4.5 Практикум: каркас павильона

10 класс · Геометрия◷ 70–90 минут · можно по станциям◇ БазаНужно знать: уроки 4.1–4.4

Выставочный павильон собирают из одинаковых кубических модулей с ребром $4$ м. Модуль обозначим $ABCDA_1B_1C_1D_1$ : $ABCD$ — квадрат пола, $A_1B_1C_1D_1$ — квадрат потолка.

Монтажникам нужно заказать трубы каркаса, растяжки прожекторов и крепёжные рейки. Каждый заказ — это одно число, и у каждого числа должен быть ответ на вопрос «какой именно отрезок или угол ты посчитал».

Станция 1. Стыки каркаса

Сварщику важно знать, встречаются ли две трубы в узле. Для каждой пары рёбер модуля возможны три ответа, и «на глаз» они различаются плохо: поверни куб — и картинка изменится, а ответ нет.

Поворот −35°

Подъём 28°

Проекция параллельная: длины и углы на рисунке искажены, но параллельность прямых сохраняется.

Как расположены выбранные рёбра?параллельныепересекающиесяскрещивающиеся

Пара BB₁ и D₁A₁.Поверни куб, реши, есть ли плоскость, содержащая обе прямые, и выбери ответ.

Всего у куба 12 рёбер и 66 пар: 18 параллельных, 24 пересекающихся и 24 скрещивающихся.

Почему BB₁ и A₁D₁ не встречаютсяРазбираем вместе

Прямая $A_1D_1$ лежит в плоскости потолка $A_1B_1C_1D_1$ . Прямая $BB_1$ пересекает эту плоскость в точке $B_1$ , причём $B_1\notin A_1D_1$ : точки $A_1$ , $B_1$ , $D_1$ — три разные вершины квадрата и на одной прямой не лежат.

По признаку скрещивающихся прямых $BB_1$ и $A_1D_1$ скрещиваются. Общего узла нет, а расстояние между ними равно ребру $A_1B_1=4$ м: отрезок $A_1B_1$ перпендикулярен обеим прямым.

Станция 2. Растяжка прожектора

Прожектор закреплён в точке $M$ на высоте $3$ м над полом. Его основание — точка $H$ пола, а трос идёт от $M$ к анкеру $A$ , причём $HA=4$ м.

Перпендикуляр MH 3 м

Проекция HA 4 м

Моя наклонная MA, м

MH = 3 м, HA = 4 м.Найди длину наклонной MA и запиши ответ с точностью до 0,01.

Заказывать нужно две разные величины: длину троса (это наклонная) и высоту подвеса (это перпендикуляр). Путать их нельзя — трос длиной $3$ м до анкера просто не дотянется.

Станция 3. Крепёжная рейка

Рейка $a$ лежит на полу, проходит через анкер $A$ и перпендикулярна проекции троса $HA$ . Монтажник утверждает, что рейка перпендикулярна и самому тросу. Проверь это утверждение при разных длинах.

Перпендикуляр MH 5 м

Проекция HA 6 м

Прямая a перпендикулярна и проекции HA, и наклонной MA.Она лежит в плоскости и перпендикулярна проекции, поэтому по теореме о трёх перпендикулярах она перпендикулярна наклонной. Проверь: меняй MH = 5 м и HA = 6 м — оба прямых угла сохраняются.

Проверка понимания

Для заказа троса от прожектора на высоте 3 м до анкера, удалённого от основания на 4 м, какая величина нужна?

Итоговый набор задач

Модуль — куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $4$ м.

Сколько у модуля пар скрещивающихся рёбер? Обоснуй подсчёт.
Назови все рёбра, скрещивающиеся с ребром $BB_1$ .
Найди угол между прямыми $AB$ и $B_1C_1$ .
Найди угол между прямыми $AB$ и $CD_1$ .
Докажи, что $(ABB_1A_1)\parallel(DCC_1D_1)$ , и найди расстояние между этими плоскостями.
Прожектор закреплён на высоте $3$ м, проекция троса равна $4$ м. Найди длину троса и угол, который он образует с полом.
Другой прожектор висит на высоте $12$ м; от него идут два троса длиной $13$ м и $15$ м. Найди проекции тросов и сравни их.
Рейка на полу проходит через анкер $A$ перпендикулярно проекции $HA$ . Докажи, что она перпендикулярна тросу $MA$ .
Найди длину диагонали модуля $AC_1$ и угол между ней и плоскостью пола.
Найди расстояние между скрещивающимися рёбрами $AB$ и $CC_1$ и назови общий перпендикуляр.
Датчики стоят в точках $P(1;1;1)$ и $Q(3;4;7)$ (координаты в метрах). Найди расстояние между ними.
Сопоставь работу и величину: длина троса; высота подвеса над полом; уклон пандуса; развал двух скатов крыши.

Ответы, модели и проверки

$24$ пары. Каждое из $12$ рёбер скрещивается ровно с четырьмя другими, и каждая пара считается дважды: $12\cdot4:2=24$ . Проверка: всего пар $\dfrac{12\cdot11}{2}=66$ , из них $18$ параллельных и $24$ пересекающихся, а $66-18-24=24$ .
$CD$ , $DA$ , $C_1D_1$ , $D_1A_1$ . Параллельны ему $AA_1$ , $CC_1$ , $DD_1$ ; пересекают его $AB$ , $BC$ , $A_1B_1$ , $B_1C_1$ .
$90°$ : $B_1C_1\parallel BC$ , а $\angle ABC=90°$ .
$45°$ : $CD_1\parallel BA_1$ , и $BA_1$ — диагональ квадрата $ABB_1A_1$ .
$AB\parallel DC$ и $AA_1\parallel DD_1$ — две пары пересекающихся прямых, значит плоскости параллельны по признаку. Расстояние равно ребру $AD=4$ м.
Трос $=\sqrt{3^2+4^2}=5$ м. Угол с полом: $\operatorname{tg}\varphi=\dfrac{3}{4}=0{,}75$ , поэтому $\varphi\approx37°$ .
$\sqrt{13^2-12^2}=5$ м и $\sqrt{15^2-12^2}=9$ м. Большей наклонной соответствует большая проекция.
Рейка лежит в плоскости пола и перпендикулярна проекции $HA$ наклонной $MA$ , значит по теореме о трёх перпендикулярах она перпендикулярна и $MA$ .
$AC=4\sqrt2$ , поэтому $AC_1=\sqrt{(4\sqrt2)^2+4^2}=\sqrt{32+16}=4\sqrt3\approx6{,}93$ м. Проекция $AC_1$ на пол — диагональ $AC$ , и $\sin\varphi=\dfrac{4}{4\sqrt3}=\dfrac{1}{\sqrt3}\approx0{,}577$ , откуда $\varphi\approx35°$ .
$4$ м. Общий перпендикуляр — ребро $BC$ : оно перпендикулярно $AB$ и перпендикулярно $CC_1$ и соединяет эти прямые.
$PQ=\sqrt{2^2+3^2+6^2}=\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7$ м.
Длина троса — наклонная; высота подвеса — расстояние от точки до плоскости (перпендикуляр); уклон пандуса — угол между прямой и плоскостью; развал скатов — угол между плоскостями (линейный угол двугранного угла).

Рефлексия проекта

Где ответ получился точным, а где пришлось округлять и почему?
Какое из чисел можно проверить вторым способом? Проверь его.
Какое реальное ограничение не учитывает модель павильона?

Возможные ответы: длины $5$ м, $4$ м, $7$ м и углы $45°$ , $90°$ точные, а $\varphi\approx37°$ и $\varphi\approx35°$ приближённые, потому что тангенс этих углов не даёт табличного значения. Угол диагонали с полом проверяется и через тангенс $\left(\dfrac{1}{\sqrt2}\right)$ , и через синус $\left(\dfrac{1}{\sqrt3}\right)$ . Модель не учитывает толщину труб, размер узлов и провисание троса — реальный трос длиннее расчётной наклонной.

← Расстояния и углы · К обзору 10 класса →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.