4.5 Системы неравенств

8 класс · Алгебра◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: линейные неравенства, числовые промежутки и их пересечение

Почтовая служба принимает посылку, если её длина не меньше $15$ см и не больше $60$ см. Одно условие снизу, другое сверху — и выполняться они должны одновременно. Такая пара называется системой неравенств.

Технические условия почти всегда выглядят именно так: диапазон температур, допустимый вес, разрешённое напряжение. Решать систему — значит находить, где два условия перекрываются.

◎ После урока ты сможешь

• записывать условие «одновременно» системой неравенств
• решать систему: сначала каждое неравенство, потом пересечение
• отмечать решения на одной координатной прямой и читать общую часть
• решать двойные неравенства и распознавать пустой ответ

Прогноз до вычислений

1. Известно, что $x>2$ и $x\leqslant 6$. Сколько целых чисел подходит?
2. Может ли система двух линейных неравенств не иметь ни одного решения?
3. Может ли ответом системы быть ровно одно число?

Эксперимент: две прямые условия и одна общая часть

Каждое неравенство закрашивает свою часть прямой. Третья прямая показывает то, что закрашено дважды. Попробуй развести условия так, чтобы общей части не осталось.

Лаборатория неравенств

Система: где два условия выполняются одновременно

Каждое неравенство даёт свою часть прямой. Ответ системы — то, что закрашено дважды.

система

Первое неравенство

Коэффициент при x слева 2

−+

От −10 до 10, шаг 1

Число слева −1

−+

От −10 до 10, шаг 1

Знак: > — больше

<⩽>⩾

Число справа 5

−+

От −10 до 10, шаг 1

Второе неравенство

Коэффициент при x слева 1

−+

От −10 до 10, шаг 1

Число слева 0

−+

От −10 до 10, шаг 1

Знак: ⩽ — меньше или равно

<⩽>⩾

Число справа 7

−+

От −10 до 10, шаг 1

Три множества: два условия и их общая часть

Неравенство	Решение	Название
2x − 1 > 5	(3; +∞)	открытый числовой луч
x ⩽ 7	(−∞; 7]	числовой луч
Система	(3; 7]	полуинтервал

∩

Ответ системы: (3; 7].Первое неравенство даёт (3; +∞), второе — (−∞; 7]. Решение системы — общая часть.

↺ Вернуть пример

Определение и алгоритм

∴ Система линейных неравенств

Решением системы неравенств с одной переменной называют значение переменной, при котором каждое неравенство системы обращается в верное числовое неравенство. Решить систему — найти все такие значения.

Алгоритм:

1. решить каждое неравенство по отдельности;
2. отметить оба множества решений на одной координатной прямой;
3. записать пересечение — часть, закрашенную дважды.

Систему записывают фигурной скобкой; она читается как «и».

◆ Пересечение, а не объединение

Фигурная скобка означает «одновременно». Поэтому ответом системы всегда служит общая часть. Если промежутки не перекрываются, ответ — пустое множество $\varnothing$, а не «любое число» и не оба промежутка сразу.

Обычный случайРазбираем вместе

$\begin{cases}2x-1>5,\\ 3x\leqslant 21.\end{cases}$

Первое: $2x>6$, значит $x>3$, то есть $(3;\ +\infty)$.

Второе: делим на $3>0$, получаем $x\leqslant 7$, то есть $(-\infty;\ 7]$.

Пересечение: левая граница $3$ не входит, правая граница $7$ входит.

$\text{Ответ: } (3;\ 7].$

Проверка. При $x=4$: $2\cdot 4-1=7>5$ и $3\cdot 4=12\leqslant 21$ — оба верны. При $x=3$ первое даёт $5>5$ — неверно, поэтому граница исключена. При $x=7$: $13>5$ и $21\leqslant 21$ — оба верны, граница входит.

Когда общей части нетРазбираем вместе

$\begin{cases}5-x<1,\\ 2x\leqslant 6.\end{cases}$

Первое: $-x<-4$, делим на $-1$ со сменой знака: $x>4$, то есть $(4;\ +\infty)$.

Второе: $x\leqslant 3$, то есть $(-\infty;\ 3]$.

На прямой закрашенные части лежат по разные стороны и не перекрываются:

$(4;\ +\infty)\ \cap\ (-\infty;\ 3]=\varnothing.$

Ответ: решений нет. Никакое число не может быть одновременно больше $4$ и не больше $3$.

Двойное неравенствоРазбираем вместе

Запись $-3\leqslant 2x+1<7$ — это та же система, только короче: $2x+1\geqslant -3$ и $2x+1<7$. Раз выражение с переменной одно, можно преобразовывать все три части сразу.

Вычтем $1$ из всех частей:

$-4\leqslant 2x<6.$

Разделим все части на $2>0$ — знаки сохраняются:

$-2\leqslant x<3.$

Ответ: $[-2;\ 3)$.

Проверка. При $x=-2$: $2\cdot(-2)+1=-3$, и $-3\leqslant -3$ — граница входит. При $x=3$: $2\cdot 3+1=7$, а $7<7$ неверно — граница не входит.

Проверка понимания

Чему равно решение системы, состоящей из неравенств x ⩾ −1 и x < 4?

• А. [−1; 4)
• Б. (−1; 4]
• В. (−∞; 4)

! Где ломается система

Первая ошибка: решить оба неравенства и записать в ответ оба промежутка. Система требует «и», поэтому в ответ идёт только общая часть.

Вторая: увидеть пустое пересечение и решить, что где-то ошибся. Пустой ответ — нормальный результат: техническое условие может быть просто невыполнимым.

Третья: в двойном неравенстве преобразовать только две части из трёх. В записи $-3\leqslant 2x+1<7$ вычитать единицу нужно везде, иначе получится другая система.

Четвёртая: включить граничное число, если оно входит только в одно из двух множеств. Пример: $x\geqslant 5$ и $x<5$ дают $\varnothing$, хотя число $5$ «почти подходит».

Практика

1. Реши систему $x>2$ и $x<9$.
2. Реши систему $x\geqslant -3$ и $x\leqslant 0$.
3. Реши систему $x>5$ и $x\leqslant 5$.
4. Реши систему $x\geqslant 4$ и $x\leqslant 4$.
5. Реши систему $2x-1>5$ и $3x\leqslant 21$.
6. Реши систему $x+3\leqslant 8$ и $4-x<6$.
7. Реши систему $3x>-6$ и $2x+1\leqslant 9$.
8. Реши систему $5-x<1$ и $2x\leqslant 6$.
9. Реши двойное неравенство $-3\leqslant 2x+1<7$.
10. Реши двойное неравенство $1<4-x\leqslant 5$.
11. Сколько целых решений у системы $x>-2{,}5$ и $x\leqslant 3$?
12. Посылку принимают, если её длина не меньше $15$ см и не больше $60$ см. Запиши условие системой и найди, сколько целых значений длины в сантиметрах подходит.

Ответы и пояснения

1. $(2;\ 9)$ — интервал.
2. $[-3;\ 0]$ — отрезок.
3. $\varnothing$: число не может быть одновременно больше $5$ и не больше $5$.
4. Одно число $4$, то есть $[4;\ 4]$.
5. $x>3$ и $x\leqslant 7$, значит $(3;\ 7]$.
6. Первое даёт $x\leqslant 5$. Второе: $-x<2$, делим на $-1$ со сменой знака, $x>-2$. Пересечение: $(-2;\ 5]$.
7. Первое даёт $x>-2$, второе — $2x\leqslant 8$, то есть $x\leqslant 4$. Ответ: $(-2;\ 4]$.
8. $x>4$ и $x\leqslant 3$ — общей части нет, ответ $\varnothing$.
9. Вычитаем $1$: $-4\leqslant 2x<6$; делим на $2$: $-2\leqslant x<3$. Ответ: $[-2;\ 3)$.
10. Вычитаем $4$: $-3<-x\leqslant 1$; умножаем на $-1$ со сменой знаков: $3>x\geqslant -1$. Ответ: $[-1;\ 3)$.
11. Подходят $-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3$ — всего $6$ целых чисел. Число $-2{,}5$ не входит, а $3$ входит.
12. Система: $x\geqslant 15$ и $x\leqslant 60$, то есть $[15;\ 60]$. Целых значений $60-15+1=46$.

Итог

• Система означает «одновременно», поэтому её решение — пересечение множеств.
• Порядок работы всегда один: решить каждое неравенство, нарисовать оба ответа, прочитать общую часть.
• Двойное неравенство — та же система в короткой записи; преобразовывать в ней нужно все три части.
• Пустой ответ и ответ из одного числа — законные результаты, их надо уметь распознавать.

Теперь у тебя есть весь набор: графики, промежутки, оценки, неравенства и системы. Осталось собрать их в одну задачу.

← Линейные неравенства · Дальше: практикум →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным