5.3 Скалярное произведение

11 класс · Геометрия◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: скалярное произведение на плоскости, координаты вектора в пространстве, косинус угла

Две трубы проходят под потолком цеха и не пересекаются. Под каким углом они идут друг к другу? Транспортир приложить не к чему: у скрещивающихся прямых нет общей точки, а плоский чертёж искажает всё, что можно.

Зато у каждой трубы есть направляющий вектор. И одна операция превращает пару векторов в число, из которого угол извлекается точно.

◎ После урока ты сможешь

• вычислять скалярное произведение векторов пространства по координатам
• проверять перпендикулярность вычислением, а не по чертежу
• находить угол между векторами через косинус
• различать угол между векторами и угол между прямыми

Прогноз до вычислений

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ возьми диагонали двух соседних граней: $AB_1$ и $BC_1$. Они скрещиваются.

Какой между ними угол — $45°$, $60°$ или $90°$? Большинство уверенно называет $90°$: «грани же перпендикулярны». Запиши свою версию.

Определение и координатная формула

∴ Скалярное произведение

Скалярным произведением ненулевых векторов $\vec a$ и $\vec b$ называют число

$\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|\cdot\cos\varphi,$

где $\varphi$ — угол между векторами, отложенными от одной точки. Если хотя бы один вектор нулевой, произведение считают равным нулю.

Результат — число, а не вектор. Название урока совпадает с уроком 9 класса не случайно: это не однофамилец, а то же самое понятие, перенесённое в пространство. Определение выше — слово в слово девятиклассное. Иначе и быть не может: два вектора всегда лежат в какой-нибудь плоскости, поэтому пространство ничего нового в само определение не приносит. Меняется только запись в координатах.

∴ В координатах — третье слагаемое

Если $\vec a(x_1;y_1;z_1)$ и $\vec b(x_2;y_2;z_2)$, то

$\vec a\cdot\vec b=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2.$

В частности, скалярный квадрат равен квадрату длины: $\vec a\cdot\vec a=x_1^2+y_1^2+z_1^2=|\vec a|^2$.

Свойства прежние: $\vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec a$, затем $(k\vec a)\cdot\vec b=k(\vec a\cdot\vec b)$ и $(\vec a+\vec b)\cdot\vec c=\vec a\cdot\vec c+\vec b\cdot\vec c$. Именно последнее свойство позволяет считать произведение прямо через разложение по базису, не переходя к координатам.

Знак произведения читается без вычисления угла: плюс — угол острый, ноль — прямой, минус — тупой.

∴ Признак перпендикулярности

Ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда

$x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=0.$

Угол между векторами и угол между прямыми

Из определения сразу получаем косинус:

$\cos\varphi=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\cdot|\vec b|}=\frac{x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\cdot\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}.$

Угол между векторами лежит от $0°$ до $180°$: у вектора есть направление, и заменив $\vec{AB}$ на $\vec{BA}$, ты получишь смежный угол.

Угол между прямыми лежит от $0°$ до $90°$: у прямой направления нет. Поэтому

$\cos\alpha=\frac{|\vec a\cdot\vec b|}{|\vec a|\cdot|\vec b|}$

— с модулем в числителе. Забыть про этот модуль — самая частая ошибка урока.

Лаборатория векторов в пространстве

Скалярное произведение в теле

Начало координат стоит в вершине A, оси направлены по рёбрам AB, AD и AA₁. Выбирай точки — координаты и угол пересчитываются по формулам, а не измеряются по рисунку.

a · b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂

Ребро куба 4 см

Первый вектор: началовершина Aвершина Bвершина Cвершина Dвершина A₁вершина B₁вершина C₁вершина D₁середина ребра ABсередина ребра BCсередина ребра CDсередина ребра DAсередина ребра A₁B₁середина ребра B₁C₁середина ребра C₁D₁середина ребра D₁A₁середина ребра AA₁середина ребра BB₁середина ребра CC₁середина ребра DD₁центр грани ABCDцентр грани A₁B₁C₁D₁центр грани ABB₁A₁центр грани DCC₁D₁центр грани ADD₁A₁центр грани BCC₁B₁центр тела

Первый вектор: конецвершина Aвершина Bвершина Cвершина Dвершина A₁вершина B₁вершина C₁вершина D₁середина ребра ABсередина ребра BCсередина ребра CDсередина ребра DAсередина ребра A₁B₁середина ребра B₁C₁середина ребра C₁D₁середина ребра D₁A₁середина ребра AA₁середина ребра BB₁середина ребра CC₁середина ребра DD₁центр грани ABCDцентр грани A₁B₁C₁D₁центр грани ABB₁A₁центр грани DCC₁D₁центр грани ADD₁A₁центр грани BCC₁B₁центр тела

Второй вектор: началовершина Aвершина Bвершина Cвершина Dвершина A₁вершина B₁вершина C₁вершина D₁середина ребра ABсередина ребра BCсередина ребра CDсередина ребра DAсередина ребра A₁B₁середина ребра B₁C₁середина ребра C₁D₁середина ребра D₁A₁середина ребра AA₁середина ребра BB₁середина ребра CC₁середина ребра DD₁центр грани ABCDцентр грани A₁B₁C₁D₁центр грани ABB₁A₁центр грани DCC₁D₁центр грани ADD₁A₁центр грани BCC₁B₁центр тела

Второй вектор: конецвершина Aвершина Bвершина Cвершина Dвершина A₁вершина B₁вершина C₁вершина D₁середина ребра ABсередина ребра BCсередина ребра CDсередина ребра DAсередина ребра A₁B₁середина ребра B₁C₁середина ребра C₁D₁середина ребра D₁A₁середина ребра AA₁середина ребра BB₁середина ребра CC₁середина ребра DD₁центр грани ABCDцентр грани A₁B₁C₁D₁центр грани ABB₁A₁центр грани DCC₁D₁центр грани ADD₁A₁центр грани BCC₁B₁центр тела

Поворот −35°

Подъём 28°

Проекция параллельная и честная: экранные координаты получены скалярным умножением точки на два вектора картинной плоскости. Поэтому на рисунке углы и длины искажены — доверять нужно вычислениям в координатах.

Мой угол между AB₁ и BC₁, градусыПроверить

?

Векторы AB₁ и BC₁.Найди скалярное произведение, затем угол между векторами. Ответ вводи в градусах с точностью до 0,1.

↺ Вернуть пример

Лаборатория считает и произведение, и оба угла. Сначала посчитай сам, потом нажимай «Проверить».

Прогноз против вычисления: диагонали соседних гранейРазбираем вместе

Куб с ребром $a$, начало координат в вершине $A$. Тогда $B_1(a;0;a)$ и $C_1(a;a;a)$, а также $B(a;0;0)$.

Направляющие векторы: $\vec{AB_1}=(a;0;a)$ и $\vec{BC_1}=(0;a;a)$.

Произведение: $a\cdot0+0\cdot a+a\cdot a=a^2$. Уже видно, что оно не нуль, значит прямого угла нет.

Длины: $|\vec{AB_1}|=|\vec{BC_1}|=a\sqrt2$. Тогда

$\cos\alpha=\frac{a^2}{a\sqrt2\cdot a\sqrt2}=\frac{a^2}{2a^2}=\frac12,$

откуда $\alpha=60°$. Ответ не зависит от ребра — как и должно быть у углов подобных фигур.

Геометрическая проверка старым способом: $\vec{BC_1}=(0;a;a)$ и $\vec{AD_1}=(0;a;a)$ совпадают, то есть $BC_1\parallel AD_1$. Значит искомый угол равен углу $B_1AD_1$. Но $AB_1$, $AD_1$ и $B_1D_1$ — три диагонали граней, все длиной $a\sqrt2$, поэтому треугольник $AB_1D_1$ равносторонний и его угол равен $60°$. Два независимых пути дали один ответ.

Две диагонали кубаРазбираем вместе

Возьмём $\vec{AC_1}=(a;a;a)$ и $\vec{BD_1}$. Здесь $B(a;0;0)$ и $D_1(0;a;a)$, поэтому $\vec{BD_1}=(-a;a;a)$.

Произведение: $-a^2+a^2+a^2=a^2$. Длины обеих диагоналей равны $a\sqrt3$.

$\cos\alpha=\frac{a^2}{a\sqrt3\cdot a\sqrt3}=\frac13\approx0{,}333,$

значит $\alpha=\arccos\tfrac13\approx70{,}5°$.

Красивое число $90°$ здесь тоже не получается — и это ещё один аргумент против «вижу по рисунку».

Диагональ куба перпендикулярна двум прямым сразуРазбираем вместе

Пусть ребро равно $a$. Возьмём $\vec{AC_1}=(a;a;a)$ и проверим два вектора.

Для $\vec{BD}$: $B(a;0;0)$, $D(0;a;0)$, поэтому $\vec{BD}=(-a;a;0)$ и произведение равно $-a^2+a^2+0=0$.

Для $\vec{A_1B}$: $A_1(0;0;a)$, $B(a;0;0)$, поэтому $\vec{A_1B}=(a;0;-a)$ и произведение равно $a^2+0-a^2=0$.

Значит $AC_1\perp BD$ и $AC_1\perp A_1B$. Прямые $BD$ и $A_1B$ пересекаются (в точке $B$) и лежат в плоскости $A_1BD$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости диагональ $AC_1$ перпендикулярна всей плоскости $A_1BD$.

Заметь: два вычисления в одну строку заменили целое построение. Этот факт пригодится в следующем уроке.

! Три ловушки

Забывают модуль для прямых. Если $\cos\varphi=-\tfrac12$, то угол между векторами $120°$, а между прямыми — $60°$. Ответ «$120°$» на вопрос об угле между прямыми неверен всегда: такого угла между прямыми не бывает.

Перемножают координаты «крест-накрест». В формуле стоит $x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$, а не $x_1y_2+y_1z_2+z_1x_2$.

Из равенства нулю делают вывод о нулевом векторе. При ненулевых векторах $\vec a\cdot\vec b=0$ означает перпендикулярность, а не то, что один из множителей нулевой.

Проверка понимания

Направляющие векторы двух прямых имеют длины 2 и 6, а их скалярное произведение равно −6. Чему равен угол между прямыми?

• А. 120°
• Б. 60°
• В. 30°

Практика

Задачи 9–12 — о кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $a$.

1. Найди $\vec a\cdot\vec b$ для $\vec a(2;-1;3)$ и $\vec b(1;4;2)$.
2. Найди $|\vec a|$ и $|\vec b|$ для тех же векторов.
3. Найди угол между ними с точностью до $0{,}1°$.
4. Перпендикулярны ли векторы $(2;2;-1)$ и $(3;-1;4)$?
5. При каком $t$ векторы $(t;2;-1)$ и $(3;-1;4)$ перпендикулярны?
6. Найди угол между $(1;1;0)$ и $(0;1;1)$.
7. Найди угол между $(1;0;0)$ и $(1;1;1)$.
8. Известно, что $|\vec a|=2$, $|\vec b|=3$, угол между ними $120°$. Найди $\vec a\cdot\vec b$ и $|\vec a+\vec b|$.
9. Найди угол между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.
10. Найди угол между прямыми $AC_1$ и $BD_1$.
11. Найди угол между прямыми $AB_1$ и $CD_1$.
12. Найди угол между прямыми $A_1B$ и $B_1C$.
13. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания равна $6$, боковое ребро — $8$. Приняв $A(0;0;0)$, $B(6;0;0)$, $C(3;3\sqrt3;0)$, найди угол между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.

Ответы и пояснения

1. $2\cdot1+(-1)\cdot4+3\cdot2=2-4+6=4$.
2. $|\vec a|=\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14}\approx3{,}74$; $|\vec b|=\sqrt{1+16+4}=\sqrt{21}\approx4{,}58$.
3. $\cos\varphi=\dfrac{4}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{21}}=\dfrac{4}{\sqrt{294}}\approx0{,}2333$, поэтому $\varphi\approx76{,}5°$.
4. $6-2-4=0$ — да, перпендикулярны.
5. $3t-2-4=0$, значит $t=2$.
6. Произведение $0+1+0=1$, длины по $\sqrt2$; $\cos\varphi=\tfrac12$ и $\varphi=60°$.
7. Произведение $1$, длины $1$ и $\sqrt3$; $\cos\varphi=\dfrac{1}{\sqrt3}\approx0{,}577$ и $\varphi\approx54{,}7°$.
8. $\vec a\cdot\vec b=2\cdot3\cdot\cos120°=-3$; далее $|\vec a+\vec b|^2=4+9+2\cdot(-3)=7$, поэтому $|\vec a+\vec b|=\sqrt7\approx2{,}65$.
9. $\vec{AB_1}=(a;0;a)$, $\vec{BC_1}=(0;a;a)$; произведение $a^2$, длины $a\sqrt2$; $\cos\alpha=\tfrac12$, угол $60°$.
10. $\vec{AC_1}=(a;a;a)$, $\vec{BD_1}=(-a;a;a)$; произведение $a^2$, длины $a\sqrt3$; $\cos\alpha=\tfrac13$, угол $\approx70{,}5°$.
11. $\vec{AB_1}=(a;0;a)$, $\vec{CD_1}=(-a;0;a)$; произведение $-a^2+0+a^2=0$, угол $90°$.
12. $\vec{A_1B}=(a;0;-a)$, $\vec{B_1C}=(0;a;-a)$; произведение $a^2$, длины $a\sqrt2$; $\cos\alpha=\tfrac12$, угол $60°$.
13. $B_1(6;0;8)$ и $C_1(3;3\sqrt3;8)$, поэтому $\vec{AB_1}=(6;0;8)$ и $\vec{BC_1}=(-3;3\sqrt3;8)$. Произведение $-18+0+64=46$; длины $\sqrt{36+64}=10$ и $\sqrt{9+27+64}=10$. Тогда $\cos\alpha=0{,}46$ и $\alpha\approx62{,}6°$.

Итог

• Скалярное произведение в пространстве считается по формуле $x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$ и остаётся числом.
• Равенство нулю — рабочий признак перпендикулярности: он не требует ни чертежа, ни вспомогательных построений.
• Косинус угла между векторами — отношение произведения к произведению длин; для прямых числитель берут по модулю.
• Угол между скрещивающимися прямыми вычисляется так же, как между пересекающимися: общая точка для этого не нужна.

Мы умеем считать углы между прямыми. Осталось научиться работать с плоскостями — а для этого у плоскости должно появиться уравнение.

← Векторы и действия · Дальше: углы и расстояния →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным