2.1. Сравнение дробей

6 класс · Дроби◷ 30–35 минут◇ БазаНужно знать: смысл числителя и знаменателя

Аня прошла $\frac{3}{4}$ маршрута, а Борис — $\frac{5}{8}$ такого же маршрута. Кто продвинулся дальше?

С десятичными дробями ответ легко вычислить. Но наша цель сильнее: научиться видеть порядок дробей, не превращая каждую из них в десятичную.

◎ После урока ты сможешь

• сравнивать дроби по рисунку и по их положению относительно 0, 1/2 и 1
• приводить две дроби к общему знаменателю
• объяснять правило сравнения крест-накрест, а не применять его вслепую

Сначала предскажи

Не вычисляя, выбери один вариант:

$\frac{3}{4}\;\square\;\frac{5}{8}$

Какой знак должен стоять в окошке? Запомни прогноз и проверь его в лаборатории.

Интерактивная лаборатория

Какая дробь больше?

Двигай ползунки и ищи закономерность между рисунком и вычислением.

можно двигать

A34

Числитель 3

Знаменатель 4

B58

Числитель 5

Знаменатель 8

34>58

>

Левая дробь больше.Сравниваем крест-накрест: 3 · 8 = 24, а 5 · 4 = 20.

↺ Вернуть пример

Что показывает модель

Когда знаменатели одинаковы, целое разрезано на части одного размера. Тогда больше та дробь, у которой больше числитель:

$\frac{5}{11}<\frac{8}{11}.$

Когда числители одинаковы, мы взяли одинаковое количество частей. Но чем больше знаменатель, тем мельче каждая часть:

$\frac{3}{5}>\frac{3}{8}.$

В исходной паре различаются и числители, и знаменатели. Можно разрезать обе полоски на восьмые:

$\frac{3}{4}=\frac{6}{8},\qquad \frac{6}{8}>\frac{5}{8}.$

Значит, Аня прошла дальше.

✦ Сравниваем только одинаковые единицы

Сравнить 3 метра и 280 сантиметров удобно после перевода к одной единице. С дробями происходит то же самое: общий знаменатель делает размер долей одинаковым.

Общий знаменатель

Чтобы привести $\frac{a}{b}$ к новому знаменателю, числитель и знаменатель умножают на одно и то же натуральное число $k\geq1$:

$\frac{a}{b}=\frac{a\cdot k}{b\cdot k}.$

Значение дроби не меняется: каждая прежняя часть делится ещё на $k$ равных кусочков, поэтому и число взятых кусочков увеличивается в $k$ раз.

Сравним 7/12 и 5/8Разбираем вместе

Нам нужен размер частей, который можно получить и из двенадцатых, и из восьмых. Наименьшее общее кратное чисел $12$ и $8$ равно $24$.

$\frac{7}{12}=\frac{14}{24},\qquad \frac{5}{8}=\frac{15}{24}.$

Теперь части одного размера: $14<15$, поэтому

$\frac{7}{12}<\frac{5}{8}.$

Почему можно было взять знаменатель 48?

Можно: $\frac{7}{12}=\frac{28}{48}$ и $\frac{5}{8}=\frac{30}{48}$. Ответ тот же. Но знаменатель $24$ — наименьший общий, поэтому числа получаются проще.

Откуда берётся сравнение крест-накрест

Для положительных знаменателей $b$ и $d$ у дробей $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ всегда есть общий знаменатель $bd$:

$\frac{a}{b}=\frac{ad}{bd},\qquad \frac{c}{d}=\frac{bc}{bd}.$

Знаменатели теперь одинаковы, поэтому остаётся сравнить числители $ad$ и $bc$. Отсюда правило:

∴ Правило сравнения

Чтобы сравнить $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ при $b>0$ и $d>0$, сравни произведения $ad$ и $bc$. Большему произведению соответствует большая дробь.

Это не отдельный трюк. «Крест» просто выполняет приведение к общему знаменателю, не записывая сам знаменатель.

Сравним 11/15 и 8/11Разбираем вместе

Перемножаем числитель каждой дроби со знаменателем другой:

$11\cdot 11=121,\qquad 8\cdot15=120.$

Так как $121>120$, получаем

$\frac{11}{15}>\frac{8}{11}.$

Разница очень мала. Именно поэтому оценка «обе примерно равны трём четвертям» помогает проверить правдоподобие, но не даёт точного ответа.

Проверка понимания

Как верно сравнить 3/5 и 5/8?

• А. 3/5 > 5/8
• Б. 3/5 < 5/8
• В. 3/5 = 5/8

Полезные ориентиры: 0, половина и 1

Перед точным вычислением оцени дробь.

• Если числитель намного меньше знаменателя, дробь ближе к $0$.
• Сравнить $\frac{a}{b}$ с $\frac12$ можно по числам $2a$ и $b$.
• Если числитель чуть меньше знаменателя, дробь близка к $1$.
• У неправильной положительной дроби числитель не меньше знаменателя, поэтому она не меньше $1$.

Например, $\frac{13}{25}>\frac12$, потому что $2\cdot13=26>25$. А $\frac{7}{15}<\frac12$, потому что $14<15$. Значит, без общего знаменателя уже ясно:

$\frac{13}{25}>\frac{7}{15}.$

! Ловушка: сравнить верх и низ отдельно

Рассуждение «$4<5$ и $7<9$, значит $\frac47<\frac59$» иногда случайно даёт верный ответ, но не является правилом. Например, $\frac34>\frac58$, хотя $3<5$ и $4<8$. Дробь — единое число, а не пара независимых чисел.

Практика

Проверь смысл

1. Расположи по возрастанию: $\frac23$, $\frac56$, $\frac34$.
2. Найди дробь со знаменателем $14$, которая лежит между $\frac37$ и $\frac47$.
3. Не вычисляя общий знаменатель, сравни $\frac{9}{20}$ и $\frac12$.

Отработай способ

4. Сравни крест-накрест: $\frac{17}{23}$ и $\frac{18}{24}$.
5. Какая дробь больше: $\frac{999}{1000}$ или $\frac{1000}{1001}$?
6. Подбери натуральное $n$, чтобы выполнялось $\frac38<\frac{n}{16}<\frac12$.

Объясни

7. Миша утверждает: «Если знаменатель увеличился, дробь уменьшилась». Приведи пример, где это утверждение нельзя применить, потому что одновременно изменился числитель.
8. Докажи без десятичных дробей, что $\frac{n}{n+1}<\frac{n+1}{n+2}$ для любого натурального $n$.

Ответы и короткие объяснения

1. $\frac23=\frac8{12}<\frac9{12}=\frac34<\frac{10}{12}=\frac56$.
2. $\frac7{14}=\frac12$, потому что $\frac37=\frac6{14}$, а $\frac47=\frac8{14}$.
3. $\frac9{20}<\frac{10}{20}=\frac12$.
4. $17\cdot24=408<414=18\cdot23$, значит $\frac{17}{23}<\frac{18}{24}$.
5. Первая пара произведений: $999\cdot1001=999999$, вторая: $1000\cdot1000=1000000$. Поэтому $\frac{999}{1000}<\frac{1000}{1001}$.
6. После приведения к знаменателю $16$: $\frac6{16}<\frac n{16}<\frac8{16}$, поэтому $n=7$.
7. Например, $\frac12<\frac34$: знаменатель вырос, но числитель тоже изменился.
8. Сравним произведения: $n(n+2)=n^2+2n$, а $(n+1)^2=n^2+2n+1$. Второе больше на $1$.

Итог

• Общий знаменатель превращает дроби в количество частей одного размера.
• Сравнение крест-накрест — сокращённая запись того же рассуждения.
• Оценка относительно $0$, $\frac12$ и $1$ помогает заметить ошибку до вычислений.

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным