2.3 Умножение многочленов

7 класс · Алгебра◷ 50–60 минут◇ БазаНужно знать: распределительное свойство, стандартный вид многочлена, приведение подобных членов

Участок был прямоугольным со сторонами $x$ и $x$. Одну сторону увеличили на $3$ м, другую уменьшили на $5$ м. Новая площадь равна

$(x+3)(x-5).$

Сколько отдельных произведений придётся посчитать, чтобы раскрыть эти скобки? И сколько членов останется в ответе?

◎ После урока ты сможешь

• умножать одночлен на многочлен по распределительному закону
• умножать многочлен на многочлен по правилу «каждый член на каждый»
• считать, сколько произведений возникает до приведения подобных
• проверять раскрытие скобок подстановкой числа

Прогноз до вычислений

Для произведения $(x+3)(x-5)$ ответь заранее:

• сколько произведений появится сразу после раскрытия скобок;
• сколько членов останется после приведения подобных;
• какой будет степень результата.

От одночлена к многочлену

Умножение одночлена на многочлен — это прямое применение распределительного закона: множитель распределяется по каждому члену.

$3x(2x-5)=3x\cdot2x-3x\cdot5=6x^2-15x.$

Знаки при этом подчиняются обычным правилам умножения чисел:

$-2a(a^2-3a+4)=-2a^3+6a^2-8a.$

Каждый член на каждый

Чтобы умножить многочлен на многочлен, представим первую скобку как один множитель:

$(x+3)(x-5)=x(x-5)+3(x-5)=x^2-5x+3x-15.$

Получились все четыре произведения: $2$ члена первой скобки на $2$ члена второй. Остаётся привести подобные:

$-5x+3x=-2x,\qquad (x+3)(x-5)=x^2-2x-15.$

∴ Умножение многочленов

Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член первого умножить на каждый член второго и полученные произведения сложить, а затем привести подобные члены.

Если в первом многочлене $m$ членов, а во втором $n$, то произведений будет ровно $m\cdot n$ — до приведения подобных.

В лаборатории решётка показывает все произведения, а панель ниже собирает члены одинаковой степени. Меняй коэффициенты и следи, в каком случае подобные члены взаимно уничтожаются.

Лаборатория многочленов

Действие с многочленами по шагам

Меняй коэффициенты и смотри, как складываются подобные члены и откуда берётся каждый член ответа.

(x + 3) · (x − 5)

Первый многочлен, при x 1

−+

Целое число от −20 до 20.

Первый многочлен, свободный член 3

−+

Целое число от −20 до 20.

Второй многочлен, при x 1

−+

Целое число от −20 до 20.

Второй многочлен, свободный член −5

−+

Целое число от −20 до 20.

(x + 3) · (x − 5)=x² − 2x − 15

Каждый член на каждый

Решётка произведений

·	x	−5
x	x²	−5x
3	3x	−15

Приведение подобных после раскрытия скобок

Собираем члены одной степени

• x²: 1 → x²
• x: 3 и −5 → 3 − 5 = −2x
• 1: −15 → −15

1. 1

   Раскрываем скобки. Каждый член первого многочлена умножаем на каждый член второго: 2 · 2 = 4 произведений.

2. 2

   Приводим подобные. Складываем коэффициенты произведений одинаковой степени.

3. 3

   Записываем ответ. x² − 2x − 15; степень равна 2.

Проверочное значение x 2

−+

Целое число от −10 до 10.

=

(x + 3) · (x − 5) = x² − 2x − 15Числовая проверка при x = 2: слева 5 · −3 = −15, справа −15. Значения совпали. Совпадение в одной точке — не доказательство, но любое расхождение сразу указывает на ошибку.

↺ Вернуть пример

Раскроем (2x − 3)(x + 4)Разбираем вместе

Умножаем каждый член первой скобки на каждый член второй:

$2x\cdot x=2x^2,\qquad 2x\cdot4=8x,$

$-3\cdot x=-3x,\qquad -3\cdot4=-12.$

Складываем и приводим подобные:

$2x^2+8x-3x-12=2x^2+5x-12.$

Проверка при $x=1$: слева $(2-3)(1+4)=-1\cdot5=-5$, справа $2+5-12=-5$.

Почему нельзя умножать «по столбикам»

Сравним два выражения при $a=1$, $b=2$, $c=3$, $d=4$:

$(a+b)(c+d)=3\cdot7=21,\qquad ac+bd=3+8=11.$

Числа разные, значит, $(a+b)(c+d)$ и $ac+bd$ — не тождественно равные выражения. Пропали два произведения из четырёх: $ad$ и $bc$. Действительно, $3+4+6+8=21$.

! Умножили первый на первый, второй на второй

$(a+b)(c+d)\ne ac+bd$. Так теряются перекрёстные произведения $ad$ и $bc$.

Быстрая самопроверка: посчитай, сколько произведений должно получиться ($m\cdot n$), и сверь с тем, сколько ты выписал. Для двух двучленов их всегда четыре.

Проверка понимания

Сколько произведений получится при раскрытии скобок в (a + b + c)(x + y) до приведения подобных?

• А. 5
• Б. 6
• В. 3

Практика

1. Раскрой скобки: $3x(2x-5)$.
2. Раскрой скобки: $-2a(a^2-3a+4)$.
3. Выполни умножение: $(x+4)(x+6)$.
4. Выполни умножение: $(y-3)(y-7)$.
5. Выполни умножение: $(2m+1)(3m-4)$.
6. Выполни умножение: $(a-5)(a+5)$.
7. Выполни умножение: $(x+2)(x^2-2x+4)$.
8. Упрости $(x+3)(x-1)-(x^2+2x)$.
9. Стороны прямоугольника равны $x+3$ и $x+5$. Запиши площадь многочленом стандартного вида.
10. Докажи тождество $(n+1)^2-n^2=2n+1$.

Ответы и пояснения

1. $6x^2-15x$.
2. $-2a^3+6a^2-8a$.
3. $x^2+6x+4x+24=x^2+10x+24$.
4. $y^2-7y-3y+21=y^2-10y+21$.
5. $6m^2-8m+3m-4=6m^2-5m-4$.
6. $a^2+5a-5a-25=a^2-25$. Средние члены уничтожились — это подсказка к следующему уроку.
7. $x^3-2x^2+4x+2x^2-4x+8=x^3+8$.
8. $(x^2+2x-3)-(x^2+2x)=-3$. Результат не зависит от $x$.
9. $(x+3)(x+5)=x^2+8x+15$.
10. $(n+1)^2=(n+1)(n+1)=n^2+n+n+1=n^2+2n+1$, поэтому $(n+1)^2-n^2=2n+1$ при любом $n$.

Итог

• Одночлен умножается на многочлен по распределительному закону.
• Многочлен на многочлен умножается по правилу «каждый член на каждый»: получается $m\cdot n$ произведений.
• После раскрытия скобок обязателен второй шаг — приведение подобных членов.
• Подстановка числа не доказывает результат, но быстро ловит потерянное произведение или знак.

В задачах 6 и 10 подобные члены повели себя необычно: то уничтожились, то дали короткий ответ. Это не случайность — таким закономерностям посвящены формулы сокращённого умножения.

← Одночлены и многочлены · Дальше: формулы сокращённого умножения →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным