6.7 Тела, развёртки и объём

6 класс · Геометрия◷ 55–65 минут◇ База + моделированиеНужно знать: многоугольники, площадь прямоугольника, формулы и единицы

Плоский чертёж упаковки может стать коробкой, а коробку можно послойно заполнить одинаковыми кубиками. Переход между рисунком, развёрткой и моделью — главный способ увидеть пространство без сложных формул.

◎ После урока ты сможешь

• распознавать куб, параллелепипед, призму, пирамиду, цилиндр, конус, шар и сферу
• использовать слова грань, ребро, вершина, основание и развёртка
• проверять, складывается ли набор квадратов в куб
• выводить и применять формулу объёма прямоугольного параллелепипеда

Как описывать тело

У многогранника плоские грани встречаются по рёбрам, а рёбра — в вершинах. У призмы два равных параллельных основания, у пирамиды одно основание, а боковые треугольные грани сходятся в вершине.

У цилиндра и конуса есть плоские круглые основания и кривые поверхности. Сфера — граница круглого тела, шар — сама пространственная область вместе с границей.

Пространственные тела

От модели и развёртки к объёму

Плоский рисунок передаёт устройство тела, а числовые размеры задают его объём.

3D → 2D

Узнать телоРазвёртка кубаОбъём

Рассмотри признаки моделиСледующее тело

Как называется тело?

кубпрямоугольный параллелепипедтреугольная призмачетырёхугольная пирамидацилиндрконусшар / сфераПроверить

?

Определи тело по модели.Выбери название, затем нажми «Проверить».

↺ Вернуть пример

! Не переносим слова без проверки

У цилиндра нет многоугольных боковых граней, а у шара нет рёбер и вершин. Удобнее отдельно считать плоские основания и кривые поверхности, чем насильно описывать круглые тела языком многогранников.

Развёртка должна сложиться без наложения

Развёртка получается, если разрезать поверхность тела по некоторым рёбрам и разложить её на плоскости. Шесть соединённых квадратов ещё не гарантируют куб: после сгиба две грани могут попытаться занять одно место.

Пространственные тела

От модели и развёртки к объёму

Плоский рисунок передаёт устройство тела, а числовые размеры задают его объём.

3D → 2D

Узнать телоРазвёртка кубаОбъём

Редактор 5 × 5

Выбери шесть квадратов

6/6

Стрелки перемещают фокус по сетке; Enter или пробел включает и выключает квадрат.

■

■■■■

■

Проверить развёртку

?

Выбрано квадратов: 6 из 6.Сначала составь развёртку, затем проверь складывание. Стрелки перемещают фокус, пробел выбирает клетку.

↺ Вернуть пример

Бумажная проверка развёрткиРазбираем вместе

Нарисуй предполагаемую развёртку на клетчатой бумаге, добавь клапаны, вырежи и согни. Если каждая из шести граней занимает отдельную сторону куба и края встречаются попарно без наложения, развёртка верна. Цифровая проверка моделирует тот же процесс, но бумажная модель показывает места сгиба руками.

Объём как число единичных кубов

Если длина $a$, ширина $b$ и высота $h$ — целые числа в выбранной единице, прямоугольный параллелепипед содержит $ab$ единичных кубов в одном слое и $h$ таких слоёв:

$V=abh.$

Если размеры дробные, можно перейти к более мелкой единице или разделить единичные кубы на равные меньшие кубики. Тот же подсчёт по трём направлениям снова даёт $V=abh$: дробное значение объёма означает часть выбранной кубической единицы, а не «часть неделимого кубика».

Для куба с ребром $a$ получаем $V=a^3$. Все три размера должны быть выражены в одной единице, а результат записывается в кубических единицах.

Пространственные тела

От модели и развёртки к объёму

Плоский рисунок передаёт устройство тела, а числовые размеры задают его объём.

см³

Узнать телоРазвёртка кубаОбъём

КубПараллелепипед

Длина5 см

−+

От 0,1 до 1000 см

Ширина3 см

−+

От 0,1 до 1000 см

Высота2 см

−+

От 0,1 до 1000 см

Мой объём, см³Проверить

?

Вычисли объём.Перемножь три измерения; результат запиши в кубических единицах.

↺ Вернуть пример

Кубический коэффициент переводаРазбираем вместе

В $1$ дм содержится $10$ см. Куб со стороной $1$ дм содержит $10\cdot10\cdot10=1000$ кубиков со стороной $1$ см:

$1\text{ дм}^3=1000\text{ см}^3=1\text{ л}.$

◆ Границы главы

Здесь мы вычисляем объём только куба и прямоугольного параллелепипеда. Для цилиндра, конуса, пирамиды и шара пока учимся распознавать форму и строить модель; их формулы объёма появятся позже.

Проверка понимания

Коробка имеет размеры 5 см × 3 см × 2 см. Каков её объём?

• А. 30 см²
• Б. 30 см³
• В. 10 см³

Практика

1. Сопоставь предметы и модели: игральная кость, консервная банка, рожок мороженого, мяч, палатка с двумя треугольными торцами.
2. Назови число граней, рёбер и вершин куба.
3. Назови число граней, рёбер и вершин прямоугольного параллелепипеда.
4. Сколько граней, рёбер и вершин у треугольной призмы?
5. Сколько граней, рёбер и вершин у пирамиды с квадратным основанием?
6. Опиши цилиндр и конус через плоские основания, кривые поверхности и вершины.
7. Объясни различие шара и сферы на примере мяча.
8. Найди объём параллелепипеда $5\text{ см}\times4\text{ см}\times3\text{ см}$.
9. Найди объём куба с ребром $2{,}5$ см.
10. Вырази $3\text{ дм}^3$ в кубических сантиметрах и литрах.
11. Основание модели состоит из $3\times4$ единичных кубов, высота — $2$ слоя. Сколько кубов в модели?
12. Все три измерения коробки увеличили в $2$ раза. Во сколько раз вырос объём?

Ответы и пояснения

1. Куб; цилиндр; конус; шар; треугольная призма.
2. $6$ граней, $12$ рёбер, $8$ вершин.
3. Также $6$, $12$, $8$.
4. $5$ граней, $9$ рёбер, $6$ вершин.
5. $5$ граней, $8$ рёбер, $5$ вершин.
6. У цилиндра два круглых основания, одна кривая боковая поверхность и нет вершин; у конуса одно круглое основание, одна кривая боковая поверхность и одна вершина.
7. Сфера соответствует только оболочке, шар — всему объёму внутри оболочки вместе с ней.
8. $V=5\cdot4\cdot3=60\text{ см}^3$.
9. $V=2{,}5^3=15{,}625\text{ см}^3$.
10. $3000\text{ см}^3$ и $3$ л.
11. $3\cdot4\cdot2=24$ куба.
12. В $2^3=8$ раз.

Итог

• Развёртка связывает плоские грани с пространственным телом и обязана складываться без наложения.
• Объём параллелепипеда — число единичных кубов: $V=abh$.
• При переводе объёма коэффициент длины возводится в куб.
• Круглые тела нельзя без оговорки описывать только терминами многогранников.

← Симметрия · Дальше: практикум →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным