2.5 Простейшие рациональные уравнения

8 класс · Алгебра◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: линейные уравнения, допустимые значения, разложение на множители

Решим уравнение

$\frac{x^2-4}{x-2}=0.$

Числитель раскладывается: $(x-2)(x+2)=0$, откуда $x=2$ или $x=-2$. Два корня?

Подставим $x=2$ в исходное уравнение: знаменатель равен нулю, и левая часть вообще не существует. Значит, корень один. Такое значение называют посторонним корнем — и оно появляется не из-за ошибки, а из-за самого метода решения.

◆ Два слова, которые пока берём в кредит

Посторонний корень. Почему метод решения вообще имеет право добавлять корни, честно разберём в 10 классе: там появится понятие уравнения-следствия (равносильность и следствие). Пока достаточно правила: домножил на выражение с буквой — проверь каждый корень.

Рациональное уравнение. Здесь мы решаем только простейшие из них — с одной-двумя дробями. Целые и дробно-рациональные уравнения разделят и назовут в 9 классе (рациональные уравнения).

◎ После урока ты сможешь

• применять условие «дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет»
• решать уравнение умножением обеих частей на общий знаменатель
• проверять каждый найденный корень на допустимость
• отличать посторонний корень от ошибки в вычислениях

Прогноз до вычислений

• Когда обыкновенная дробь равна нулю?
• Уравнение $\dfrac{x-1}{x^2-1}=0$: сколько корней ты ожидаешь?
• Почему после умножения обеих частей на выражение с буквой ответ обязательно нужно проверять?

Эксперимент: кандидаты и корни

Переключи лабораторию в режим «Дробь = 0» и разбери кандидатов по одному.

Лаборатория алгебраических дробей

Уравнение с посторонним корнем

Знаменатель — единственный источник запретов. Подставляй значения и смотри, где дробь теряет смысл.

(x² − 4) / (x − 2)

Допустимые значенияДробь = 0

(x² − 4) / (x − 2)→?

Какие корни имеет уравнение «дробь = 0»?

Мой ответНапример: 3; −2. Если таких значений нет — напиши «нет».Проверить

Подстановка вместо догадки

Значения дроби

Своё значение xЦелое или десятичная дробь, например 2,5.

Дробь (x² − 4) / (x − 2) при разных x

x	Знаменатель x − 2	Значение дроби	Вывод
−2	−4	0	значение допустимо
0	−2	2	значение допустимо
1	−1	3	значение допустимо
2	0	не определено	знаменатель равен нулю
3	1	5	значение допустимо

?

Какие корни имеет уравнение «дробь = 0»?Перечисли значения через точку с запятой; если таких значений нет — напиши «нет».

↺ Вернуть пример

Числитель даёт кандидатов. Знаменатель решает, кто из них становится корнем.

Главное условие

∴ Дробь равна нулю

$\frac{P}{Q}=0\quad\Longleftrightarrow\quad P=0\ \text{ и }\ Q\ne0.$

Оба условия обязательны. Первое даёт кандидатов, второе отсеивает те из них, при которых дробь не определена.

Алгоритм решения простейшего рационального уравнения:

1. Найди допустимые значения (реши уравнение «знаменатель $=0$»).
2. Приведи уравнение к виду «дробь $=0$» или умножь обе части на общий знаменатель.
3. Реши полученное целое уравнение.
4. Сверь каждый корень со списком запретов.
5. Запиши ответ; если допустимых корней не осталось, ответ — «корней нет».

Решим (x² − 4)/(x − 2) = 0Разбираем вместе

Допустимые значения. $x-2=0$ при $x=2$, значит $x\ne2$.

Числитель. $x^2-4=(x-2)(x+2)=0$, откуда $x=2$ или $x=-2$.

Проверка. Значение $x=2$ запрещено — оно постороннее. Значение $x=-2$ допустимо.

Ответ: $x=-2$.

Подстановка: $\dfrac{(-2)^2-4}{-2-2}=\dfrac{0}{-4}=0$ — верно.

Уравнение с дробями в обеих частях

Если дроби стоят слева и справа, обе части умножают на общий знаменатель. Умножение на выражение с буквой — не тождественное преобразование: оно может добавить корни, поэтому шаг 4 остаётся обязательным.

Решим 2/(x − 1) = 3/(x + 4)Разбираем вместе

Допустимые значения: $x\ne1$ и $x\ne-4$.

Умножим обе части на $(x-1)(x+4)$:

$2(x+4)=3(x-1).$

$2x+8=3x-3,\qquad -x=-11,\qquad x=11.$

Значение $11$ не входит в список запретов — это корень.

Проверка: $\dfrac{2}{11-1}=\dfrac{2}{10}=0{,}2$ и $\dfrac{3}{11+4}=\dfrac{3}{15}=0{,}2$.

Ответ: $x=11$.

! Решил — и не проверил

Уравнение $\dfrac{x}{x-2}=\dfrac{2}{x-2}$. Умножаем обе части на $x-2$ и получаем $x=2$.

Но $x=2$ — как раз запрещённое значение: при нём обе дроби не определены. Правильный ответ: корней нет.

Проверка корня по исходному уравнению — не формальность, а часть решения. Особенно когда корень подозрительно совпал с нулём знаменателя.

Проверка понимания

Сколько корней имеет уравнение (x − 1)/(x² − 1) = 0?

• А. Один: x = 1
• Б. Два: x = 1 и x = −1
• В. Ни одного

Практика

Реши уравнение. Не забывай выписывать допустимые значения до решения.

1. $\dfrac{x-5}{x+2}=0$
2. $\dfrac{3x+12}{x}=0$
3. $\dfrac{x^2-9}{x-3}=0$
4. $\dfrac{x+7}{x^2+1}=0$
5. $\dfrac{x-1}{x^2-1}=0$
6. $\dfrac{x}{x-2}=\dfrac{2}{x-2}$
7. $\dfrac{2}{x-1}=\dfrac{3}{x+4}$
8. $\dfrac{x+1}{x-3}=2$
9. $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{4}$
10. $\dfrac{x^2-5x+6}{x-3}=0$

Ответы и пояснения

1. $x\ne-2$; $x-5=0$, $x=5$ — допустимо. Ответ: $x=5$.
2. $x\ne0$; $3x+12=0$, $x=-4$ — допустимо. Ответ: $x=-4$.
3. $x\ne3$; $x^2-9=(x-3)(x+3)=0$ даёт $x=3$ (постороннее) и $x=-3$. Ответ: $x=-3$.
4. $x^2+1>0$ всегда, запретов нет; $x+7=0$. Ответ: $x=-7$.
5. $x^2-1=(x-1)(x+1)$, поэтому $x\ne1$ и $x\ne-1$; единственный кандидат $x=1$ запрещён. Ответ: корней нет.
6. $x\ne2$; после умножения на $x-2$ получаем $x=2$ — постороннее значение. Ответ: корней нет.
7. $x\ne1$, $x\ne-4$; $2(x+4)=3(x-1)$, $2x+8=3x-3$, $x=11$. Ответ: $x=11$.
8. $x\ne3$; $x+1=2(x-3)$, $x+1=2x-6$, $x=7$. Проверка: $\dfrac{8}{4}=2$. Ответ: $x=7$.
9. $x\ne0$; $\dfrac{1}{x}=\dfrac{3}{4}-\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{4}$, значит $x=4$. Ответ: $x=4$.
10. $x\ne3$; группировка: $x^2-5x+6=x^2-2x-3x+6=x(x-2)-3(x-2)=(x-2)(x-3)$. Кандидаты $x=2$ и $x=3$; второй запрещён. Ответ: $x=2$.

Итог

• Дробь равна нулю только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет.
• Умножение обеих частей на выражение с буквой может добавить посторонние корни.
• Допустимые значения выписывают до решения, а каждый корень сверяют с ними после.
• Ответ «корней нет» — полноценный ответ, а не признак ошибки.

Дальше — практикум: смешанные задачи, где нужно самому выбрать действие и не потерять ни одного условия.

← Умножение и деление · Дальше: практикум →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным