5.2 Частоты и диаграммы

7 класс · Данные◷ 50–60 минут◇ БазаНужно знать: доли, десятичные дроби, проценты, среднее и медиана

Двадцать пять учеников написали тест. Вот их отметки в том порядке, в каком лежали работы:

$4,\;3,\;5,\;4,\;4,\;3,\;5,\;4,\;2,\;3,\;4,\;5,\;3,\;4,\;4,\;3,\;5,\;2,\;4,\;3,\;5,\;4,\;3,\;4,\;5.$

Прочитать такой список невозможно: глаз не удерживает двадцать пять чисел. Но вопрос учителя простой — как класс написал тест. Значит, список нужно превратить во что-то, что видно целиком.

Прогноз до вычислений

Не считая, ответь:

1. Какая отметка, по-твоему, встречается чаще всего?
2. Сколько примерно в классе двоек — одна, три или семь?
3. Если сложить доли всех четырёх отметок, что должно получиться?

◎ После урока ты сможешь

• строить таблицу частот и вычислять относительные частоты
• проверять таблицу по двум контрольным суммам
• группировать данные по интервалам равной ширины
• читать и строить честную столбчатую диаграмму

Управляемый эксперимент

Переключай наборы данных и способ подсчёта. Смотри, как один и тот же список превращается в таблицу и в диаграмму.

Лаборатория частот

Частота, доля и диаграмма

Слева таблица, справа столбики: одно и то же считается двумя способами — в штуках и в долях.

n = 25

Данные наблюденийСлучайный опыт

Отметки за тестПопадания из пяти бросковРост, см

По отдельным значениямПо интервалам

Таблица частот: отметка за тест; всего наблюдений 25

Значение	Частота	Отн. частота
2	2	0,08
3	7	0,28
4	10	0,4
5	6	0,24
Всего	25	1

Относительная частота — частота, делённая на 25. Сумма всех относительных частот равна единице.

Ось частот начинается с нуля: иначе разница между столбиками выглядела бы больше, чем есть.

▥

Самая многочисленная группа — 4: 10 наблюдений из 25, доля 0,4.Пока различных значений мало, каждое удобно считать отдельно. Когда значений становится много, переходи к интервалам.

↺ Вернуть пример

Частота и относительная частота

∴ Две частоты

Пусть в наборе из $n$ наблюдений значение встретилось $m$ раз.

Число $m$ называют частотой этого значения.

Число

$\frac{m}{n}$

называют относительной частотой (долей) значения. Её записывают дробью, десятичной дробью или процентами.

Для любой таблицы частот выполняются две контрольные суммы:

$m_1+m_2+\dots+m_k=n, \qquad \frac{m_1}{n}+\frac{m_2}{n}+\dots+\frac{m_k}{n}=1.$

Таблицу с частотами в 6 классе называли частотной — это одно и то же, порядок слов роли не играет. Новое здесь только столбец с долями.

Таблица частот для отметок класса:

Отметка	Частота	Относительная частота	Проценты
$2$	$2$	$0{,}08$	$8\%$
$3$	$7$	$0{,}28$	$28\%$
$4$	$10$	$0{,}40$	$40\%$
$5$	$6$	$0{,}24$	$24\%$
Всего	$25$	$1$	$100\%$

Обе контрольные суммы сошлись: $2+7+10+6=25$ и $0{,}08+0{,}28+0{,}4+0{,}24=1$. Если сумма частот не совпала с $n$ или сумма долей не равна единице, где-то потеряно наблюдение — считать дальше бессмысленно.

Средняя отметка удобно считается прямо по таблице: каждое значение берём столько раз, какова его частота.

$\bar{x}=\frac{2\cdot2+3\cdot7+4\cdot10+5\cdot6}{25}=\frac{4+21+40+30}{25}=\frac{95}{25}=3{,}8.$

Медиана — тринадцатое значение упорядоченного ряда. Двоек и троек вместе $2+7=9$, а вместе с четвёрками уже $19$, значит тринадцатое значение равно $4$. Размах равен $5-2=3$.

Когда значений слишком много

С отметками всё просто: различных значений всего четыре. А теперь рост двадцати семиклассников в сантиметрах:

$157,\;142,\;163,\;151,\;168,\;155,\;149,\;162,\;158,\;145,\;171,\;153,\;159,\;165,\;148,\;156,\;174,\;161,\;152,\;167.$

Здесь двадцать наблюдений и двадцать различных значений: каждая частота равна единице, и таблица частот бесполезна. Такие данные группируют: разбивают на интервалы равной ширины и считают, сколько наблюдений попало в каждый.

∴ Группировка по интервалам

Интервалы берут равной ширины и полуоткрытыми: запись $[150;160)$ означает «от $150$ включительно до $160$ не включая». Значение $160$ попадает уже в следующий интервал — так каждое наблюдение учитывается ровно один раз.

Пустые интервалы внутри диапазона данных из таблицы не выбрасывают: провал в середине — это тоже факт о данных.

Рост класса: от списка к четырём числамРазбираем вместе

Возьмём ширину интервала $10$ см и начнём с $140$.

$[140;150)$ — значения $142$, $145$, $148$, $149$: частота $4$.

$[150;160)$ — значения $151$, $152$, $153$, $155$, $156$, $157$, $158$, $159$: частота $8$.

$[160;170)$ — значения $161$, $162$, $163$, $165$, $167$, $168$: частота $6$.

$[170;180)$ — значения $171$, $174$: частота $2$.

Проверка: $4+8+6+2=20$ — все наблюдения на месте.

Относительные частоты: $\frac{4}{20}=0{,}2$; $\frac{8}{20}=0{,}4$; $\frac{6}{20}=0{,}3$; $\frac{2}{20}=0{,}1$. Их сумма равна $1$.

Четыре числа $4$, $8$, $6$, $2$ вместо двадцати сообщают главное: сорок процентов класса — в диапазоне от $150$ до $160$ см, высоких ребят мало.

Для сравнения, характеристики из прошлого урока: среднее $\frac{3156}{20}=157{,}8$ см, медиана $\frac{157+158}{2}=157{,}5$ см, размах $174-142=32$ см. Группировка и характеристики центра отвечают на разные вопросы и не заменяют друг друга.

Ширину интервала выбирают так, чтобы получилось примерно от четырёх до десяти групп. Слишком широкие интервалы всё сваливают в один столбик, слишком узкие возвращают исходный рваный список. Попробуй в лаборатории ширину $5$ и $20$ см на наборе «Рост» — разница видна сразу.

Честная диаграмма

Столбчатая диаграмма показывает частоты высотой столбиков. Чтобы высоты можно было сравнивать, нужны два условия:

• вертикальная ось начинается с нуля;
• все столбики одинаковой ширины и стоят на одной линии.

Если ось начать не с нуля, столбик $52$ рядом со столбиком $48$ может выглядеть вдвое выше — хотя разница между значениями меньше десятой части. Это самый распространённый способ соврать диаграммой, ничего не приписав.

✦ Что выбрать для показа

Если наборы данных разного объёма, сравнивай относительные частоты: $6$ пятёрок из $25$ и $7$ пятёрок из $35$ — это $0{,}24$ и $0{,}2$. Абсолютные частоты в таком сравнении бесполезны.

Проверка понимания

В 7А шесть пятёрок из 25 работ, в 7Б — семь пятёрок из 35. В каком классе доля пятёрок больше?

• А. В 7Б: там пятёрок семь, а не шесть
• Б. В 7А: 6 : 25 = 0,24 больше, чем 7 : 35 = 0,2
• В. Доли одинаковы, ведь разница в одну работу

Типичная ошибка

! Долю считают не от того целого

Относительная частота значения — это его частота, делённая на объём всей выборки, а не на число различных значений и не на максимально возможный результат.

В классе $25$ работ, четвёрок $10$. Доля четвёрок равна $10:25=0{,}4$, а не $10:4=2{,}5$ (делить на число различных отметок бессмысленно) и не $4:5=0{,}8$ (это отношение отметки к максимальной, оно вообще про другое).

Проверка простая: все относительные частоты лежат между $0$ и $1$, а их сумма равна ровно $1$.

Практика

1. По таблице частот отметок ($2$ — два раза, $3$ — семь, $4$ — десять, $5$ — шесть) найди объём выборки и все относительные частоты.
2. По той же таблице найди среднюю отметку, медиану и размах.
3. Число попаданий из пяти бросков у двадцати учеников: $2$, $3$, $1$, $4$, $2$, $3$, $0$, $2$, $5$, $3$, $1$, $2$, $4$, $3$, $2$, $1$, $3$, $5$, $4$, $3$. Построй таблицу частот с относительными частотами.
4. Для этого же ряда найди среднее, медиану и размах.
5. Рост двадцати учеников (см): $157$, $142$, $163$, $151$, $168$, $155$, $149$, $162$, $158$, $145$, $171$, $153$, $159$, $165$, $148$, $156$, $174$, $161$, $152$, $167$. Сгруппируй по интервалам ширины $10$, начиная со $140$.
6. Относительная частота события равна $0{,}35$, наблюдений было $200$. Сколько раз событие произошло?
7. Ученик сложил все относительные частоты и получил $0{,}95$. Что это означает?
8. Долю $0{,}28$ нужно показать сектором круговой диаграммы. Найди центральный угол этого сектора.
9. В 7А шесть пятёрок из $25$ работ, в 7Б — семь из $35$. Где доля пятёрок больше и во сколько раз она отличается?
10. Что произойдёт с диаграммой роста, если взять интервалы ширины $5$ см вместо $10$ см?
11. Почему ось частот на столбчатой диаграмме начинают с нуля?

Ответы и пояснения

1. $n=2+7+10+6=25$. Относительные частоты: $2:25=0{,}08$; $7:25=0{,}28$; $10:25=0{,}4$; $6:25=0{,}24$. Сумма равна $1$.
2. $\bar{x}=\frac{2\cdot2+3\cdot7+4\cdot10+5\cdot6}{25}=\frac{95}{25}=3{,}8$. Медиана — тринадцатое значение: до четвёрок накопилось $9$ значений, с четвёрками — $19$, значит медиана равна $4$. Размах $5-2=3$.
3. Частоты: $0$ — $1$; $1$ — $3$; $2$ — $5$; $3$ — $6$; $4$ — $3$; $5$ — $2$. Всего $20$. Относительные частоты: $0{,}05$; $0{,}15$; $0{,}25$; $0{,}3$; $0{,}15$; $0{,}1$; их сумма равна $1$.
4. Сумма значений $0\cdot1+1\cdot3+2\cdot5+3\cdot6+4\cdot3+5\cdot2=0+3+10+18+12+10=53$, среднее $53:20=2{,}65$. Десятое и одиннадцатое значения упорядоченного ряда равны $3$ (до троек накопилось $9$ значений, с тройками — $15$), медиана $3$. Размах $5-0=5$.
5. $[140;150)$ — $4$; $[150;160)$ — $8$; $[160;170)$ — $6$; $[170;180)$ — $2$. Проверка: $4+8+6+2=20$. Относительные частоты $0{,}2$; $0{,}4$; $0{,}3$; $0{,}1$.
6. $0{,}35\cdot200=70$ раз.
7. Сумма относительных частот обязана равняться $1$, поэтому $0{,}95$ — признак ошибки: потеряно $0{,}05$, то есть $5\%$ наблюдений (при $n=200$ это $10$ наблюдений).
8. Весь круг — $360°$, поэтому $0{,}28\cdot360°=100{,}8°$.
9. $6:25=0{,}24$ и $7:35=0{,}2$; больше доля в 7А. Отношение $0{,}24:0{,}2=1{,}2$, то есть доля в 7А больше в $1{,}2$ раза.
10. Интервалов станет примерно вдвое больше (около семи вместо четырёх), картинка подробнее, но каждый столбик ниже, и случайные колебания станут заметнее.
11. Высота столбика должна быть пропорциональна частоте. При обрезанной оси пропорциональность теряется, и небольшая разница выглядит как многократная.

Итог

• Частота — сколько раз значение встретилось; относительная частота — какую долю выборки оно составляет.
• Две контрольные суммы (частоты дают $n$, доли дают $1$) ловят почти любую ошибку подсчёта.
• Когда различных значений много, данные группируют по интервалам равной ширины; ширина определяет подробность картины.
• Наборы разного объёма сравнивают по долям, а не по абсолютным частотам; ось частот начинается с нуля.

До сих пор данные были собраны наблюдением. Дальше числа будет порождать сам опыт: бросок монеты, кубика и кнопки — и относительная частота получит новую работу.

← Среднее и медиана · Дальше: случайный опыт →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным