Отношения меняют масштаб

6 класс◷ 10–15 минут◇ БазаНужно знать: обыкновенные и десятичные дроби, деление

Для ягодного напитка смешивают $2$ части сиропа и $5$ частей воды. Можно приготовить один стакан или целый кувшин — вкус сохранится, если сохранить отношение $2:5$.

В этой главе число будет описывать не только часть целого, но и сравнение двух величин, цену одной единицы, масштаб модели и долю из ста.

◎ После урока ты сможешь

• читать отношение в контексте и не терять порядок величин
• строить равные отношения и решать пропорции через смысл масштаба
• видеть прямую пропорциональность в таблице, формуле и графике
• работать с масштабом, процентами и изменениями величин

◆ Дробь та же — вопрос другой

Запись $\frac25$ может означать число, две пятых целого, результат деления $2:5$ или отношение количества сиропа к количеству воды. Вычисление связано, но смысл и единицы ответа задаёт задача.

Входная диагностика

Ответь сначала словами, затем — если нужно — вычислением.

1. В коробке $6$ красных и $9$ синих карандашей. Каково отношение красных карандашей к синим? Можно ли его упростить?
2. Чем отношения $2:3$ и $3:2$ отличаются друг от друга?
3. Для $4$ порций нужно $600$ мл молока. Сколько миллилитров приходится на одну порцию?
4. Равны ли отношения $3:5$ и $12:20$? Как проверить без десятичных приближений?
5. На плане $1$ см соответствует $200$ см в комнате. Какое реальное расстояние изображают $4$ см?
6. Что означает $25\%$? Какая обыкновенная дробь ему равна?
7. Товар стоил $800$ рублей и подорожал на $10\%$. Почему новая цена не равна $810$ рублям?

Ответы для самопроверки

1. $6:9=2:3$: обе части отношения разделили на $3$.
2. Порядком сравнения. $2:3$ отвечает «сколько первых приходится на вторые», а $3:2$ — на обратный вопрос.
3. $600:4=150$ мл на порцию.
4. Да: умножение обеих частей $3:5$ на $4$ даёт $12:20$.
5. $4\cdot200=800$ см, то есть $8$ м.
6. $25\%$ — это $25$ сотых: $\frac{25}{100}=\frac14$.
7. $10\%$ берут от старой цены: $800\cdot0{,}1=80$ рублей. Новая цена — $880$ рублей.

Три проверки размерности

• Сравнивая величины одного рода, сначала вырази их в одинаковых единицах: $2$ м : $50$ см — это $200:50=4:1$, а не $2:50$.
• «На одну единицу» часто сохраняет единицы: $180$ км за $3$ часа дают $60$ км/ч.
• Процент сам по себе безразмерен, но его значение всегда берут от указанной величины.

Маршрут главы

1. Смысл отношения — сравниваем часть с частью и часть с целым.
2. Равные отношения и пропорции — масштабируем обе части одним множителем.
3. Прямая пропорциональность — связываем таблицу, единичную ставку, формулу и график.
4. Масштаб — переводим длину на плане в реальную длину и обратно.
5. Процент — доля из ста — соединяем сетку $10\times10$, дробь и десятичную запись.
6. Процентные задачи и изменения — находим часть, целое и новую величину.
7. Практикум — выбираем между отношением, ставкой, масштабом и процентом.

Прогресс главы · хранится в браузере

Начни с первой идеи

0 из 7 уроков отмечено

Начать маршрут →

Начни со сравнения двух групп.