1.4. Простые числа и разложение на множители

6 класс · Делимость◷ 35–40 минут◇ База + углублениеНужно знать: делители и признаки делимости

Из $12$ одинаковых плиток можно сложить прямоугольники $1\times12$, $2\times6$ и $3\times4$. А из $13$ плиток — только полоску $1\times13$. Почему одни числа распадаются на меньшие множители, а другие будто сопротивляются разборке?

◎ После урока ты сможешь

• различать простые, составные числа и число 1
• проверять небольшое число на простоту без лишнего перебора
• раскладывать составное число на простые множители и проверять результат

Дойди до простых листьев

Дерево множителей

Разложи число до простых листьев

На каждом шаге отделяется наименьший простой множитель.

шаг за шагом

Число 84От 2 до 360

Быстрый выбор числа

Дерево числа 84

• 84

Начни с корня. Найдём его наименьший простой делитель.

Найти первый множитель↺ Свернуть дерево

Меняй число и раскрывай дерево по одному шагу. Ветвление заканчивается тогда, когда каждый лист уже нельзя разложить в произведение двух натуральных чисел, больших $1$.

Три разных случая

∴ Простое и составное число

Натуральное число, большее $1$, называют простым, если у него ровно два натуральных делителя: $1$ и само число.

Натуральное число, большее $1$, называют составным, если у него больше двух натуральных делителей. Иначе говоря, его можно представить в виде произведения двух натуральных чисел, больших $1$.

Например, $13$ — простое: его делители только $1$ и $13$. Число $12$ — составное, потому что $12=3\cdot4$.

Число $1$ не относится ни к простым, ни к составным: у него один натуральный делитель, а не два. Число $2$ — самое маленькое простое и единственное чётное простое число. Любое другое чётное число больше $2$ делится на $2$ и потому составное.

Как проверить число на простоту

Перебирать все числа до самого проверяемого не нужно. Если $n=a\cdot b$, то хотя бы один из множителей не больше $\sqrt n$. Иначе оба множителя были бы больше $\sqrt n$, а их произведение — больше $n$.

Поэтому достаточно искать делитель от $2$ до $\sqrt n$. Более того, можно проверять только простые делители: $2,3,5,7,11,\ldots$

Проверим, простое ли число 97Разбираем вместе

Число $97$ меньше $100$, значит $\sqrt{97}<10$. Проверяем простые числа, меньшие $10$:

• на $2$ число не делится, потому что оно нечётное;
• на $3$ не делится: сумма цифр равна $16$;
• на $5$ не делится: последняя цифра не $0$ и не $5$;
• на $7$ не делится: $97=7\cdot13+6$.

Делителей до $\sqrt{97}$ нет, поэтому $97$ — простое число.

✦ Необязательное углубление: решето Эратосфена

Чтобы найти все простые числа до заданной границы, выпиши натуральные числа от $2$. Оставь $2$, а вычеркни его кратные, большие самого $2$; затем оставь первое невычеркнутое число $3$ и вычеркни его большие кратные; потом повтори шаг для $5$ и так далее. Невычеркнутые числа останутся простыми. Этот древний алгоритм называют решетом Эратосфена.

Простые множители — строительные блоки числа

Составной множитель можно раскладывать дальше, пока не останутся только простые числа:

$84=2\cdot42=2\cdot2\cdot21=2\cdot2\cdot3\cdot7=2^2\cdot3\cdot7.$

Такая запись называется разложением на простые множители. Порядок множителей не важен, поэтому одинаковые множители удобно собирать в степени.

Разложим 756 на простые множителиРазбираем вместе

Идём от наименьшего возможного простого делителя:

$756=2\cdot378=2\cdot2\cdot189.$

Число $189$ делится на $3$, потому что сумма его цифр равна $18$:

$189=3\cdot63=3\cdot3\cdot21=3\cdot3\cdot3\cdot7.$

Следовательно,

$756=2^2\cdot3^3\cdot7.$

Проверка: $2^2\cdot3^3\cdot7=4\cdot27\cdot7=756$.

✦ Почему разные деревья дают одинаковый ответ

Число $60$ можно начать раскладывать как $6\cdot10$ или как $3\cdot20$, но в конце в обоих случаях получатся множители $2^2\cdot3\cdot5$. Для каждого натурального числа, большего $1$, разложение на простые множители единственно, если не учитывать порядок. Это утверждение называют основной теоремой арифметики.

Проверка понимания

Какое из трёх чисел является простым?

• А. 1
• Б. 51
• В. 53

! Ловушка: оставить составной лист

Запись $84=4\cdot21$ верна, но это ещё не разложение на простые множители: и $4$, и $21$ составные. Продолжай ветвить дерево, пока каждый лист не станет простым, а затем перемножь листья для проверки.

Практика

Разберись с определениями

1. Распредели числа $1,2,9,17,21,29$ на простые, составные и число, не входящее ни в одну из этих групп.
2. Выпиши все простые числа, меньшие $30$.
3. Простое ли число $91$? Обоснуй ответ.

Разложи на простые множители

4. Разложи число $60$.
5. Разложи число $84$.
6. Разложи число $210$.
7. Какое число имеет разложение $2^3\cdot3^2\cdot5$?
8. Построй два разных дерева множителей для $72$ и сравни их простые листья.

Исследуй

9. Найди наименьший простой делитель числа $221$.
10. Может ли произведение двух простых чисел быть простым числом? Объясни.

Ответы и объяснения

1. Простые: $2,17,29$; составные: $9,21$; число $1$ — ни простое, ни составное.
2. $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29$.
3. Нет: $91=7\cdot13$, поэтому число составное.
4. $60=2^2\cdot3\cdot5$.
5. $84=2^2\cdot3\cdot7$.
6. $210=2\cdot3\cdot5\cdot7$.
7. $2^3\cdot3^2\cdot5=8\cdot9\cdot5=360$.
8. Например, можно начать с $72=8\cdot9$ или с $72=6\cdot12$. В обоих деревьях листья дадут $72=2^3\cdot3^2$.
9. $221$ не делится на $2,3,5,7$ и $11$, но $221=13\cdot17$. Наименьший простой делитель — $13$.
10. Нет. Если $p$ и $q$ простые, то у произведения $pq$ есть делители $p$ и $q$, причём $1<p<pq$ и $1<q<pq$. Поэтому $pq$ составное.

Мостик к следующему уроку

Разложения помогают увидеть устройство двух чисел одновременно. Например,

$84=2^2\cdot3\cdot7,\qquad126=2\cdot3^2\cdot7.$

Общие простые части $2$, $3$ и $7$ образуют число $42$. В следующем уроке разберёмся, почему именно оно позволяет собрать наибольшее число одинаковых комплектов.

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным