4.5. Умножение и деление

6 класс · Числа со знаком◷ 40–45 минут◇ БазаНужно знать: сложение и вычитание чисел со знаком, умножение дробей

Каждый час запас энергии станции уменьшается на $2$ условные единицы. За три часа суммарное изменение равно трём одинаковым изменениям:

$(-2)+(-2)+(-2)=-6.$

Это знакомая модель умножения: три раза взять изменение $-2$. Она объясняет знак произведения положительного и отрицательного чисел. Но что означает произведение двух отрицательных чисел? Его знак выведем из закономерности.

◎ После урока ты сможешь

• выводить правило знаков из повторения и последовательности произведений
• умножать и делить целые, дробные и десятичные числа со знаком
• не переносить правило одинаковых знаков на сложение и вычитание

Продолжи закономерность

Посмотрим на столбец произведений с постоянным вторым множителем $-2$:

$3\cdot(-2)=-6,$ $2\cdot(-2)=-4,$ $1\cdot(-2)=-2,$ $0\cdot(-2)=0.$

Когда первый множитель уменьшается на $1$, произведение увеличивается на $2$. Чтобы закономерность не оборвалась, дальше должны идти

$(-1)\cdot(-2)=2,\qquad (-2)\cdot(-2)=4.$

Исследуй другие пары. Меняй модули и следи отдельно за размером и знаком произведения.

Лаборатория правил знаков

Не угадываем знак — продолжаем закономерность

Модули отвечают за размер произведения, а сочетание знаков — за его направление относительно нуля.

× и ÷

Множитель a −3

−+

Целое число от −10 до 10

Множитель b −4

−+

Целое число от −10 до 10

Шаг 1. Модули: |−3| · |−4| = 12.

Шаг 2. Знак: Знаки множителей одинаковые, поэтому произведение положительное.

Итог: −3 · (−4) = 12 — положительное число.

Продолжение таблицы

Фиксируем b = −4

каждая строка: +4

Как меняется произведение при уменьшении первого множителя на один

a	b	a · b	Изменение
3	−4	−12	начало
2	−4	−8	+4
1	−4	−4	+4
0	−4	0	+4
−1	−4	4	+4
−2	−4	8	+4
−3	−4	12	+4

Мы уменьшаем a на 1, поэтому произведение каждый раз меняется на −b = 4. Закономерность проходит через ноль и сама приводит к правилу для отрицательных множителей.

Семейство фактов

Деление возвращает неизвестный множитель

−3 · (−4) = 1212 ÷ (−3) = −412 ÷ (−4) = −3

Граница правила: деление на 0 не определено. Ни одно число при умножении на 0 не позволит восстановить ненулевое делимое.

+

−3 · (−4) = 12Знаки множителей одинаковые, поэтому произведение положительное. Модуль ответа равен 12.

↺ Вернуть пример

∴ Знак произведения

Модули множителей перемножают как положительные числа. Одинаковые знаки дают положительное произведение, разные — отрицательное:

$(-a)\cdot(-b)=ab,\qquad (-a)\cdot b=a\cdot(-b)=-(ab)$

для положительных $a$ и $b$.

Почему один отрицательный множитель даёт минус? Положительное число повторов сохраняет направление изменения: четыре раза по $-3$ дают $-12$. Почему два отрицательных дают плюс? Замена одного множителя на противоположный должна заменить произведение на противоположное; две такие замены возвращают положительный знак.

Сначала знак, потом модуль

Умножим −1,5 на 4Разбираем вместе

Знаки разные, значит произведение отрицательно. Модуль равен

$1{,}5\cdot4=6.$

Поэтому $(-1{,}5)\cdot4=-6$.

Умножим две отрицательные дробиРазбираем вместе

Одинаковые отрицательные знаки дают положительный результат:

$\left(-\frac35\right)\cdot(-10)=\frac35\cdot10=6.$

Можно сократить $10$ и $5$ до умножения.

Ноль не имеет знака, но при умножении на него результат всегда нулевой:

$a\cdot0=0\cdot a=0.$

Деление восстанавливает множитель

Из семейства $(-3)\cdot4=-12$ следуют два равенства:

$-12:4=-3,\qquad -12:(-3)=4.$

Знак частного должен быть таким, чтобы обратное умножение восстановило делимое. Поэтому правило знаков для деления совпадает с правилом для умножения: одинаковые знаки дают плюс, разные — минус.

∴ Знак частного

При делении сначала раздели модули, затем определи знак: одинаковые знаки дают положительное частное, разные — отрицательное. Делить на ноль нельзя.

Разделим дроби со знакомРазбираем вместе

Вычислим

$\frac56:\left(-\frac5{12}\right).$

Знаки разные, ответ отрицателен. Деление на дробь заменим умножением на обратную:

$\frac56\cdot\left(-\frac{12}{5}\right)=-2.$

Проверка: $-2\cdot\left(-\frac5{12}\right)=\frac{10}{12}=\frac56$.

Проверка понимания

Чему равно (−2,5) · (−4)?

• А. −10
• Б. 10
• В. 6,5

Где правило знаков не работает

! Одинаковые знаки дают плюс — только для × и :

Равенство $(-4)\cdot(-3)=12$ не означает, что $-4+(-3)$ положительно. При сложении два движения влево дают $-7$. Для каждого действия нужна своя модель.

Выражение $0:5$ равно $0$, потому что $0\cdot5=0$. Но $5:0$ не имеет значения: не существует числа, произведение которого с нулём равно $5$. Даже $0:0$ не определено, потому что условие $0\cdot x=0$ выполняет не одно, а любое число $x$.

Практика

1. Вычисли $-7\cdot3$.
2. Вычисли $(-6)\cdot(-5)$.
3. Вычисли $0\cdot(-19)$.
4. Вычисли $(-2{,}4)\cdot1{,}5$.
5. Вычисли $\left(-\frac34\right)\cdot\left(-\frac89\right)$.
6. Вычисли $-42:7$.
7. Вычисли $-48:(-6)$.
8. Вычисли $3{,}5:(-0{,}5)$.
9. Вычисли $-\frac56:\frac5{12}$.
10. Найди $x$, если $-4x=28$.
11. Температура изменяется на $-1{,}5\,°\text{C}$ каждый час. Каково суммарное изменение за $6$ часов?
12. Определи только знак произведения $(-2)\cdot(-3)\cdot5$, затем вычисли его.

Ответы и объяснения

1. $-21$.
2. $30$.
3. $0$.
4. $-3{,}6$.
5. $\frac{24}{36}=\frac23$.
6. $-6$.
7. $8$.
8. $-7$.
9. $-\frac56\cdot\frac{12}{5}=-2$.
10. $x=28:(-4)=-7$.
11. $(-1{,}5)\cdot6=-9\,°\text{C}$.
12. Два отрицательных множителя дают положительный знак; $2\cdot3\cdot5=30$.

Итог

• Знак произведения выводится из повторения и непрерывной числовой закономерности.
• Для умножения и деления одинаковые знаки дают плюс, разные — минус.
• Правило знаков нельзя переносить на сложение; деление на ноль не определено.

В следующем уроке к движению влево и вправо добавим вверх и вниз — построим координатную плоскость.

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным