6.4 Дискретные распределения

10 класс · Вероятность◷ 60–70 минут◇ БазаНужно знать: условная вероятность, независимость, схема Бернулли

Билет лотереи стоит $100$ ₽. Выигрыш $1000$ ₽ выпадает одному билету из двухсот, выигрыш $100$ ₽ — одному из двадцати, остальные билеты пустые.

Вопрос «выиграю ли я» ответа не имеет: результат случаен. Но вопрос «сколько в среднем принесёт один билет» — имеет, и ответ вычисляется точно.

Вопрос урока: как описать числовой результат случайного опыта целиком и что значит «в среднем» для случайной величины?

◎ После урока ты сможешь

• строить таблицу распределения дискретной случайной величины и проверять её по сумме вероятностей
• вычислять математическое ожидание и объяснять его смысл
• применять биномиальное распределение и формулу M(X) = np
• пересчитывать распределение при дополнительном условии

Случайная величина и её распределение

∴ Дискретная случайная величина

Случайная величина — числовая характеристика исхода опыта. Величина называется дискретной, если её значения можно перечислить.

Распределением называют таблицу всех значений $x_1,\ldots,x_m$ с их вероятностями $p_1,\ldots,p_m$, где

$p_i\ge 0\quad\text{и}\quad p_1+p_2+\ldots+p_m=1.$

Сумма, равная единице, — обязательная проверка любой такой таблицы: величина обязана принять хоть какое-то значение.

Слово не новое: числом успехов в схеме Бернулли ты уже пользовался как случайной величиной и строил для неё таблицу распределения. Здесь у него наконец появилось определение, годное для любого опыта, — не только для серии испытаний.

Пусть $X$ — сумма очков при броске двух кубиков. Значений одиннадцать, но равновозможны не они, а $36$ пар граней:

$x$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$
$p$	$\frac{1}{36}$	$\frac{2}{36}$	$\frac{3}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{6}{36}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{3}{36}$	$\frac{2}{36}$	$\frac{1}{36}$

Проверка: $1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36$, сумма вероятностей равна $1$.

Эксперимент

Лаборатория распределений

Случайная величина и её распределение

Слева таблица всех значений с точными вероятностями, справа их картина. Сумма вероятностей всегда равна единице — это первая проверка любой таблицы.

36 исходов

Схема БернуллиОпыт с равновозможными исходами

Сумма двух кубиковНаибольшее из двухРазность двух кубиковОрлы на трёх монетах

Бросают красный и синий кубики. Равновозможны 36 пар, а не 11 сумм.

Отмеченное значение X 2Стрелки клавиатуры двигают отметку по значениям величины; для неё считаются P(X = k), P(X ≥ k) и P(X ≤ k).

Таблица распределения: сумма очков, всего 36 равновозможных исходов

Значение	Благоприятных исходов	Вероятность	Приближённо
2	1	1/36	0,0278
3	2	1/18	0,0556
4	3	1/12	0,0833
5	4	1/9	0,1111
6	5	5/36	0,1389
7	6	1/6	0,1667
8	5	5/36	0,1389
9	4	1/9	0,1111
10	3	1/12	0,0833
11	2	1/18	0,0556
12	1	1/36	0,0278
Сумма	36	1	1

Второй столбец — просто число благоприятных исходов; вероятность получается делением на общее число равновозможных исходов.

Σ

P(X = 2) = 1/36 ≈ 0,0278; P(X ≥ 2) = 1; P(X ≤ 2) = 1/36.Математическое ожидание M(X) = 7 ≈ 7. Самое вероятное значение — 7. Ожидание — это «центр тяжести» распределения, а не самое частое значение: у несимметричной картинки они расходятся.

↺ Вернуть пример

Переключись между опытами и посмотри на два режима лаборатории. В режиме «Опыт с равновозможными исходами» вероятности получаются перебором всех исходов; в режиме «Схема Бернулли» — по формуле. Штриховая линия отмечает математическое ожидание: она почти никогда не попадает точно на столбик.

Математическое ожидание

∴ Математическое ожидание

$M(X)=x_1p_1+x_2p_2+\ldots+x_mp_m.$

Это среднее значение величины, взвешенное по вероятностям: то число, к которому приближается среднее арифметическое результатов при большом числе повторений опыта.

Формула знакомая: по ней в схеме Бернулли получалось $M(X)=np$. Там её вывели для одного распределения, здесь она записана для любого.

Для суммы двух кубиков считать по таблице необязательно. Каждый кубик в среднем даёт

$M=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3{,}5,$

а математическое ожидание суммы равно сумме ожиданий: $M(X)=3{,}5+3{,}5=7$. Это свойство верно всегда, даже если слагаемые зависимы.

Сколько стоит лотерейный билет на самом делеРазбираем вместе

Пусть $X$ — выигрыш по одному билету.

Распределение.

$x$, ₽	$0$	$100$	$1000$
$p$	$\frac{189}{200}$	$\frac{1}{20}$	$\frac{1}{200}$

Проверка суммы: $\dfrac{1}{200}+\dfrac{1}{20}=\dfrac{1+10}{200}=\dfrac{11}{200}$, значит на пустые билеты остаётся $\dfrac{189}{200}$, и всего получается $1$.

Ожидание выигрыша.

$M(X)=1000\cdot\frac{1}{200}+100\cdot\frac{1}{20}+0\cdot\frac{189}{200}=5+5=10\ \text{₽}.$

Чистый результат. Билет стоит $100$ ₽, поэтому ожидание прибыли равно $10-100=-90$ ₽ на билет.

Как это читать. Ни один игрок не потеряет ровно $90$ ₽: он потеряет $100$, или выиграет $0$ ₽ сверх цены, или разбогатеет на $900$. Число $-90$ ₽ описывает не отдельную игру, а средний итог на большой серии — и именно на нём держится доход организатора.

Биномиальное распределение

Если опыт — серия из $n$ независимых испытаний с вероятностью успеха $p$, то величина $X$ «число успехов» распределена по схеме Бернулли:

$P(X=k)=C_n^k\,p^k q^{\,n-k},\qquad q=1-p.$

Такое распределение называют биномиальным. У него удобное ожидание:

$M(X)=np.$

Например, для стрелка с $p=\frac{3}{5}$ и пятью выстрелами

$P(X=3)=C_5^3\left(\frac{3}{5}\right)^3\left(\frac{2}{5}\right)^2=10\cdot\frac{27}{125}\cdot\frac{4}{25}=\frac{1080}{3125}=\frac{216}{625}=0{,}3456,$

а среднее число попаданий равно $5\cdot\frac{3}{5}=3$.

Обрати внимание, где здесь работает предыдущий урок: формула верна только потому, что испытания независимы. Без независимости перемножать $p^k q^{\,n-k}$ нельзя.

Условное распределение

Дополнительная информация меняет не одну вероятность, а всю таблицу.

∴ Распределение при условии

Если событие $C$ имеет $P(C)>0$, то

$P(X=x_i\mid C)=\frac{P(X=x_i\ \text{и}\ C)}{P(C)}.$

Оставляем только подходящие строки таблицы и делим каждую вероятность на $P(C)$. Сумма снова становится равной единице.

Сумма двух кубиков, если известно, что она не меньше восьмиРазбираем вместе

Событие $C$: $X\ge 8$. Подходят значения $8,9,10,11,12$ с вероятностями $\frac{5}{36},\frac{4}{36},\frac{3}{36},\frac{2}{36},\frac{1}{36}$, поэтому

$P(C)=\frac{5+4+3+2+1}{36}=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}.$

Делим каждую строку на $P(C)$ — знаменатели $36$ сокращаются, и остаются доли внутри пятнадцати исходов:

$x$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$
$p$	$\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$	$\frac{4}{15}$	$\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$	$\frac{2}{15}$	$\frac{1}{15}$

Проверка: $\frac{5+4+3+2+1}{15}=1$.

Условное ожидание.

$M(X\mid C)=\frac{8\cdot5+9\cdot4+10\cdot3+11\cdot2+12\cdot1}{15}=\frac{40+36+30+22+12}{15}=\frac{140}{15}=\frac{28}{3}\approx9{,}33.$

Было $7$, стало примерно $9{,}33$: условие отрезало все маленькие значения и сдвинуло центр вправо.

А вот условие «сумма чётная» ожидание не сдвинет: оставшаяся таблица симметрична относительно семёрки, и $M(X\mid\text{чётная})=7$. Условие меняет распределение, но не обязано менять ожидание.

Проверка понимания

В таблице распределения случайной величины стоят три вероятности: 0,2; 0,3 и 0,4. Что можно сказать о такой таблице?

• А. Всё в порядке: вероятности неотрицательны и меньше единицы
• Б. Таблица неполная: сумма равна 0,9, не хватает ещё 0,1
• В. Ошибка: вероятности разных значений должны быть равны

Типичная ошибка

! Ждать от ожидания невозможного

Три ловушки подряд.

Первая: «$M(X)=3{,}5$ — значит на кубике может выпасть $3{,}5$». Не может. Ожидание — среднее по вероятностям, а не одно из значений.

Вторая: «$M(X)$ — самое вероятное значение». Тоже нет. У биномиального распределения с $n=5$ и $p=\frac{3}{5}$ ожидание равно $3$, но при $n=5$ и $p=\frac{1}{2}$ ожидание $2{,}5$ не совпадает ни с одним столбиком.

Третья: складывать вероятности вместо значений. В формуле $M(X)=\sum x_ip_i$ вероятности — это веса, а не слагаемые.

✦ Углубление: разброс вокруг ожидания

Две величины с одинаковым $M(X)$ могут вести себя совершенно по-разному. Разброс измеряют дисперсией

$D(X)=\sum p_i\bigl(x_i-M(X)\bigr)^2.$

Для одного кубика $D(X)=\frac{35}{12}\approx2{,}92$, для числа успехов в схеме Бернулли $D(X)=npq$. Корень из дисперсии — среднее квадратичное отклонение, у него есть и второе, более ходовое имя: стандартное отклонение, обозначение $\sigma$. Измеряется оно в тех же единицах, что и сама величина. Подробно к этому вернёмся в статистике 11 класса.

Практика

1. $X$ — число орлов при двух бросках монеты. Составь таблицу распределения и найди $M(X)$.
2. $X$ — число очков при броске кубика. Найди $M(X)$. Может ли $X$ принять это значение?
3. Может ли таблица со значениями $1$, $2$, $3$ и вероятностями $0{,}2$; $0{,}5$; $0{,}4$ быть распределением?
4. Для лотереи из урока найди математическое ожидание чистой прибыли игрока с одного билета.
5. Стрелок с $p=\frac{3}{5}$ делает $5$ независимых выстрелов. Найди $P(X=3)$ и $M(X)$.
6. $X$ — сумма очков на двух кубиках. Найди $P(X=5)$ и $M(X)$.
7. Для той же суммы найди условное распределение при условии $X\ge10$ и условное ожидание.
8. За $20$ ₽ разрешают бросить кубик: при шестёрке платят $60$ ₽, иначе ничего. Выгодна ли игра?
9. Как связаны $M(X+Y)$ и ожидания слагаемых для суммы очков на двух кубиках?
10. Прибор состоит из $4$ независимых блоков, каждый исправен с вероятностью $0{,}9$. $X$ — число исправных блоков. Найди $M(X)$ и вероятность того, что исправны все четыре.

Ответы и пояснения

1. $P(0)=\frac{1}{4}$, $P(1)=\frac{1}{2}$, $P(2)=\frac{1}{4}$; $M(X)=0\cdot\frac14+1\cdot\frac12+2\cdot\frac14=1$. Проверка формулой: $np=2\cdot\frac12=1$.
2. $M(X)=3{,}5$; такого значения у кубика нет — ожидание не обязано быть возможным значением.
3. Нет: $0{,}2+0{,}5+0{,}4=1{,}1\ne1$.
4. $M(\text{выигрыш})=10$ ₽, билет стоит $100$ ₽, поэтому ожидание прибыли равно $-90$ ₽.
5. $P(X=3)=C_5^3\left(\frac35\right)^3\left(\frac25\right)^2=\frac{216}{625}=0{,}3456$; $M(X)=5\cdot\frac35=3$.
6. $P(X=5)=\frac{4}{36}=\frac19$; $M(X)=7$.
7. $P(X\ge10)=\frac{3+2+1}{36}=\frac{6}{36}=\frac16$. Условные вероятности: $P(10)=\frac36=\frac12$, $P(11)=\frac26=\frac13$, $P(12)=\frac16$. Ожидание: $10\cdot\frac12+11\cdot\frac13+12\cdot\frac16=5+\frac{11}{3}+2=\frac{32}{3}\approx10{,}67$.
8. $M(\text{выигрыш})=60\cdot\frac16=10$ ₽ при цене $20$ ₽. Ожидание прибыли равно $-10$ ₽ за бросок — игра невыгодна.
9. $M(X+Y)=M(X)+M(Y)=3{,}5+3{,}5=7$. Ожидание суммы всегда равно сумме ожиданий.
10. $M(X)=4\cdot0{,}9=3{,}6$; $P(X=4)=0{,}9^4=0{,}6561$.

Итог

• Дискретная случайная величина задаётся таблицей значений и вероятностей, сумма которых равна $1$.
• $M(X)=\sum x_ip_i$ — среднее по вероятностям; оно не обязано быть возможным значением величины.
• Для биномиального распределения $P(X=k)=C_n^kp^kq^{\,n-k}$ и $M(X)=np$; формула требует независимости испытаний.
• Условие пересчитывает всю таблицу: подходящие вероятности делятся на $P(C)$, и сумма снова становится единицей.

Теперь у тебя есть весь набор: условная вероятность, независимость, разбор по гипотезам и распределения. Осталось собрать их в одной задаче — этим займёмся в практикуме.

← Полная вероятность и формула Байеса · Дальше: практикум →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным