5.3. Подстановка и таблица значений

6 класс · Буквы и формулы◷ 40–50 минут◇ База + мост к 7 классуНужно знать: выражение и порядок действий, числа со знаком

Датчик передаёт число $x$, а программа вычисляет $3x-2$. Один вход даёт один выход. Если подать несколько входов по очереди, получится таблица, которая показывает зависимость результата от $x$.

◎ После урока ты сможешь

• подставлять положительные, отрицательные и дробные значения без потери знака
• строить и читать таблицу значений выражения
• замечать значения, при которых вычисление невозможно

Подстановка — точная замена

Вместо каждой буквы ставим указанное число, лучше сначала в скобках. Для $3x-2$ при $x=-1$ запись шага выглядит так:

$3\cdot(-1)-2=-3-2=-5.$

Скобки помогают увидеть, что минус относится ко всему числу $-1$.

Машина выражений

Подставить числа и выполнить план

Дерево показывает, какие действия зависят друг от друга, а трассировка — в каком порядке они выполняются.

3 · x-2

ПодстановкаПорядок действийТаблица

Значение x 0

−+

От −5 до 5, шаг 1.

3 · x-2→−2

Меняем один вход

Таблица значений

x	Значение выражения	Состояние
−2	−8	определено
−1	−5	определено
0	−2	определено
1	1	определено
2	4	определено
3	7	определено

ƒ

Значение выражения: −2.В таблице меняется x; остальные значения остаются закреплёнными.

↺ Вернуть пример

Полученная таблица содержит пары

$(-2;-8),\ (-1;-5),\ (0;-2),\ (1;1),\ (2;4),\ (3;7).$

В каждой паре сначала записан вход $x$, после точки с запятой — значение выражения. Если увеличить $x$ на $1$, выход увеличивается на $3$.

∴ Алгоритм подстановки

1. Замени каждую букву её значением, отрицательное число заключи в скобки.
2. Выполни действия в обычном порядке.
3. Проверь знак и примерный размер ответа.

Две переменныеРазбираем вместе

Найдём $2a-3b$ при $a=-1{,}5$ и $b=2$:

$2\cdot(-1{,}5)-3\cdot2=-3-6=-9.$

Значения разных букв подставляются независимо. Нельзя заменить $b$ числом, заданным для $a$.

Проверка понимания

Чему равно 2x − 3 при x = −1?

• А. −1
• Б. −5
• В. 5

Не всякое число подходит

Это небольшое углубление готовит язык 7 класса. Сейчас достаточно одного арифметического ограничения: деление на ноль невозможно.

Рассмотрим выражение

$\frac{12}{n-1}.$

При $n=3$ знаменатель равен $2$, результат равен $6$. При $n=1$ знаменатель становится нулём, а делить на ноль нельзя. Поэтому $1$ — недопустимое значение для этого выражения.

Машина выражений

Подставить числа и выполнить план

Дерево показывает, какие действия зависят друг от друга, а трассировка — в каком порядке они выполняются.

12 ÷ (n-1)

ПодстановкаПорядок действийТаблица

Значение n 3

−+

От −2 до 6, шаг 1.

12 ÷ (n-1)→6

1. 1

   Подстановкаn → 3

2. 2

   Сложение или вычитание3 − 1 → 2

3. 3

   Скобки(2) → 2

4. 4

   Умножение или деление12 ÷ 2 → 6

ƒ

Значение выражения: 6.Сначала заменяем буквы числами, затем идём по дереву снизу вверх.

↺ Вернуть пример

◆ Допустимые значения

Значение переменной допустимо, если после подстановки все указанные действия можно выполнить. В частности, ни один знаменатель не должен стать нулём.

Таблица — не набор несвязанных ответов

Таблица позволяет увидеть, как меняется выход. Для $y=3x-2$ постоянная разность соседних выходов равна $3$, если соседние входы отличаются на $1$. Но это наблюдение верно только при одинаковом шаге по $x$.

! Минус перед отрицательным числом

В выражении $5-x$ при $x=-2$ получается $5-(-2)=7$, а не $3$. Сначала запиши подстановку со скобками, затем используй правило вычитания отрицательного числа.

◆ Квадрат — короткая запись произведения

В двух заданиях ниже встретится $x^2$. Здесь $x^2=x\cdot x$: число умножают само на себя. Никакие другие правила действий со степенями в этом уроке не нужны.

Практика

1. Найди $4x+1$ при $x=2$.
2. Найди $4x+1$ при $x=-2$.
3. Найди $5-a$ при $a=-3$.
4. Найди $x^2-1$ при $x=-4$.
5. Найди $2p+q$ при $p=1{,}5$ и $q=-2$.
6. Заполни выходы для $y=2x-3$, если $x=-2;-1;0;1;2$.
7. Запиши пары $(x;y)$ из задания 6.
8. На сколько меняется $y=5x+4$, когда $x$ увеличивается на $1$?
9. Вычисли $\frac{18}{m+2}$ при $m=1$.
10. Какое значение недопустимо для $\frac{7}{k-4}$?
11. Найди ошибку в подстановке: $-2x=-2-3=-5$ при $x=3$.
12. Составь таблицу для $a^2$ при $a=-2;-1;0;1;2$. Что замечаешь?

Ответы и пояснения

1. $9$.
2. $-7$.
3. $5-(-3)=8$.
4. $(-4)^2-1=16-1=15$.
5. $2\cdot1{,}5+(-2)=1$.
6. $-7;-5;-3;-1;1$.
7. $(-2;-7)$, $(-1;-5)$, $(0;-3)$, $(1;-1)$, $(2;1)$.
8. На $5$.
9. $\frac{18}{3}=6$.
10. $k=4$, потому что знаменатель стал бы нулём.
11. Запись $-2x$ означает умножение: $-2\cdot3=-6$.
12. Значения $4;1;0;1;4$; противоположные входы дают одинаковые квадраты.

Итог

• Подстановка заменяет букву числом, но не меняет порядок действий.
• Таблица собирает пары «вход; выход» и помогает увидеть зависимость.
• Перед вычислением нужно убедиться, что значение допустимо.

Дальше узнаем, почему некоторые внешне разные планы всегда дают одинаковый результат: разделим прямоугольник на части.

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным