1.2 Преобразования графиков

10 класс · Алгебра◷ 60–70 минут◇ БазаНужно знать: эталонные графики, вершинная форма параболы, область определения и множество значений

В 9 классе мы двигали одну кривую — параболу. Оказалось, что все параболы получаются из $y=x^2$ четырьмя движениями.

Хорошая новость: те же самые движения работают для любого эталона. Корень, модуль, гипербола, куб, синус из следующей главы — правила одни и те же. Достаточно один раз понять, что делает каждый параметр в записи

$y=a\cdot f\bigl(k(x-m)\bigr)+n.$

◎ После урока ты сможешь

• связывать каждый параметр записи y = a·f(k(x − m)) + n с конкретным движением графика
• строить график незнакомой функции цепочкой преобразований эталона
• находить D(f) и E(f) преобразованной функции, не строя график
• различать преобразования y = |f(x)| и y = f(|x|)

Прогноз до вычислений

1. График $y=f(x-4)$ — это исходный график, сдвинутый вправо или влево?
2. Что сделает с графиком множитель внутри скобки: $y=f(2x)$ — растянет по горизонтали или сожмёт?
3. Функции $y=|f(x)|$ и $y=f(|x|)$ — это одно и то же?

Эксперимент: четыре ручки над любым эталоном

Пунктирная линия — эталон, она не двигается никогда. Меняй по одной ручке за раз и следи не только за картинкой, но и за карточками $D(f)$ и $E(f)$ под графиком.

Лаборатория преобразований

Четыре ручки над любым эталоном

Пунктир — эталон, он не двигается никогда. Меняй по одной ручке за раз и следи, что случилось со сплошной линией, с D(f) и с E(f).

y = a·f(k(x − m)) + n

y = xy = x²y = x³y = |x|y = √xy = 1/x

ЭталонВправо на 3Вниз на 4Отражение по оси xОтражение по оси yСжатие к оси y вдвоеРастяжение от оси x вдвоеВсё сразу

Множитель a 1−3−2−1−0,50,5123Растягивает по вертикали; при a < 0 отражает относительно оси x.

Множитель k 1−2−1−0,50,512Сжимает по горизонтали в |k| раз; при k < 0 отражает относительно оси y.

Сдвиг m 0−5−4−3−2−1012345Стоит внутри скобки со знаком минус: вправо при m > 0.

Сдвиг n 0−5−4−3−2−1012345Прибавляется в конце: вверх при n > 0.

y = √x→y = √x

Спрятать эталон y = √x

1. 1

   y = √xЭталон, от которого идём.

Область определенияx ⩾ 0Какие x вообще можно подставить.

Область значенийy ⩾ 0Какие y встречаются на графике.

Чётностьни чётная, ни нечётнаяни чётная, ни нечётная.

ƒ

y = √x: D(f): x ⩾ 0, E(f): y ⩾ 0.ни чётная, ни нечётная. Опорная точка (0; 0) эталона перешла в (0; 0).

↺ Вернуть пример

Три вывода, которые стоит проверить прямо в лаборатории:

• сдвиги $m$ и $n$ форму кривой не меняют совсем;
• множитель $a$ меняет высоту, но не трогает область определения;
• множитель $k$ меняет ширину, и именно он вместе с $m$ управляет областью определения корня и гиперболы.

Четыре движения и их порядок

∴ Что делает каждый параметр

Пусть график $y=f(x)$ известен. Тогда:

1. $y=f(x)+n$ — сдвиг вдоль оси $y$ на $n$: вверх при $n>0$, вниз при $n<0$;
2. $y=f(x-m)$ — сдвиг вдоль оси $x$ на $m$: вправо при $m>0$, влево при $m<0$;
3. $y=a\,f(x)$ — растяжение от оси $x$ в $|a|$ раз при $|a|>1$ и сжатие к оси $x$ при $|a|<1$; при $a<0$ добавляется отражение относительно оси $x$;
4. $y=f(kx)$ — сжатие к оси $y$ в $|k|$ раз при $|k|>1$ и растяжение от оси $y$ при $|k|<1$; при $k<0$ добавляется отражение относительно оси $y$.

Порядок сборки: сначала всё, что происходит с аргументом (сначала множитель $k$, потом сдвиг $m$), затем всё, что происходит со значением (сначала множитель $a$, потом сдвиг $n$).

Вершинная форма из 9 класса — частный случай этой записи: подставь эталон $f(x)=x^2$ и $k=1$, и получится ровно $y=a(x-m)^2+n$. Поэтому заново учить параболу не нужно — правила те же, просто теперь они работают для любого эталона, а вершина $(m;n)$ — это переехавшая опорная точка $(0;0)$.

Почему параметры аргумента работают «наоборот»? Потому что скобка сама решает, когда ей стать нулём. Выражение $f(x-3)$ принимает в точке $x=3$ то значение, которое исходная функция принимала в нуле, — опорная точка уехала вправо. По той же причине $f(2x)$ добирается до старого значения вдвое быстрее, то есть график сжимается.

! «В скобке минус шесть — значит сдвиг на шесть»

Запись $y=f(2x-6)$ не означает сдвиг на $6$. Пока перед $x$ стоит множитель, сдвиг прочитать нельзя.

Вынеси множитель за скобку:

$f(2x-6)=f\bigl(2(x-3)\bigr).$

Теперь видно честно: сжатие к оси $y$ вдвое и сдвиг вправо на $3$, а не на $6$.

Проверка в одной точке: старое значение $f(0)$ появляется там, где $2x-6=0$, то есть при $x=3$.

Строим y = −2√(x + 1) + 3Разбираем вместе

Читаем формулу по частям: эталон $y=\sqrt{x}$, множитель внутри $k=1$, сдвиг $m=-1$, множитель снаружи $a=-2$, сдвиг $n=3$.

Цепочка:

$y=\sqrt{x}\ \to\ y=\sqrt{x+1}\ \to\ y=2\sqrt{x+1}\ \to\ y=-2\sqrt{x+1}\ \to\ y=-2\sqrt{x+1}+3.$

Словами: сдвинули на $1$ влево, растянули от оси $x$ вдвое, отразили относительно оси $x$, подняли на $3$.

Область определения зависит только от подкоренного выражения: $x+1\geqslant 0$, то есть $D(f)=[-1;+\infty)$.

Множество значений: $\sqrt{x+1}\geqslant 0$, поэтому $-2\sqrt{x+1}\leqslant 0$ и $y\leqslant 3$, то есть $E(f)=(-\infty;3]$.

Контрольные точки считаем прямо по формуле:

$x$	$-1$	$0$	$3$	$8$
$y$	$3$	$1$	$-1$	$-3$

Например, при $x=3$ получаем $-2\sqrt{4}+3=-4+3=-1$.

Два разных модуля

Модуль встречается в двух местах, и это два совершенно разных преобразования.

∴ y = |f(x)| и y = f(|x|)

Внешний модуль $y=|f(x)|$: часть графика, лежащая ниже оси $x$, отражается вверх; часть выше оси остаётся на месте. Область определения не меняется, а множество значений становится неотрицательным.

Внутренний модуль $y=f(|x|)$: левая половина графика выбрасывается, а правая ($x\geqslant 0$) зеркально копируется влево. Результат всегда чётная функция.

Одно правило легко запомнить: внешний модуль работает со значениями, внутренний — с аргументами.

Модуль снаружи и модуль внутриРазбираем вместе

Снаружи: $y=|x^2-4|$. Парабола $y=x^2-4$ опускается ниже оси $x$ при $-2<x<2$, поэтому именно этот кусок отражается вверх.

$y(0)=|-4|=4,\qquad y(\pm2)=0,\qquad y(3)=|5|=5.$

Получается «горка» между двумя нулями. Множество значений — $[0;+\infty)$.

Внутри: для $f(x)=x^2-4x$ функция $y=f(|x|)=x^2-4|x|$. При $x\geqslant 0$ это обычная парабола $x^2-4x$ с наименьшим значением $-4$ в точке $x=2$. Левая часть получается зеркально:

$y(0)=0,\qquad y(2)=y(-2)=-4,\qquad y(4)=y(-4)=0.$

Функция чётная — как и обещало правило.

Обратная задача: прочитать свойства по формуле

Теперь та же лаборатория, но график спрятан. Сначала определи $D(f)$ и $E(f)$ по формуле, и только потом нажимай «Проверить».

Лаборатория преобразований

Прочитай D(f) и E(f) по формуле

Функция задана формулой, график спрятан. Сначала назови область определения и область значений, потом проверь себя рисунком.

y = a·f(k(x − m)) + n

Функция № 1 из 6Следующая функция

y = √x→y = √(x − 3) − 2

Мой ответ

Область определения D(f)— выбери —любое числоx ⩾ 3x ⩽ 3x ≠ 3

Область значений E(f)— выбери —любое числоy ⩾ −2y ⩽ −2y ≠ −2

Проверить

?

Прочитай D(f) и E(f) прямо по формуле.Корень запрещает отрицательное подкоренное выражение, дробь — нулевой знаменатель. Область значений подскажут знак a и сдвиг n. График появится после проверки.

↺ Вернуть пример

Проверка понимания

На сколько единиц вправо нужно сдвинуть график y = f(2x), чтобы получить график y = f(2x − 6)?

• А. На 6
• Б. На 3
• В. На 12

Практика

1. Опиши преобразование графика $y=f(x)$ в график $y=f(x+5)$.
2. Опиши преобразование $y=f(x)$ в $y=f(x)-3$.
3. Опиши преобразование $y=f(x)$ в $y=4f(x)$.
4. Опиши преобразование $y=f(x)$ в $y=f\left(\dfrac{x}{2}\right)$.
5. Чем отличаются преобразования $y=-f(x)$ и $y=f(-x)$?
6. Запиши формулу графика $y=\sqrt{x}$, сдвинутого на $2$ влево и на $1$ вниз, и укажи $D(f)$ и $E(f)$.
7. Найди $D(f)$ и $E(f)$ для $y=-3|x-1|+5$.
8. Найди $D(f)$ и $E(f)$ для $y=\dfrac{2}{x+4}-1$.
9. Вынеси множитель за скобку в $y=f(3x-12)$ и назови сдвиг.
10. Найди значения функции $y=|x^2-1|$ при $x=0$, $x=1$, $x=2$.
11. Найди значения функции $y=(|x|-2)^2$ при $x=-3$, $x=0$, $x=3$.
12. Докажи, что функция вида $y=f(|x|)$ всегда чётная.
13. Из какого эталона и какими движениями получается $y=\sqrt{4-x}$? Найди $D(f)$.
14. Запиши цепочку преобразований для $y=\dfrac{1}{x-2}+3$ и назови $D(f)$ и $E(f)$.

Ответы и пояснения

1. Сдвиг на $5$ влево: скобка обращается в ноль при $x=-5$.
2. Сдвиг на $3$ вниз.
3. Растяжение от оси $x$ в $4$ раза; область определения не меняется.
4. Здесь $k=0{,}5$, поэтому это растяжение от оси $y$ в $2$ раза.
5. $y=-f(x)$ — отражение относительно оси $x$ (меняются значения); $y=f(-x)$ — отражение относительно оси $y$ (меняются аргументы).
6. $y=\sqrt{x+2}-1$; $D(f)=[-2;+\infty)$, $E(f)=[-1;+\infty)$.
7. $D(f)$ — все числа. Так как $|x-1|\geqslant 0$, то $-3|x-1|\leqslant 0$ и $E(f)=(-\infty;5]$.
8. $D(f)=(-\infty;-4)\cup(-4;+\infty)$. Дробь $\dfrac{2}{x+4}$ не равна нулю, поэтому $E(f)$ — все числа, кроме $-1$.
9. $f(3x-12)=f\bigl(3(x-4)\bigr)$: сжатие к оси $y$ втрое и сдвиг вправо на $4$.
10. $y(0)=|-1|=1$; $y(1)=0$; $y(2)=|3|=3$.
11. $y(-3)=(3-2)^2=1$; $y(0)=(0-2)^2=4$; $y(3)=(3-2)^2=1$.
12. Область определения такой функции симметрична, и для любого $x$ верно $|-x|=|x|$, поэтому $f(|-x|)=f(|x|)$ — это в точности определение чётности.
13. $4-x=-(x-4)$, поэтому берём $y=\sqrt{x}$, отражаем относительно оси $y$ и сдвигаем на $4$ вправо. Условие $4-x\geqslant 0$ даёт $D(f)=(-\infty;4]$.
14. $y=\dfrac{1}{x}\to y=\dfrac{1}{x-2}\to y=\dfrac{1}{x-2}+3$: сдвиг на $2$ вправо и на $3$ вверх. $D(f)=(-\infty;2)\cup(2;+\infty)$, $E(f)$ — все числа, кроме $3$.

Итог

• Любой график строится из эталона четырьмя движениями, и все они видны прямо в записи $y=a\,f(k(x-m))+n$.
• Порядок сборки: сначала действия с аргументом, потом со значением; иначе сдвиги уедут не туда.
• Пока перед $x$ стоит множитель, сдвиг читать нельзя — сначала вынеси его за скобку.
• Внешний модуль отражает вверх часть графика, внутренний — копирует правую половину влево.

Мы научились двигаться от $x$ к $y$: подставил аргумент — получил значение. Но у многих задач вопрос обратный: значение известно, нужен аргумент. В следующем уроке разберёмся, когда такой возврат вообще возможен.

← Что такое функция · Дальше: обратная функция →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным