1.1 Квадратный корень

8 класс · Алгебра◷ 50–60 минут◇ БазаНужно знать: площадь квадрата, степень с натуральным показателем, модуль числа

Во дворе размечают квадратную клумбу площадью $20\text{ м}^2$. Верёвку нужно нарезать заранее, поэтому длину стороны надо назвать до разметки.

Квадрат со стороной $4$ м даёт площадь $16\text{ м}^2$ — мало. Квадрат со стороной $5$ м даёт $25\text{ м}^2$ — много. Значит, нужная сторона где-то между $4$ и $5$. Это уже не «примерно», а строгий вывод: площадь растёт вместе со стороной.

◎ После урока ты сможешь

• находить сторону квадрата по его площади и объяснять, почему это новое действие
• вычислять арифметический квадратный корень из точных квадратов, дробей и десятичных дробей
• применять тождества «квадрат корня» и «корень из квадрата» с модулем
• различать решения уравнения x² = a и значение выражения с корнем

Прогноз до вычислений

Назови своё число: сторона клумбы ближе к $4{,}2$, к $4{,}5$ или к $4{,}8$? Запиши прогноз, а потом проверь его в лаборатории — она возводит в квадрат каждую границу и показывает, куда попадает площадь.

Лаборатория квадратного корня

Площадь, сторона и зажим корня

Корень из числа — это сторона квадрата такой площади. Найти её точно удаётся не всегда, зажать между двумя числами — всегда.

√20

Квадрат по площадиЗажим корня

Площадь квадрата20От 0,01 до 10000; можно вводить десятичную дробь.

До целыхДо десятыхДо сотыхДо тысячных

Уточнение корня разряд за разрядом: квадрат нижней границы не больше подкоренного числа, квадрат верхней — не меньше.

Разряд	Снизу	Квадрат снизу	Сверху	Квадрат сверху
целые	4	16	5	25
десятые	4,4	19,36	4,5	20,25

√

√20 ≈ 4,4 с недостатком и ≈ 4,5 с избытком.4,4² = 19,36 ≤ 20 ≤ 20,25 = 4,5². Точное значение — бесконечная непериодическая дробь, поэтому знак ≈ обязателен.

↺ Вернуть пример

Переключай точность и следи за таблицей: нижняя граница в квадрате никогда не превосходит площадь, верхняя — никогда не меньше её. Между ними и живёт сторона.

Определение

∴ Арифметический квадратный корень

Пусть $a\ge0$. Арифметическим квадратным корнем из $a$ называют такое неотрицательное число $b$, что $b^2=a$. Записывают $b=\sqrt{a}$.

Число $a$ под знаком корня называют подкоренным выражением. При $a<0$ выражение $\sqrt{a}$ не имеет смысла: квадрат любого числа неотрицателен.

Слово «арифметический» стоит там не для красоты. Уравнение $b^2=25$ имеет два решения, $5$ и $-5$, но обозначение $\sqrt{25}$ выбирает из них ровно одно — неотрицательное. Поэтому $\sqrt{25}=5$, и никак иначе.

Чтобы считать быстро, полезно знать квадраты первых чисел наизусть:

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$n^2$	$1$	$4$	$9$	$16$	$25$	$36$	$49$	$64$	$81$	$100$

$n$	$11$	$12$	$13$	$14$	$15$	$16$	$17$	$18$	$19$	$20$
$n^2$	$121$	$144$	$169$	$196$	$225$	$256$	$289$	$324$	$361$	$400$

Два тождества

∴ Квадрат и корень отменяют друг друга — но по-разному

$(\sqrt{a})^2=a\quad\text{при } a\ge0,\qquad \sqrt{a^2}=|a|\quad\text{при любом } a.$

В первом равенстве отрицательное $a$ невозможно: под корнем оно недопустимо. Во втором — возможно, и тогда знак модуля обязателен: $\sqrt{(-6)^2}=\sqrt{36}=6$, а не $-6$.

Проверить второе тождество легко на примере. Число $-6$ возвели в квадрат — знак потерялся. Корень возвращает неотрицательное число, то есть модуль исходного.

Пять вычислений подрядРазбираем вместе

$\sqrt{49}=7,\qquad\text{потому что } 7\ge0 \text{ и } 7^2=49.$

$\sqrt{0{,}25}=0{,}5,\qquad\text{потому что } 0{,}5^2=0{,}25.$

$\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4},\qquad\text{потому что } \left(\frac{3}{4}\right)^2=\frac{9}{16}.$

$\sqrt{(-6)^2}=\sqrt{36}=6=|-6|.$

Выражение $\sqrt{-9}$ не имеет смысла: нет числа, квадрат которого равен $-9$.

Уравнение и значение корня

Это две разные задачи, и путать их дорого.

• Найти $\sqrt{81}$ — назвать одно число: $9$.
• Решить уравнение $x^2=81$ — назвать все числа, дающие в квадрате $81$: $x=9$ и $x=-9$, то есть $x=\pm\sqrt{81}$.

Если площадь квадрата равна $81$, отрицательное решение отбрасывают не потому, что оно «неправильное», а потому что сторона не бывает отрицательной. Это уже условие задачи, а не свойство корня.

Проверка понимания

Сколько решений у уравнения x² = 36 и чему равно √36?

• А. Одно решение; √36 = ±6
• Б. Два решения; √36 = ±6
• В. Два решения (6 и −6); √36 = 6

! «√25 = ±5»

Так писать нельзя. $\sqrt{25}$ — это одно число, и оно равно $5$.

Знак $\pm$ появляется только при решении уравнения: из $x^2=25$ следует $x=\pm5$. Проверить себя просто: если под корнем нет уравнения, ответом должно быть одно неотрицательное число.

Практика

1. Вычисли $\sqrt{64}$, $\sqrt{121}$, $\sqrt{400}$.
2. Вычисли $\sqrt{0{,}49}$, $\sqrt{1{,}44}$, $\sqrt{\dfrac{1}{9}}$.
3. Найди сторону квадрата площадью $169\text{ см}^2$.
4. Найди значения $(\sqrt{13})^2$ и $\sqrt{13^2}$.
5. Вычисли $\sqrt{(-7)^2}$ и $(\sqrt{7})^2$.
6. Реши уравнение $x^2=81$.
7. Реши уравнение $x^2=5$ и запиши ответ точно.
8. Имеет ли смысл выражение $\sqrt{-16}$? Объясни.
9. Площадь квадрата равна $2{,}25\text{ м}^2$. Найди его сторону и периметр.
10. Что больше: $\sqrt{81}$ или $8{,}5$?

Ответы и пояснения

1. $8$, $11$, $20$: $8^2=64$, $11^2=121$, $20^2=400$.
2. $0{,}7$, $1{,}2$, $\dfrac{1}{3}$: $0{,}7^2=0{,}49$, $1{,}2^2=1{,}44$, $\left(\dfrac{1}{3}\right)^2=\dfrac{1}{9}$.
3. $\sqrt{169}=13$ см.
4. Оба равны $13$: в первом случае $(\sqrt{13})^2=13$, во втором $\sqrt{169}=13$.
5. $\sqrt{(-7)^2}=\sqrt{49}=7$; $(\sqrt{7})^2=7$. Ответы совпали, но пути разные: в первом сработал модуль.
6. $x=9$ или $x=-9$.
7. $x=\sqrt{5}$ или $x=-\sqrt{5}$. Точный ответ оставляем с корнем.
8. Нет: квадрат любого числа неотрицателен, поэтому числа с квадратом $-16$ не существует.
9. Сторона $\sqrt{2{,}25}=1{,}5$ м, периметр $4\cdot1{,}5=6$ м.
10. $\sqrt{81}=9$, а $9>8{,}5$.

Итог

• Корень $\sqrt{a}$ — это сторона квадрата площади $a$: неотрицательное число, квадрат которого равен $a$.
• Подкоренное выражение не может быть отрицательным, и само значение корня тоже неотрицательно.
• $(\sqrt{a})^2=a$ при $a\ge0$, а $\sqrt{a^2}=|a|$ при любом $a$.
• Уравнение $x^2=a$ при $a>0$ имеет два решения, а запись $\sqrt{a}$ обозначает ровно одно число.

В следующем уроке вернёмся к площади $2$ и выясним неожиданное: подходящей дроби для неё нет вообще. Придётся расширить запас чисел.

← Вход в тему · Дальше: иррациональные числа →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным