4.4 Правильные многоугольники и круг

9 класс · Геометрия◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: решение треугольников, сумма углов многоугольника, длина окружности и площадь круга

Гайка под ключ — правильный шестиугольник. Клумба у входа в парк — правильный восьмиугольник. Тротуарная плитка «соты» — снова шестиугольники, которые смыкаются без зазоров.

Чтобы разметить такую фигуру на местности, нужны два числа: на каком расстоянии от центра стоят вершины и на каком расстоянии стоят середины сторон. Оба находятся из одного маленького прямоугольного треугольника.

◎ После урока ты сможешь

• вычислять внутренний и центральный углы правильного n-угольника
• связывать сторону с радиусами вписанной и описанной окружностей
• находить периметр и площадь правильного многоугольника
• вычислять длину окружности и дуги, площадь круга и сектора

Прогноз до вычислений

Впиши в одну и ту же окружность радиуса $R$ правильный треугольник, квадрат, шестиугольник, двенадцатиугольник.

Что произойдёт с периметром многоугольника, когда число сторон растёт? А с площадью? Есть ли у этого роста предел? Ответь словами, без формул, и запиши предположение.

Управляемый эксперимент

Меняй число сторон при постоянной длине стороны и следи за двумя радиусами: описанной окружности $R$ и вписанной $r$.

Лаборатория круга и правильных фигур

Многоугольник, вписанный в окружность

Все размеры вычисляются из числа сторон и одной длины. Чертёж честный: отношение радиусов на картинке ровно такое, каким его даёт формула.

исследование

Правильный многоугольникДуга и сектор

Число сторон n6

−+

От 3 до 12

Сторона a4 см

−+

От 2 до 10 см

⬡

У фигуры 6 равных сторон: внутренний угол 120°, центральный 60°.R = 4 см, r = 3,46 см, P = 24 см, S = 41,57 см². Отношение S к площади описанного круга равно 0,827 — с ростом числа сторон оно стремится к единице.

↺ Вернуть пример

Обрати внимание на последнюю строку результата: отношение площади многоугольника к площади описанного круга. При $n = 3$ оно около $0{,}41$, при $n = 6$ — около $0{,}83$, при $n = 12$ — около $0{,}95$. Многоугольник «заполняет» круг всё плотнее.

Определение и углы

∴ Правильный многоугольник

Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны.

Оба условия обязательны: у ромба равны стороны, но не углы; у прямоугольника равны углы, но не стороны. Ни тот, ни другой не правильный.

Сумма углов выпуклого $n$-угольника равна $(n-2)\cdot180°$ — это доказано разрезанием на $n-2$ треугольника ещё в 7 классе. Все углы правильного многоугольника равны между собой, поэтому

$\alpha_n = \frac{(n-2)\cdot180°}{n}.$

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность и в него можно вписать окружность, причём центр у них общий. Соединив центр $O$ со всеми вершинами, получим $n$ равных равнобедренных треугольников с углом при вершине

$\varphi_n = \frac{360°}{n}.$

Этот угол называют центральным углом многоугольника.

Один треугольник решает всё

Разрежем такой равнобедренный треугольник высотой из центра. Высота попадает в середину стороны, и получается прямоугольный треугольник с острым углом $\dfrac{180°}{n}$ при центре:

• противолежащий катет — половина стороны, $\dfrac{a}{2}$;
• прилежащий катет — расстояние от центра до стороны, то есть радиус вписанной окружности $r$ (его называют апофемой);
• гипотенуза — расстояние от центра до вершины, то есть радиус описанной окружности $R$.

∴ Четыре формулы правильного n-угольника

$R = \frac{a}{2\sin\dfrac{180°}{n}}, \qquad r = \frac{a}{2\operatorname{tg}\dfrac{180°}{n}},$

$P = na, \qquad S = \frac{1}{2}Pr = \frac{1}{2}nar.$

Формула площади читается просто: многоугольник разрезан на $n$ треугольников с основанием $a$ и высотой $r$.

Для трёх самых частых случаев значения стоит помнить наизусть:

$n$	Угол $\alpha_n$	$R$	$r$	$S$
$3$	$60°$	$\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$	$\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$	$\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$
$4$	$90°$	$\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{a}{2}$	$a^2$
$6$	$120°$	$a$	$\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{3a^2\sqrt{3}}{2}$

Правильный шестиугольник со стороной 4Разбираем вместе

Здесь $n = 6$, значит $\dfrac{180°}{6} = 30°$. Тогда

$R = \frac{4}{2\sin 30°} = \frac{4}{1} = 4, \qquad r = \frac{4}{2\operatorname{tg} 30°} = \frac{4}{2/\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46.$

$P = 6\cdot4 = 24, \qquad S = \frac{1}{2}\cdot24\cdot2\sqrt{3} = 24\sqrt{3} \approx 41{,}57.$

Проверка вторым способом: у шестиугольника $R = a$, поэтому все шесть треугольников равносторонние со стороной $4$. Площадь каждого равна $\dfrac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$, всего $6\cdot4\sqrt{3} = 24\sqrt{3}$. Сходится.

Восьмиугольная клумба со стороной 2 мРазбираем вместе

Здесь $\dfrac{180°}{8} = 22{,}5°$, внутренний угол равен $\dfrac{6\cdot180°}{8} = 135°$.

$R = \frac{2}{2\sin 22{,}5°} \approx \frac{1}{0{,}3827} \approx 2{,}61 \text{ м}, \qquad r = \frac{2}{2\operatorname{tg} 22{,}5°} \approx \frac{1}{0{,}4142} \approx 2{,}41 \text{ м}.$

$P = 8\cdot2 = 16 \text{ м}, \qquad S = \frac{1}{2}\cdot16\cdot2{,}41 \approx 19{,}31 \text{ м}^2.$

Правдоподобие: клумба помещается в круг радиуса $2{,}61$ м площадью $\pi\cdot2{,}61^2 \approx 21{,}4\text{ м}^2$ и содержит круг радиуса $2{,}41$ м площадью $\approx 18{,}3\text{ м}^2$. Число $19{,}31$ действительно лежит между ними.

От многоугольника к окружности

Впишем правильный $n$-угольник в окружность радиуса $R$. Тогда $a = 2R\sin\dfrac{180°}{n}$, и периметр равен

$P_n = 2nR\sin\frac{180°}{n}.$

Посмотрим, что происходит при $R = 1$:

$n$	$6$	$12$	$24$	$60$	$360$
$P_n$	$6$	$6{,}2117$	$6{,}2653$	$6{,}2803$	$6{,}28311$

Числа подбираются к $6{,}28319\ldots = 2\pi$. Именно так — вписывая и описывая многоугольники — Архимед впервые оценил число $\pi$ и получил $3\dfrac{10}{71} < \pi < 3\dfrac{1}{7}$.

∴ Окружность, круг, дуга, сектор

$C = 2\pi R, \qquad S_{\text{круга}} = \pi R^2.$

Дуга в $\alpha$ градусов — это $\dfrac{\alpha}{360}$ часть окружности, а сектор с такой дугой — $\dfrac{\alpha}{360}$ часть круга:

$l = \frac{\pi R\alpha}{180}, \qquad S_{\text{сектора}} = \frac{\pi R^2\alpha}{360}.$

Обе формулы для дуги и сектора — это просто «взять долю». Проверка на $\alpha = 360°$ обязана вернуть полную окружность и полный круг: $\dfrac{\pi R\cdot360}{180} = 2\pi R$ и $\dfrac{\pi R^2\cdot360}{360} = \pi R^2$. Сходится.

Отрезав от сектора треугольник с вершиной в центре, получим сегмент:

$S_{\text{сегмента}} = \frac{\pi R^2\alpha}{360} - \frac{1}{2}R^2\sin\alpha.$

Второе слагаемое — площадь треугольника по двум сторонам $R$ и углу $\alpha$ между ними из прошлого урока.

Лаборатория круга и правильных фигур

Многоугольник, вписанный в окружность

Все размеры вычисляются из числа сторон и одной длины. Чертёж честный: отношение радиусов на картинке ровно такое, каким его даёт формула.

задача

Правильный многоугольникДуга и сектор

Радиус R6 см

−+

От 2 до 12 см

Дуга α60°

−+

От 10° до 350°

Площадь, см²Проверить

?

Найди площадь сектора: радиус 6 см, дуга 6°.Сектор — это доля круга. Найди, какую часть от 360° занимает дуга, и возьми такую же часть площади круга.

↺ Вернуть пример

Проверка понимания

Сторона правильного шестиугольника равна 6. Чему равен радиус описанной окружности?

• А. 3
• Б. 6
• В. 3√3 ≈ 5,20

! Что чаще всего путают

Меняют местами $R$ и $r$. Описанная окружность проходит через вершины, вписанная касается сторон. Всегда $r < R$; если получилось наоборот, радиусы переставлены.

Берут сумму углов вместо одного угла. Для правильного $12$-угольника сумма равна $1800°$, а сам угол — $150°$. Забыть деление на $n$ легко, заметить — тоже: угол выпуклого многоугольника меньше $180°$.

Делят на $180$ там, где нужно $360$. Длина дуги — доля от $2\pi R$, площадь сектора — доля от $\pi R^2$. Если помнить, от чего берётся доля, знаменатель восстанавливается сам.

Считают правильным любой равносторонний многоугольник. У ромба стороны равны, а углы нет; в него нельзя вписать и вокруг него нельзя описать окружность одновременно.

Практика

1. Найди внутренний угол правильного двенадцатиугольника.
2. Внутренний угол правильного многоугольника равен $144°$. Сколько у него сторон?
3. Найди центральный угол правильного восьмиугольника.
4. Правильный шестиугольник имеет сторону $4$. Найди $R$, $r$, периметр и площадь.
5. Квадрат имеет сторону $6$. Найди радиусы описанной и вписанной окружностей.
6. Правильный треугольник имеет сторону $6$. Найди $R$, $r$ и площадь.
7. Радиус окружности равен $5$. Найди длину окружности и площадь круга.
8. Радиус равен $6$, дуга — $60°$. Найди длину дуги и площадь сектора.
9. Радиус равен $4$, дуга — $90°$. Найди площадь сектора и площадь сегмента.
10. Правильный шестиугольник вписан в окружность радиуса $10$. Сравни его периметр с длиной окружности.

Ответы и пояснения

1. $\dfrac{(12-2)\cdot180°}{12} = \dfrac{1800°}{12} = 150°$.
2. $\dfrac{(n-2)\cdot180}{n} = 144 \Rightarrow 180n - 360 = 144n \Rightarrow 36n = 360 \Rightarrow n = 10$.
3. $\dfrac{360°}{8} = 45°$.
4. $R = 4$; $r = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46$; $P = 24$; $S = 24\sqrt{3} \approx 41{,}57$.
5. $R = \dfrac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \approx 4{,}24$; $r = 3$.
6. $R = \dfrac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46$; $r = \sqrt{3} \approx 1{,}73$; $S = \dfrac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \approx 15{,}59$.
7. $C = 10\pi \approx 31{,}42$; $S = 25\pi \approx 78{,}54$.
8. $l = \dfrac{\pi\cdot6\cdot60}{180} = 2\pi \approx 6{,}28$; $S = \dfrac{\pi\cdot36\cdot60}{360} = 6\pi \approx 18{,}85$.
9. $S_{\text{сектора}} = \dfrac{\pi\cdot16\cdot90}{360} = 4\pi \approx 12{,}57$; $S_{\text{сегмента}} = 4\pi - \dfrac{1}{2}\cdot16\cdot\sin 90° = 4\pi - 8 \approx 4{,}57$.
10. $P = 6\cdot10 = 60$, а $C = 20\pi \approx 62{,}83$. Отношение $\dfrac{60}{62{,}83} \approx 0{,}955$: ломаная короче окружности, как и должно быть.

Итог

• Правильный многоугольник — это равные стороны и равные углы; у него общий центр вписанной и описанной окружностей.
• Внутренний угол равен $\dfrac{(n-2)\cdot180°}{n}$, центральный — $\dfrac{360°}{n}$.
• Один прямоугольный треугольник с острым углом $\dfrac{180°}{n}$ даёт сразу $R$, $r$, а вместе с ними периметр и площадь $S = \dfrac{1}{2}Pr$.
• При росте числа сторон вписанный многоугольник приближается к окружности; отсюда $C = 2\pi R$ и $S = \pi R^2$.
• Дуга и сектор — доли $\dfrac{\alpha}{360}$ от окружности и круга.

Все инструменты главы собраны. Осталось применить их там, где задача не подписана заранее — в практикуме, где сначала нужно решить, какая теорема здесь работает.

← Решение треугольников · Дальше: практикум →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным