5.4 Окружность и касательные

8 класс · Геометрия◷ 50–60 минут◇ БазаНужно знать: окружность и круг, теорема Пифагора, равнобедренный треугольник

Колесо катится по рельсу и в каждый момент опирается на него ровно одной точкой. Мяч лежит на полу — снова одна точка. А если провести прямую через середину круга, точек пересечения станет две.

Что решает, сколько будет общих точек: размер окружности, наклон прямой или что-то третье?

◎ После урока ты сможешь

• определять взаимное расположение прямой и окружности по расстоянию от центра
• применять свойство касательной и признак касательной
• использовать равенство отрезков касательных, проведённых из одной точки
• находить хорду и расстояние от центра до неё

Прогноз до вычислений

Окружность имеет радиус $9$ клеток. Прямая проходит на расстоянии $5$ клеток от центра. Сколько у них общих точек — ноль, одна или две?

А если расстояние равно $9$ клеткам? А если $12$?

Управляемый эксперимент

Возьми циркуль и линейку: построй окружность радиуса $9$ клеток и проведи три прямые на расстояниях $5$, $9$ и $12$ клеток от центра. Расстояние от точки до прямой измеряется по перпендикуляру — об этом мы договорились ещё в 6 классе.

Вот тот же чертёж, построенный по точным координатам.

Решает расстояние от центра до прямой, а вовсе не наклон.

∴ Взаимное расположение прямой и окружности

Пусть $R$ — радиус окружности, $d$ — расстояние от её центра до прямой. Тогда

• $d < R$ — прямая секущая, две общие точки;
• $d = R$ — прямая касательная, ровно одна общая точка;
• $d > R$ — общих точек нет.

Главное свойство касательной

∴ Свойство касательной

Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Доказательство. Пусть прямая касается окружности в точке $A$, а $OH$ — перпендикуляр из центра к этой прямой. Расстояние от центра до касательной равно $R$, поэтому $OH = R$. Значит точка $H$ лежит на окружности. Но у касательной с окружностью ровно одна общая точка, поэтому $H$ совпадает с $A$. Радиус $OA$ и есть тот самый перпендикуляр. $\blacksquare$

Верно и обратное утверждение, и им удобно доказывать, что прямая касательная.

∴ Признак касательной

Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна этому радиусу, то она касательная.

Две касательные из одной точки

∴ Отрезки касательных

Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны, а прямая от этой точки к центру делит угол между касательными пополам:

$PA = PB, \qquad \angle APO = \angle BPO.$

Доказательство. Треугольники $OAP$ и $OBP$ прямоугольные (радиус перпендикулярен касательной), у них общая гипотенуза $OP$ и равные катеты $OA = OB = R$. По теореме Пифагора

$PA = \sqrt{OP^2 - R^2} = PB,$

значит треугольники равны по трём сторонам, и соответственные углы при вершине $P$ равны. $\blacksquare$

Хорда и перпендикуляр из центра

∴ Диаметр, перпендикулярный хорде

Если диаметр перпендикулярен хорде, то он делит её пополам. Обратно: диаметр, проходящий через середину хорды (не диаметра), перпендикулярен ей.

Причина простая: треугольник, образованный двумя радиусами и хордой, равнобедренный, а в равнобедренном треугольнике высота из вершины совпадает с медианой. Дальше работает Пифагор: если $R$ — радиус, $a$ — длина хорды, $d$ — расстояние от центра до неё, то

$\left(\frac{a}{2}\right)^2 + d^2 = R^2.$

Длина отрезка касательнойРазбираем вместе

Из точки $P$, удалённой от центра на $10$ см, проведена касательная к окружности радиуса $6$ см. Найдём отрезок $PA$ до точки касания.

Радиус $OA$ перпендикулярен касательной, поэтому треугольник $OAP$ прямоугольный с гипотенузой $OP$:

$PA^2 = OP^2 - OA^2 = 100 - 36 = 64 \;\Longrightarrow\; PA = 8 \text{ см}.$

Заодно найдём угол между касательной и прямой $OP$: $\sin \angle APO = \dfrac{6}{10} = 0{,}6$, поэтому $\angle APO \approx 36{,}9°$, а весь угол между касательными $\alpha \approx 73{,}7°$.

Хорда по расстоянию до центраРазбираем вместе

Радиус окружности равен $13$, расстояние от центра до хорды — $5$. Найдём длину хорды.

Перпендикуляр из центра делит хорду пополам, поэтому половина хорды — катет прямоугольного треугольника с гипотенузой $13$ и вторым катетом $5$:

$\left(\frac{a}{2}\right)^2 = 169 - 25 = 144 \;\Longrightarrow\; \frac{a}{2} = 12 \;\Longrightarrow\; a = 24.$

Сколько проезжает колесо

Метрика окружности из 6 класса никуда не делась и постоянно нужна в задачах: за один оборот колесо проезжает расстояние, равное длине его окружности.

Измерение фигур

Граница, поверхность и окружность

Единица длины превращается в квадратную единицу только при измерении площади.

см · см²

Периметр и площадьОценка по сеткеКруг и окружность

Радиус35 см

−+

От 0,1 до 1000 см; можно вводить десятичную или обычную дробь

π ≈ 3,14π ≈ 22/7

Длина окружности, см

Площадь, см²

Проверить

?

Вычисли длину окружности и площадь круга.Результаты появятся только после нажатия «Проверить».

↺ Вернуть пример

! Что путают чаще всего

Расстояние до прямой измеряют «как получится». Оно всегда измеряется по перпендикуляру. Наклонный отрезок от центра до прямой длиннее и ничего не решает.

Считают, что касательная не может пересечь окружность «где-то ещё». Именно это и есть определение: у касательной ровно одна общая точка. Прямая с двумя общими точками — секущая, и радиус ей не перпендикулярен.

Забывают делить хорду пополам. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой $R$ катетом служит половина хорды, а не вся хорда.

Проверка понимания

Радиус окружности равен 5 см, расстояние от её центра до прямой тоже равно 5 см. Сколько общих точек у прямой и окружности?

• А. Ни одной
• Б. Одна
• В. Две

Практика

1. $R = 5$, расстояние от центра до прямой равно $3$. Сколько общих точек?
2. $R = 7$, расстояние равно $7$. Сколько общих точек и как называется такая прямая?
3. $R = 4$, расстояние равно $6$. Сколько общих точек?
4. Из точки, удалённой от центра на $13$ см, проведена касательная к окружности радиуса $5$ см. Найди отрезок касательной.
5. Отрезок касательной равен $24$, радиус — $7$. Найди расстояние от точки до центра.
6. Из точки $P$ проведены две касательные $PA$ и $PB$, причём $PA = 9$ см. Найди $PB$ и объясни ответ.
7. Угол между двумя касательными, проведёнными из точки $P$, равен $60°$, радиус равен $5$. Найди $OP$.
8. Хорда равна $16$, радиус — $10$. Найди расстояние от центра до хорды.
9. Расстояние от центра до хорды равно $5$, радиус — $13$. Найди длину хорды.
10. Радиус колеса равен $35$ см. Какой путь пройдёт колесо за один оборот при $\pi \approx 3{,}14$?
11. Две окружности радиусов $3$ и $5$ имеют центры на расстоянии $8$. Сколько у них общих точек?

Ответы и пояснения

1. Две: $3 < 5$, прямая секущая.
2. Одна; прямая касательная, потому что $d = R$.
3. Ни одной: $6 > 4$.
4. $PA^2 = 169 - 25 = 144$, поэтому $PA = 12$ см.
5. $OP^2 = 24^2 + 7^2 = 576 + 49 = 625$, поэтому $OP = 25$.
6. $PB = 9$ см: отрезки касательных из одной точки равны, так как прямоугольные треугольники $OAP$ и $OBP$ равны по гипотенузе и катету.
7. Прямая $PO$ делит угол пополам, поэтому $\angle APO = 30°$ и $\sin 30° = \dfrac{5}{OP}$, откуда $OP = \dfrac{5}{0{,}5} = 10$.
8. Половина хорды равна $8$; $d^2 = 100 - 64 = 36$, поэтому $d = 6$.
9. Половина хорды: $\sqrt{169 - 25} = 12$, вся хорда равна $24$.
10. $C = 2\pi R \approx 2 \cdot 3{,}14 \cdot 35 = 219{,}8$ см.
11. Одна: расстояние между центрами равно сумме радиусов $3 + 5 = 8$, значит окружности касаются внешним образом.

Итог

• Взаимное расположение прямой и окружности определяется сравнением $d$ и $R$, а не наклоном прямой.
• Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания; обратное утверждение — признак касательной.
• Отрезки касательных из одной точки равны, а линия центра делит угол между ними пополам.
• Перпендикуляр из центра делит хорду пополам, и дальше всё считает теорема Пифагора.

В следующем уроке мы посмотрим на окружность изнутри: окажется, что угол с вершиной на окружности жёстко связан с дугой, на которую он опирается, — и не зависит от того, где именно на дуге стоит вершина.

← Тригонометрия острого угла · Дальше: вписанные углы →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным