6.1 Прямые и расстояния

6 класс · Геометрия◷ 45–55 минут◇ БазаНужно знать: квадратная сетка, координаты точки, единицы длины

На плане коридор изображён отрезком, направление луча фонаря — лучом, а границы длинной стены продолжаются мысленно как прямые. Похожие штрихи на бумаге могут обозначать разные геометрические объекты.

◎ После урока ты сможешь

• различать прямую, отрезок, луч и ломаную
• распознавать параллельные, перпендикулярные и просто пересекающиеся прямые
• понимать расстояние от точки до прямой как длину перпендикуляра
• находить длину маршрута по рёбрам квадратной сетки

Линия как модель

• Прямая не имеет концов и продолжается в обе стороны.
• Луч имеет начало и продолжается в одном направлении.
• Отрезок ограничен двумя концами.
• Ломаная составлена из последовательно соединённых отрезков.

На чертеже прямая неизбежно обрывается краем страницы. Стрелки или условие сообщают, что геометрически она продолжается.

! Не суди только по рисунку

Два коротких отрезка могут не пересекаться на листе, хотя содержащие их прямые пересекутся после продолжения. Параллельность относится к прямым, а не к тому, хватило ли места на рисунке.

Как расположены две прямые

Две различные прямые на плоскости могут пересекаться или быть параллельными. Если при пересечении образуются прямые углы, прямые перпендикулярны. Угольник помогает проверить прямой угол, линейка — продолжить направление.

Геометрическая сетка

Прямые, расстояния и маршруты

Координатная сетка помогает строить точно, но вывод всегда остаётся геометрическим.

задача

ПрямыеДо прямойМаршрут

x конца b2

−+

Целое от -5 до 5

y конца b-4

−+

Целое от -5 до 5

Как расположены прямые a и b?

совпадаютпараллельныперпендикулярныпересекаются, но не под прямым угломПроверить

?

Определи отношение прямых.Выбери вариант и только затем нажми «Проверить».

↺ Вернуть пример

Расстояние — кратчайшая связь

Из точки $A$ к прямой $l$ можно провести много отрезков. Расстоянием называют длину того из них, который перпендикулярен $l$. Любой наклонный путь до этой прямой длиннее.

Точка над краем площадкиРазбираем вместе

Прямая границы проходит горизонтально по линии сетки, а точка находится на $4$ клетки выше. Перпендикуляр идёт вертикально и имеет длину $4$ клетки. Наклонный отрезок до другого места границы не задаёт расстояние, даже если его удобнее нарисовать.

Геометрическая сетка

Прямые, расстояния и маршруты

Координатная сетка помогает строить точно, но вывод всегда остаётся геометрическим.

задача

ПрямыеДо прямойМаршрут

x точки P2

−+

Целое от -5 до 5

y точки P3

−+

Целое от -5 до 5

Какой отрезок является расстоянием до прямой?

перпендикуляр к прямойотрезок к первой отмеченной точкеотрезок ко второй отмеченной точкеПроверить

?

Какой отрезок задаёт расстояние?Выбери кратчайший путь от точки P до прямой a.

↺ Вернуть пример

Длина маршрута

Если путь идёт по рёбрам квадратной сетки, складываем длины всех его звеньев. Это не то же самое, что расстояние между началом и концом: маршрут может делать повороты и возвращаться назад.

Робот на складеРазбираем вместе

Робот прошёл $5$ клеток вправо, $3$ вверх и $2$ влево. Длина маршрута равна $5+3+2=10$ клеток, а конечная точка смещена от начальной на $3$ клетки вправо и $3$ вверх. Два описания отвечают на разные вопросы.

Проверка понимания

Точка A лежит вне прямой l. Какой отрезок от A до l задаёт расстояние между точкой и прямой?

• А. Любой отрезок до любой точки прямой
• Б. Перпендикуляр из A к прямой l
• В. Самый длинный отрезок, видимый на чертеже

Практика

1. Объясни одним предложением различие прямой, луча и отрезка.
2. Определи взаимное расположение прямых через точки $(0;1)$, $(4;1)$ и через точки $(0;-2)$, $(4;-2)$.
3. Определи взаимное расположение прямых $x=2$ и $y=0$ по их рисунку на сетке.
4. Две прямые пересеклись, но один из углов равен примерно $70°$. Можно ли назвать прямые перпендикулярными?
5. Точка находится на $5$ клеток выше горизонтальной прямой. Найди расстояние до прямой.
6. Точка $A$ лежит на вертикали $x=-2$, а прямая имеет вид $x=4$. Каково расстояние между ними в единицах сетки?
7. Из $(0;0)$ прошли $5$ клеток вправо, $3$ вверх, $2$ влево и $1$ вниз. Найди длину маршрута и конечную точку.
8. Какова длина кратчайшего пути по рёбрам сетки из $(-2;1)$ в $(4;-3)$?
9. Две различные прямые перпендикулярны одной и той же прямой. Как расположены эти две прямые на плоскости?
10. Ученик сказал: «Два нарисованных отрезка не пересекаются, значит, они параллельны». Приведи причину, по которой вывод может быть неверным.
11. На нелинованной бумаге проведи прямую $l$, отметь точку $A$ вне неё и с помощью угольника построй через $A$ перпендикуляр к $l$. Как проверить построение?

Ответы и пояснения

1. Прямая не имеет концов, луч имеет один конец-начало, отрезок — два конца.
2. Параллельны: обе горизонтальны и различны.
3. Перпендикулярны: вертикальная и горизонтальная прямые образуют прямой угол.
4. Нет. Перпендикулярные прямые образуют угол $90°$.
5. $5$ клеток: кратчайший отрезок вертикален.
6. $|4-(-2)|=6$ единиц.
7. Длина $5+3+2+1=11$ клеток; конец $(3;2)$.
8. $|4-(-2)|+|-3-1|=6+4=10$ рёбер сетки.
9. Параллельны.
10. Нужно продолжить направления: содержащие отрезки прямые могут пересечься за пределами рисунка.
11. Одна сторона угольника совмещается с $l$, по другой проводится прямая через $A$; при повторной проверке угол между прямыми должен совпасть с прямым углом угольника.

Итог

• Геометрический объект не заканчивается там, где заканчивается штрих на экране.
• Перпендикулярность — особый случай пересечения, а длина перпендикуляра задаёт расстояние до прямой.
• Длина ломаного маршрута — сумма звеньев; она не обязана совпадать с кратчайшим расстоянием.

← Вход в главу · Дальше: углы и транспортир →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным