга: круг и кольцо, квадрат и треугольник — всё годится. Совпадать должна только площадь, и совпадать на каждом уровне без исключения.

Теперь построим для полушара напарника с такими же сечениями.

Возьмём полушар радиуса $R$ и цилиндр радиуса $R$ и высоты $R$, из которого вырезан конус с вершиной в центре нижнего основания и основанием, совпадающим с верхним основанием цилиндра.

Лаборатория сечений

Что плоскость высекает из шара

Двигай секущую плоскость и следи за радиусом круга. Во второй вкладке тот же уровень сравнивает полушар с цилиндром, из которого вырезан конус, — это и есть шаг к формуле объёма шара.

y = 3 см

Сечение шараЭтажи Кавальери

Радиус R5 см

−+

От 1 до 12 см; шаг 0,5.

Уровень сечения y3 смУровень меняется от 0 до R = 5 см; стрелки двигают его на 0,5.

Точная запись и приближение, см

Радиус шара R, см	5
Уровень y, см	3
Радиус сечения ρ, см	4
Кольцо цилиндра без конуса, см²	16π ≈ 50,27
Площадь круга сечения, см²	16π ≈ 50,27

=

На уровне y = 3 см площади сечений равны: 16π ≈ 50,27 см².Круг полушара: π(R² − y²). Кольцо цилиндра без конуса: πR² − πy². Это одно и то же число на каждом этаже, поэтому по принципу Кавальери равны и объёмы.

↺ Вернуть пример

Подними уровень и сравни два числа в таблице. Они совпадают при любом $y$ — вот почему.

✦ Одинаковые этажи

Проведём плоскость на высоте $y$ над основанием, $0\le y\le R$.

Полушар. Расстояние от центра до плоскости равно $y$, поэтому в сечении круг радиуса $\sqrt{R^2-y^2}$ и площади $\pi\left(R^2-y^2\right)$.

Цилиндр без конуса. Сечение цилиндра — круг радиуса $R$. Сечение вырезанного конуса — круг радиуса $y$: у этого конуса высота равна радиусу, поэтому на высоте $y$ его радиус тоже равен $y$. Остаётся кольцо площади $\pi R^2-\pi y^2$.

Площади равны на каждом уровне, значит по принципу Кавальери равны и объёмы.

∴ Объём шара

Из равенства объёмов получаем объём полушара:

$V_{\text{полушара}}=V_{\text{цил}}-V_{\text{кон}}=\pi R^2\cdot R-\frac13\pi R^2\cdot R=\frac23\pi R^3.$

Шар состоит из двух полушаров, поэтому

$V_{\text{шара}}=\frac43\pi R^3.$

Полезно помнить и связь с площадью сферы: $V=\dfrac13\cdot S\cdot R=\dfrac13\cdot4\pi R^2\cdot R$. Шар как бы сложен из тонких пирамидок с вершиной в центре и высотой $R$.

Проверим вывод на числахРазбираем вместе

Пусть $R=3$.

По формуле: $V=\tfrac43\pi\cdot27=36\pi\approx113{,}10$.

По Кавальери: цилиндр $R\times R$ имеет объём $\pi\cdot9\cdot3=27\pi$, вырезанный конус — $\tfrac13\pi\cdot9\cdot3=9\pi$, значит полушар равен $27\pi-9\pi=18\pi$, а шар — $36\pi$. Сходится.

Проверим ещё один уровень, например $y=2$: круг полушара имеет площадь $\pi(9-4)=5\pi$, кольцо — $9\pi-4\pi=5\pi$. Равны.

Возвращаемся к прогнозу

Три тела радиуса $R$, высота конуса и цилиндра равна $2R$:

$V_{\text{кон}}=\frac13\pi R^2\cdot2R=\frac23\pi R^3, \qquad V_{\text{шара}}=\frac43\pi R^3, \qquad V_{\text{цил}}=\pi R^2\cdot2R=2\pi R^3.$

Разделим всё на $\tfrac23\pi R^3$:

$V_{\text{кон}}:V_{\text{шара}}:V_{\text{цил}}=1:2:3.$

Это соотношение нашёл Архимед, и оно не зависит от $R$. По его завещанию на могиле высекли шар, вписанный в цилиндр, — Архимед считал эту теорему своим лучшим результатом.

Лаборатория тел вращения

Плоская фигура вращается — получается тело

Крути образующую, меняй размеры и смотри, как из прямоугольника, треугольника и полукруга получаются цилиндр, конус и шар. Контуры вычисляются честной параллельной проекцией.

см³

Вращение фигурыПлощади и объёмРазвёртка

ЦилиндрКонусШар

Радиус шара R3 см

−+

От 1 до 12 см; шаг кнопок 0,5.

Множитель k, если V = kπПроверить

?

Найди объём и введи множитель при π.V = 4⁄3·πR³. Введи число k, если V = kπ.

↺ Вернуть пример

Проверка понимания

Диаметр шара равен 6. Чему равен его объём?

• А. 288π
• Б. 36π
• В. 12π

! Четыре ошибки, которые встречаются чаще всего

Теряют множитель $\tfrac13$ у конуса. Быстрая проверка правдоподобия: конус должен получиться заметно меньше цилиндра с теми же основанием и высотой, а не примерно равным ему.

Подставляют диаметр в $V=\tfrac43\pi R^3$. Это завышает ответ в $8$ раз — самая дорогая ошибка в теме.

Считают, что при удвоении размеров объём удваивается. Объём — величина третьей размерности: $k$ раз по длине даёт $k^2$ по площади и $k^3$ по объёму. Шар вдвое большего радиуса вмещает в $8$ раз больше воды.

Требуют от принципа Кавальери одинаковых сечений. Нужна только равная площадь. Именно поэтому круг можно сравнивать с кольцом.

Практика

1. Найди объём цилиндра с радиусом $4$ и высотой $9$.
2. Найди объём конуса с радиусом $6$ и высотой $10$.
3. Найди объём шара радиуса $6$.
4. Объём цилиндра равен $100\pi$, радиус основания равен $5$. Найди высоту.
5. Объём конуса равен $48\pi$, высота равна $9$. Найди радиус основания.
6. Объём шара равен $36\pi$. Найди его радиус и площадь сферы.
7. В цилиндр вписан конус с тем же основанием и той же высотой. Какую долю объёма цилиндра занимает конус и какая доля остаётся свободной?
8. Все линейные размеры конуса уменьшили в $2$ раза. Во сколько раз изменился объём?
9. Шар радиуса $3$ переплавили в цилиндр радиуса $3$. Найди высоту получившегося цилиндра.
10. Цилиндрический бак имеет диаметр $2$ м и высоту $1{,}4$ м. Сколько литров он вмещает при $\pi\approx3{,}14$?

Ответы и пояснения

1. $V=\pi\cdot16\cdot9=144\pi\approx452{,}39$.
2. $V=\tfrac13\pi\cdot36\cdot10=120\pi\approx376{,}99$.
3. $V=\tfrac43\pi\cdot216=288\pi\approx904{,}78$.
4. $\pi\cdot25\cdot h=100\pi$, значит $h=4$.
5. $\tfrac13\pi r^2\cdot9=3\pi r^2=48\pi$, значит $r^2=16$ и $r=4$.
6. $\tfrac43R^3=36$, значит $R^3=27$ и $R=3$; тогда $S=4\pi\cdot9=36\pi$. Совпадение чисел $36\pi$ и $36\pi$ случайно и бывает только при $R=3$.
7. Конус занимает $\tfrac13$ объёма, свободными остаются $\tfrac23$.
8. В $8$ раз.
9. $\tfrac43\pi\cdot27=36\pi$; из $\pi\cdot9\cdot h=36\pi$ получаем $h=4$.
10. $r=1$ м; $V\approx3{,}14\cdot1\cdot1{,}4=4{,}396\text{ м}^3$, то есть примерно $4396$ л.

Итог

• $V_{\text{цил}}=\pi r^2h$ и $V_{\text{кон}}=\tfrac13\pi r^2h$ — те же формулы, что у призмы и пирамиды.
• Принцип Кавальери требует равенства площадей сечений на каждом уровне и ничего больше.
• Полушар равновелик цилиндру $R\times R$ без вписанного конуса, отсюда $V_{\text{шара}}=\tfrac43\pi R^3$.
• Конус, шар и цилиндр одного радиуса при высоте $2R$ дают объёмы в отношении $1:2:3$.
• При увеличении всех размеров в $k$ раз площадь растёт в $k^2$, а объём — в $k^3$ раз.

Все формулы главы собраны. В практикуме тела перестанут быть по одному: появятся башня из цилиндра и полусферы, шар в банке и шар, вписанный в конус.

← Шар и сфера · Дальше: практикум →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным