6.5 Окружность и круг

6 класс · Геометрия◷ 45–55 минут◇ База + экспериментНужно знать: радиус, диаметр, площадь, дроби и округление

Нить, обёрнутая вокруг стакана, измеряет его границу. Квадратная сетка под круглой крышкой помогает оценить место внутри. Это снова две разные величины — длина окружности и площадь круга.

◎ После урока ты сможешь

• различать окружность как границу и круг как внутреннюю область вместе с границей
• связывать радиус и диаметр
• понимать число π как постоянное отношение длины окружности к диаметру
• вычислять длину окружности и площадь круга точно с π и приближённо

Радиус, диаметр и центр

Все точки окружности находятся на одном расстоянии $r$ от центра. Это расстояние — радиус. Отрезок через центр с концами на окружности — диаметр $d$:

$d=2r, \qquad r=\frac d2.$

◆ Граница и область

Окружность — линия, поэтому её длина измеряется в сантиметрах или метрах. Круг занимает площадь, поэтому его площадь измеряется в квадратных единицах.

Эксперимент с нитью

Измерь нитью длину нескольких круглых предметов и линейкой их диаметры. Частные $C:d$ будут близки к одному и тому же числу:

$\pi=\frac Cd\approx3{,}14.$

Различия между результатами появляются из-за толщины нити, неточного центра и округления. Число $3{,}14$ — удобное приближение, а не точное значение $\pi$.

Измерение фигур

Граница, поверхность и окружность

Единица длины превращается в квадратную единицу только при измерении площади.

см · см²

Периметр и площадьОценка по сеткеКруг и окружность

Радиус5 см

−+

От 0,1 до 1000 см; можно вводить десятичную или обычную дробь

π ≈ 3,14π ≈ 22/7

Длина окружности, см

Площадь, см²

Проверить

?

Вычисли длину окружности и площадь круга.Результаты появятся только после нажатия «Проверить».

↺ Вернуть пример

Две формулы

Так как $d=2r$, длину окружности можно записать двумя равными способами:

$C=\pi d=2\pi r.$

Площадь круга:

$S=\pi r^2.$

Запись $10\pi$ см — точная. Запись $31{,}4$ см при $\pi\approx3{,}14$ — приближённая и требует знака $\approx$.

Круглая клумбаРазбираем вместе

Радиус клумбы равен $3$ м. Тогда

$C=2\pi\cdot3=6\pi\text{ м}\approx18{,}84\text{ м},$

$S=\pi\cdot3^2=9\pi\text{ м}^2\approx28{,}26\text{ м}^2.$

Для бордюра нужна первая величина, для грунта — вторая.

! π не получает единицу

Число $\pi$ — безразмерное отношение двух длин. Единица ответа приходит от $d$ или $r$ в формуле: в $C$ она остаётся линейной, в $S$ становится квадратной.

Проверка понимания

Диаметр окружности равен 10 см. Чему приближённо равна её длина при π ≈ 3,14?

• А. 15,7 см
• Б. 31,4 см
• В. 78,5 см²

Практика

Во всех приближённых вычислениях заданий 4–9 используй $\pi\approx3{,}14$.

1. Чем окружность отличается от круга? Какая величина относится к каждой фигуре?
2. Найди диаметр при $r=4$ см.
3. Найди радиус при $d=15$ м.
4. Найди длину окружности диаметра $10$ см точно и приближённо.
5. Найди площадь круга радиуса $3$ см точно и приближённо.
6. При измерении получили $C\approx31{,}5$ см и $d\approx10$ см. Какое приближение $\pi$ даёт опыт?
7. Диаметр колеса $0{,}7$ м. Какой путь оно проходит примерно за один полный оборот без проскальзывания?
8. Радиус круглой столешницы $0{,}6$ м. Найди её площадь.
9. Радиус увеличили в $2$ раза. Во сколько раз увеличатся длина окружности и площадь круга?
10. Используй $\pi\approx\frac{22}{7}$ для круга радиуса $7$ см. Найди приближённые $C$ и $S$.
11. Построй циркулем окружность радиуса $3{,}5$ см и проведи диаметр. Какой длины должен быть диаметр при контрольном измерении?

Ответы и пояснения

1. Окружность — граница, для неё находят длину; круг — внутренняя область с границей, для него находят площадь.
2. $d=2r=8$ см.
3. $r=d:2=7{,}5$ м.
4. $C=10\pi$ см $\approx31{,}4$ см.
5. $S=9\pi\text{ см}^2\approx28{,}26\text{ см}^2$.
6. $31{,}5:10=3{,}15$. Отклонение от $3{,}14\ldots$ объясняется погрешностью измерения.
7. $C\approx3{,}14\cdot0{,}7=2{,}198$ м.
8. $S\approx3{,}14\cdot0{,}6^2=3{,}14\cdot0{,}36=1{,}1304\text{ м}^2$.
9. Длина увеличится в $2$ раза, площадь — в $2^2=4$ раза.
10. $C\approx2\cdot\frac{22}{7}\cdot7=44$ см; $S\approx\frac{22}{7}\cdot49=154\text{ см}^2$.
11. $d=2r=7$ см; диаметр должен проходить через отмеченный центр.

Итог

• Отношение $C:d$ для любой окружности равно одному числу $\pi$.
• $C=\pi d=2\pi r$ измеряется в единицах длины, $S=\pi r^2$ — в квадратных.
• $\pi$ можно оставить в точном ответе; при замене приближением нужен знак $\approx$.

← Периметр и площадь · Дальше: симметрия →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным