5.4 Практикум: отчёт по данным

7 класс · Данные◷ 70–90 минут · можно по станциям◇ Смешанная практикаНужно знать: уроки 5.1–5.3

Совет класса готовит отчёт для родительского собрания: сколько собрали на общий подарок, как класс справляется с нормативом по броскам, и как честно разыграть три места в поездке. В отчёте будут числа — и каждое придётся защитить.

◎ После урока ты сможешь

• выбирать характеристику данных под конкретный вопрос
• проверять таблицу частот и диаграмму на честность
• оценивать вероятность по серии опытов и говорить о точности оценки
• называть ограничения своей модели

Станция 1. Сколько сдали на подарок

Девять человек сдали $200$, $250$, $250$, $300$, $300$, $350$, $400$, $450$ и $500$ рублей. Десятый пока не сдал. Сначала прикинь ответ на глаз, потом открой характеристики кнопкой.

Лаборатория данных

Среднее, медиана и размах

Девять человек уже сдали деньги. Взнос десятого задаёшь ты. Проверь, какая характеристика убегает вслед за одним значением, а какая остаётся на месте.

n = 10

Сборка кубикаСбор на подарок

Десять взносов на общий подарок, рубли

Взнос десятого ученика400 ₽От 100 до 5000 ₽; стрелки клавиатуры двигают ползунок на 50.

Обычное значение: 400 ₽Выброс: 5000 ₽

Масштаб оси один для всех точек: расстояние на рисунке пропорционально разности значений.

Показать центр

Среднее

?

Сумма всех значений, делённая на их количество: слагаемых ровно 10.

Медиана

?

Середина упорядоченного ряда; при чётном объёме — среднее двух серединных значений.

Размах

300

Разность наибольшего и наименьшего: 500 − 200.

?

Сначала оцени центр на глаз, потом открой ответ.Точки уже нарисованы: прикинь, где окажется середина ряда, а где — среднее.

↺ Вернуть пример

Два отчёта об одном сбореРазбираем вместе

Обычный взнос $400$ ₽. Сумма девяти взносов равна $3000$, вместе с десятым — $3400$, поэтому

$\bar{x}=\frac{3400}{10}=340.$

Упорядоченный ряд: $200$, $250$, $250$, $300$, $300$, $350$, $400$, $400$, $450$, $500$. Серединные значения — пятое и шестое: $300$ и $350$, медиана равна $\frac{300+350}{2}=325$. Размах $500-200=300$.

Десятый взнос $5000$ ₽. Сумма становится $3000+5000=8000$, поэтому $\bar{x}=800$. Медиана не изменилась: пятое и шестое значения по-прежнему $300$ и $350$, значит $325$. Размах вырос до $5000-200=4800$.

Фраза «в среднем сдали по $800$ рублей» формально верна и полностью вводит в заблуждение: восемь человек из десяти сдали меньше $500$. Честная формулировка — «типичный взнос $325$ ₽; один взнос составил $5000$ ₽».

Станция 2. Норматив по броскам

Двадцать учеников бросали мяч в кольцо по пять раз. Число попаданий:

$2,\;3,\;1,\;4,\;2,\;3,\;0,\;2,\;5,\;3,\;1,\;2,\;4,\;3,\;2,\;1,\;3,\;5,\;4,\;3.$

Построй таблицу частот, а потом переключись на интервалы и посмотри, как меняется картинка.

Лаборатория частот

Частота, доля и диаграмма

Слева таблица, справа столбики: одно и то же считается двумя способами — в штуках и в долях.

n = 20

Данные наблюденийСлучайный опыт

Отметки за тестПопадания из пяти бросковРост, см

По отдельным значениямПо интервалам

Таблица частот: число попаданий; всего наблюдений 20

Значение	Частота	Отн. частота
0	1	0,05
1	3	0,15
2	5	0,25
3	6	0,3
4	3	0,15
5	2	0,1
Всего	20	1

Относительная частота — частота, делённая на 20. Сумма всех относительных частот равна единице.

Ось частот начинается с нуля: иначе разница между столбиками выглядела бы больше, чем есть.

▥

Самая многочисленная группа — 3: 6 наблюдений из 20, доля 0,3.Пока различных значений мало, каждое удобно считать отдельно. Когда значений становится много, переходи к интервалам.

↺ Вернуть пример

Станция 3. Жеребьёвка и несимметричный опыт

Для розыгрыша мест решили бросать не монету, а канцелярскую кнопку — «так интереснее». Прежде чем соглашаться, надо выяснить, что у кнопки с шансами.

Лаборатория частот

Частота, доля и диаграмма

Слева таблица, справа столбики: одно и то же считается двумя способами — в штуках и в долях.

n = 200

Данные наблюденийСлучайный опыт

МонетаКубикКнопка

Канцелярская кнопка. Тоже два исхода, но кнопка несимметрична, и доля заранее неизвестна.

Число опытов 200Доступны серии: 10, 20, 50, 100, 200, 500, 1000. Длиннее серия — надёжнее оценка.

Номер серии 3Номер задаёт серию целиком: тот же номер — та же последовательность исходов.

Провести новую серию

остриём вверхна боку

Исходы серии из 200 опытов, серия № 3

Исход	Частота	Отн. частота
остриём вверх	138	0,69
на боку	62	0,31
Всего	200	1

Исходы этого опыта не равновозможны, поэтому ожидаемую долю нельзя получить рассуждением о симметрии — её оценивают по частоте.

Ломаная построена по одной и той же серии: первые опыты дают резкие скачки, дальше каждый новый опыт меняет долю всё слабее.

Показать долю модели

≈

Событие «кнопка упала остриём вверх» случилось 138 раз из 200: относительная частота 0,69, то есть 69 %.Доля модели скрыта. Увеличивай серию и следи, около какого числа успокаивается ломаная: это и есть частотная оценка вероятности.

↺ Вернуть пример

◆ Паспорт числа в отчёте

Рядом с каждым числом отчёта запиши четыре вещи: что оно измеряет, в каких единицах, точное оно или приближённое, и на скольких наблюдениях получено. Оценка вероятности $0{,}69$ по $200$ опытам и та же оценка по $10$ опытам — совершенно разные по надёжности числа, хотя выглядят одинаково.

Проверка понимания

В отчёте о сборе денег один взнос в 15 раз больше остальных. Какую характеристику центра честнее указать?

• А. Среднее: оно учитывает все значения без исключения
• Б. Медиану, а про большой взнос сказать отдельно
• В. Размах: он показывает, насколько велик разброс

Итоговый набор задач

1. Взносы (₽): $200$, $250$, $250$, $300$, $300$, $350$, $400$, $450$, $500$, $400$. Найди среднее, медиану и размах.
2. Десятый взнос заменили на $5000$ ₽. Пересчитай три характеристики и скажи, какая из них перестала описывать типичный взнос.
3. Построй таблицу частот для ряда попаданий со станции 2 и укажи самую многочисленную группу вместе с её долей.
4. Для того же ряда найди среднее, медиану и размах.
5. Сгруппируй ряд попаданий по интервалам ширины $2$, начиная с нуля, и найди относительные частоты интервалов.
6. В 7А музыкой занимаются $8$ человек из $25$, в 7Б — $9$ из $30$. Где доля больше?
7. Долю $0{,}55$ показывают сектором круговой диаграммы. Найди центральный угол сектора.
8. Кнопку бросили $200$ раз, остриём вверх она упала $138$ раз. Дай частотную оценку вероятности этого события.
9. Сколько примерно раз ожидать «остриём вверх» в серии из $1000$ бросков той же кнопки?
10. Монету бросили $50$ раз, орёл выпал $28$ раз. Достаточно ли этого, чтобы усомниться в симметрии монеты?
11. Номера тянут наугад пять команд. Какова вероятность того, что твоя команда получит номер $1$?
12. У двух наборов данных одинаковое среднее, но размах первого равен $4$, а второго — $40$. Что это говорит о наборах?

Ответы, проверки и оговорки

1. Сумма $3400$; $\bar{x}=340$ ₽. Упорядоченный ряд даёт серединные значения $300$ и $350$, медиана $325$ ₽. Размах $500-200=300$ ₽.
2. Сумма $8000$; $\bar{x}=800$ ₽; медиана по-прежнему $325$ ₽; размах $5000-200=4800$ ₽. Типичный взнос перестало описывать среднее: восемь взносов из десяти меньше $500$ ₽.
3. Частоты: $0$ — $1$; $1$ — $3$; $2$ — $5$; $3$ — $6$; $4$ — $3$; $5$ — $2$; всего $20$. Самая многочисленная группа — три попадания: $6$ учеников, доля $6:20=0{,}3$.
4. Сумма значений $0\cdot1+1\cdot3+2\cdot5+3\cdot6+4\cdot3+5\cdot2=53$, среднее $53:20=2{,}65$. Десятое и одиннадцатое значения упорядоченного ряда равны $3$, медиана $3$. Размах $5-0=5$.
5. $[0;2)$ — значения $0$ и $1$: $1+3=4$; $[2;4)$ — значения $2$ и $3$: $5+6=11$; $[4;6)$ — значения $4$ и $5$: $3+2=5$. Проверка: $4+11+5=20$. Относительные частоты $0{,}2$; $0{,}55$; $0{,}25$, их сумма равна $1$.
6. $8:25=0{,}32$ и $9:30=0{,}3$; доля больше в 7А, хотя в 7Б человек больше.
7. $0{,}55\cdot360°=198°$.
8. $P\approx138:200=0{,}69$. Это оценка по $200$ опытам, а не точное значение.
9. Примерно $0{,}69\cdot1000=690$ раз. Точное число заранее неизвестно; отклонение в несколько десятков совершенно обычно.
10. Нет. Доля равна $28:50=0{,}56$, отклонение от $0{,}5$ составляет $3$ броска — типичное колебание для такой короткой серии. Нужны сотни бросков.
11. Исходы жеребьёвки равновозможны, их пять, поэтому $P=\frac{1}{5}=0{,}2$.
12. Средние совпадают, но во втором наборе значения разбросаны в десять раз шире. Одна характеристика центра не описывает данные: рядом с ней нужна характеристика разброса.

Рефлексия проекта

1. В каком из заданий ответ был точным, а в каком — оценкой, зависящей от длины серии?
2. Какое задание можно проверить вторым способом, не повторяя первый?
3. Какое реальное обстоятельство не учитывает модель кнопки или модель жеребьёвки?

Возможные ответы: пункты 1–7 и 11 дают точные числа, пункты 8–10 — оценки, надёжность которых растёт вместе с числом опытов; таблицу частот проверяют двумя контрольными суммами, а среднее по таблице частот — прямым суммированием исходного ряда; модель кнопки не учитывает поверхность, высоту броска и износ кнопки, а модель жеребьёвки — что бумажки могут отличаться на ощупь.

✦ Мост дальше

В следующих классах случайность перестанет быть только опытной. Появятся вероятностные деревья и правило умножения для нескольких шагов, независимые и несовместные события, а разброс данных будет измеряться точнее, чем размахом. Основа останется той же: список исходов, честная таблица и понимание, что одно число никогда не описывает набор данных целиком.

← Случайный опыт · К обзору 7 класса →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным