6.2 Дисперсия и стандартное отклонение

11 класс · Данные◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: математическое ожидание, дисперсия ряда данных, квадратный корень

Тебе предлагают на выбор три игры, и все три стоят одинаково.

• Конверт. В коробке два конверта: с $30$ ₽ и с $40$ ₽. Берёшь один вслепую.
• Аттракцион. Бросаешь кубик и получаешь по $10$ ₽ за очко.
• Джекпот. Из ста билетов ровно один приносит $3500$ ₽, остальные пустые.

Посчитай ожидания — и получишь одно и то же число: $35$ ₽. По прошлому уроку игры неразличимы. Но никто в здравом уме не назовёт их одинаковыми.

Вопрос урока: каким числом измерить разброс случайной величины, если ожидания совпали?

◎ После урока ты сможешь

• вычислять дисперсию и стандартное отклонение случайной величины двумя способами
• объяснять, почему единица дисперсии — квадрат единицы величины, а сигма измеряется в тех же единицах
• применять свойства разброса при сдвиге, растяжении и суммировании независимых величин
• сравнивать риски двух решений с одинаковым ожиданием

Прогноз до вычислений

1. Расставь три игры по возрастанию «непредсказуемости». Насколько, по-твоему, они различаются — в разы или в десятки раз?
2. Как изменится разброс, если каждая выплата вырастет на $100$ ₽? А если удвоится?
3. Ты бросаешь кубик $100$ раз и складываешь очки. Разброс суммы будет в $100$ раз больше разброса одного броска — или как-то иначе?

Управляемый эксперимент

Теперь в таблице лаборатории появился четвёртый столбец: вклад каждого исхода в квадрат отклонения. Полоса на диаграмме закрывает промежуток $M(X)\pm\sigma$ — посмотри, сколько столбиков в неё попадает у разных игр.

Лаборатория ожидания

Справедливая цена случайной выплаты

Ожидание — это центр тяжести распределения. Назначь цену и посмотри, в какую сторону наклоняется длинная серия повторений.

M(X) = 35 ₽

Аттракцион с кубикомНадёжный конвертДжекпотСтраховка велосипеда

Почти всегда ноль, изредка много. Из ста билетов ровно один приносит 3500 ₽, остальные пустые.

Цена билета, ₽ 50Стрелки клавиатуры меняют цену шагом 5 ₽. Цена не влияет на распределение выплаты — она сдвигает только чистый результат.

Как складывается ожидание: выигрыш по билету

Исход	Выплата x, ₽	Вероятность p	Вклад x · p	Вклад (x − M)² · p
пусто	0	99/100	0	1212,75
джекпот	3500	1/100	35	120062,25
Сумма	—	1	M(X) = 35	D(X) = 121275

Третий столбец — не выплата и не вероятность, а их произведение: вклад исхода в среднее. Последний столбец устроен так же, но взвешивает квадраты отклонений — из его суммы получается дисперсия.

M

M(X) = 35 ₽ — справедливая цена. При цене 50 ₽ ожидание чистого результата равно -15 ₽ за попытку.D(X) = 121275 ≈ 121275, σ(X) = 348,25 ₽; проверка через квадраты: M(X²) − M(X)² = 121275. Полоса M(X) ± σ — это от -313,25 до 383,25 ₽. Итог: цена выше справедливой: в длинной серии выигрывает организатор. За 100 повторений ожидаемый результат равен -1500 ₽, но отдельная попытка может закончиться как угодно.

↺ Вернуть пример

Переключайся между играми и следи за строкой результата: ожидание не меняется, а $\sigma$ прыгает от $5$ ₽ до трёх с половиной сотен.

Дисперсия и сигма

Идея та же, что и в рассеивании данных: смотрим на отклонения от центра. Просто теперь усреднение идёт не по количеству наблюдений, а по вероятностям.

∴ Дисперсия и стандартное отклонение

Дисперсией случайной величины $X$ с ожиданием $M(X)$ называется ожидание квадрата отклонения:

$D(X)=\sum_i p_i\bigl(x_i-M(X)\bigr)^2.$

Стандартным отклонением называется корень из дисперсии: $\sigma(X)=\sqrt{D(X)}$. В 10 классе это же число встречалось под именем «среднее квадратичное отклонение» — два имени, одна $\sigma$.

Свойства, которые стоит помнить:

• $D(X)\ge0$ всегда, потому что это среднее квадратов;
• $D(X)=0$ тогда и только тогда, когда величина принимает единственное значение;
• единица $D$ — квадрат единицы величины (рубли в квадрате), поэтому в ответах чаще называют $\sigma$: она измеряется в рублях, минутах, граммах — как и сама величина.

◆ Дисперсия ряда и дисперсия величины — одна мерка

В 8 классе дисперсию ряда данных считали как $S^2=\frac{(x_1-\bar x)^2+\ldots+(x_n-\bar x)^2}{n}$ — среднее квадратов отклонений. Подставь в формулу $D(X)$ равные вероятности $p_i=\frac1n$: получится ровно $S^2$. Разные буквы взяты не потому, что объекты разные, а потому, что разное усреднение: у ряда данных все наблюдения равноправны, у случайной величины у каждого значения свой вес $p_i$.

Зачем возводить в квадрат? Затем же, зачем и в 8 классе: ожидание самого отклонения равно нулю у любой величины, потому что $M(X-M(X))=M(X)-M(X)=0$. Плюсы гасят минусы, и «средним отклонением» разброс измерить не выйдет.

∴ Формула через квадраты

$D(X)=M(X^2)-\bigl(M(X)\bigr)^2.$

Обе части считаются по одной и той же таблице, поэтому равенство удобно использовать как проверку: посчитал определением — перепроверь квадратами. Расхождение означает арифметическую ошибку, а не «разные дисперсии».

Из формулы сразу следует, что $M(X^2)\ge\bigl(M(X)\bigr)^2$: слева стоит правое плюс неотрицательное число.

Три игры с одним ожиданиемРазбираем вместе

Везде $M(X)=35$ ₽.

Конверт. Отклонения равны $-5$ и $5$, квадраты — по $25$:

$D=\tfrac12\cdot25+\tfrac12\cdot25=25,\qquad \sigma=5\ \text{₽}.$

Аттракцион. Выплаты $10,20,30,40,50,60$ отклоняются от $35$ на $\pm25$, $\pm15$, $\pm5$:

$D=\frac{2\cdot(625+225+25)}{6}=\frac{1750}{6}=\frac{875}{3}\approx291{,}67,\qquad \sigma=\sqrt{\tfrac{875}{3}}\approx17{,}08\ \text{₽}.$

Проверка квадратами: $M(X^2)=\dfrac{100+400+900+1600+2500+3600}{6}=\dfrac{9100}{6}=\dfrac{4550}{3}$, и

$D=\frac{4550}{3}-1225=\frac{4550-3675}{3}=\frac{875}{3}.$

Сошлось.

Джекпот. Отклонения равны $-35$ (с вероятностью $0{,}99$) и $3465$ (с вероятностью $0{,}01$):

$D=0{,}99\cdot1225+0{,}01\cdot12\,006\,225=1212{,}75+120\,062{,}25=121\,275,$

откуда $\sigma=\sqrt{121\,275}\approx348{,}25$ ₽.

Вывод. Ожидания совпали до копейки, а стандартные отклонения относятся примерно как $1:3{,}4:70$. Именно это число — $\sigma$ — и называют мерой риска: оно говорит, на сколько рублей типично промахивается отдельная попытка.

Что делает с разбросом сдвиг, растяжение и суммирование

∴ Три правила разброса

Для любой величины $X$ и любых чисел $c$ и $k$:

$D(X+c)=D(X),\qquad D(kX)=k^2D(X),\qquad \sigma(kX)=|k|\,\sigma(X).$

Сдвиг переносит и значения, и центр — отклонения остаются прежними. Растяжение умножает все отклонения на $k$, а квадраты — на $k^2$.

Для независимых величин $X$ и $Y$ дисперсии складываются:

$D(X+Y)=D(X)+D(Y).$

Вот здесь независимость обязательна — в отличие от ожидания, где она не нужна.

Из последнего правила следует главное неравенство всей статистики. Пусть $X_1,\ldots,X_n$ независимы и одинаково распределены, у каждой дисперсия $D$ и отклонение $\sigma$. Тогда у суммы

$D(X_1+\ldots+X_n)=nD,\qquad \sigma(X_1+\ldots+X_n)=\sigma\sqrt{n},$

а у среднего арифметического

$\sigma\!\left(\frac{X_1+\ldots+X_n}{n}\right)=\frac{\sigma\sqrt{n}}{n}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.$

Разброс суммы растёт как $\sqrt n$, а не как $n$: слагаемые частично гасят друг друга. Разброс среднего, наоборот, убывает как $\frac{1}{\sqrt n}$ — и именно поэтому среднее по большой выборке устойчиво, а отдельное наблюдение — нет. Из этой формулы через два урока вырастет вся теория опросов.

Проверка понимания

У величины X дисперсия равна 4. Чему равны дисперсия и стандартное отклонение величины Y = 3X + 10?

• А. D(Y) = 12, σ(Y) = 2√3
• Б. D(Y) = 46, σ(Y) ≈ 6,8
• В. D(Y) = 36, σ(Y) = 6

Типичная ошибка

! Что чаще всего ломается в задачах на разброс

Первая ошибка: складывать сигмы. Для независимых величин складываются дисперсии, а не стандартные отклонения. Если $\sigma(X)=\sigma(Y)=3$, то $D(X+Y)=9+9=18$ и $\sigma(X+Y)=\sqrt{18}\approx4{,}24$, а вовсе не $6$.

Вторая ошибка: терять квадрат при растяжении. Перевод выплат из рублей в копейки умножает величину на $100$, ожидание — на $100$, а дисперсию — на $10\,000$.

Третья ошибка: сравнивать дисперсии величин в разных единицах. Дисперсия времени в минутах и в секундах отличается в $3600$ раз при одних и тех же данных. Сравнивать имеет смысл $\sigma$, и только приведя единицы к общим.

Четвёртая ошибка: считать $\sigma$ максимальным отклонением. У джекпота $\sigma\approx348$ ₽, а реальное отклонение выигравшего билета равно $3465$ ₽ — это почти десять сигм. Сигма — типичный масштаб промаха, а не его потолок.

Практика

1. $X$ принимает значения $30$ и $40$ с вероятностями $\frac12$ и $\frac12$. Найди $M(X)$, $D(X)$ и $\sigma(X)$.
2. $X$ принимает значения $0$ и $100$ с вероятностями $0{,}9$ и $0{,}1$. Найди $M$, $D$, $\sigma$ двумя способами.
3. $X$ — число очков при броске кубика. Найди $D(X)$ и $\sigma(X)$.
4. Для «джекпота» ($0$ с вероятностью $0{,}99$ и $3500$ с вероятностью $0{,}01$) найди $D$ и $\sigma$.
5. К каждой выплате аттракциона прибавили $100$ ₽. Как изменятся $M$, $D$ и $\sigma$?
6. Каждую выплату аттракциона утроили. Как изменятся $M$, $D$ и $\sigma$?
7. $X$ — сумма очков на двух независимых кубиках. Найди $D(X)$ и $\sigma(X)$.
8. Кубик бросают $100$ раз, $S$ — сумма всех очков. Найди $D(S)$ и $\sigma(S)$.
9. Для тех же $100$ бросков найди стандартное отклонение среднего арифметического очков.
10. Монету бросают $100$ раз, $X$ — число орлов. Найди $M(X)$, $D(X)$ и $\sigma(X)$, зная, что $D=npq$.
11. Два поставщика доставляют за $3$ дня в среднем: у первого $\sigma=0{,}5$ дня, у второго $\sigma=2$ дня. Какого выбрать, если груз нужен строго к пятому дню?
12. Может ли дисперсия быть отрицательной? Может ли $\sigma(X)$ быть больше, чем $M(X)$?

Ответы и пояснения

1. $M=35$; отклонения $\pm5$, поэтому $D=25$ и $\sigma=5$ ₽.
2. $M=0\cdot0{,}9+100\cdot0{,}1=10$. По определению: $D=0{,}9\cdot100+0{,}1\cdot8100=90+810=900$. Через квадраты: $M(X^2)=0{,}1\cdot10\,000=1000$, значит $D=1000-100=900$. Ответы совпали, $\sigma=30$.
3. $M=3{,}5$; $M(X^2)=\frac{1+4+9+16+25+36}{6}=\frac{91}{6}$, поэтому $D=\frac{91}{6}-\frac{49}{4}=\frac{182-147}{12}=\frac{35}{12}\approx2{,}92$ и $\sigma\approx1{,}71$.
4. $M=35$; $D=0{,}99\cdot35^2+0{,}01\cdot3465^2=1212{,}75+120\,062{,}25=121\,275$; $\sigma=\sqrt{121\,275}\approx348{,}25$.
5. $M$ станет $135$ ₽, а $D$ и $\sigma$ не изменятся: сдвиг не трогает отклонений.
6. $M$ станет $105$ ₽, $D$ вырастет в $9$ раз (до $9\cdot\frac{875}{3}=2625$), $\sigma$ — в $3$ раза (до $\sqrt{2625}\approx51{,}23$ ₽).
7. Кубики независимы, поэтому $D=\frac{35}{12}+\frac{35}{12}=\frac{35}{6}\approx5{,}83$ и $\sigma=\sqrt{\frac{35}{6}}\approx2{,}42$.
8. $D(S)=100\cdot\frac{35}{12}=\frac{875}{3}\approx291{,}67$; $\sigma(S)=\sqrt{\frac{875}{3}}\approx17{,}08$. Обрати внимание: разброс суммы вырос в $10$ раз, а не в $100$.
9. $\sigma_{\text{ср}}=\dfrac{\sigma}{\sqrt{100}}=\dfrac{1{,}71}{10}\approx0{,}17$ очка. Среднее ста бросков почти наверняка лежит между $3$ и $4$.
10. $M=np=50$; $D=npq=100\cdot\frac12\cdot\frac12=25$; $\sigma=5$. Полоса $M\pm3\sigma$ — это от $35$ до $65$ орлов.
11. Первого. Пятый день отстоит от среднего на $2$ дня: у первого это $4\sigma$, у второго — всего $1\sigma$. Ожидания одинаковы, а риск опоздания различается разительно.
12. Отрицательной — нет: это ожидание квадрата. Больше ожидания — легко: у «джекпота» $M=35$ ₽, а $\sigma\approx348$ ₽. Ничего противоречивого здесь нет, эти числа измеряют разные вещи.

Итог

• $D(X)=\sum p_i(x_i-M(X))^2=M(X^2)-\bigl(M(X)\bigr)^2$; второе выражение служит проверкой первого.
• $\sigma(X)=\sqrt{D(X)}$ измеряется в единицах самой величины и читается как типичный масштаб отклонения от центра.
• Сдвиг разброс не меняет, растяжение в $k$ раз умножает $D$ на $k^2$, а $\sigma$ — на $|k|$.
• Для независимых слагаемых дисперсии складываются; отсюда $\sigma$ суммы растёт как $\sqrt n$, а $\sigma$ среднего убывает как $\frac{1}{\sqrt n}$.
• Пара чисел $\bigl(M(X);\sigma(X)\bigr)$ — минимальный честный паспорт случайной величины. Одного числа не хватает никогда.

Теперь у нас есть центр и масштаб. Остался вопрос формы: какая доля значений действительно попадает в полосу $M\pm\sigma$, $M\pm2\sigma$, $M\pm3\sigma$? Ответ окажется на удивление одинаковым для очень разных величин — и вот почему.

← Математическое ожидание и справедливая цена · Дальше: нормальная модель и правило трёх сигм →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным