Векторы и движения

9 класс · Геометрия◷ 15–20 минут◇ БазаНужно знать: координатная плоскость, теорема Пифагора, симметрия, косинус острого угла

Пловец гребёт поперёк реки, а течение сносит его вбок. Дрон летит на север, ветер дует на восток. Две силы тянут ящик в разные стороны.

Во всех трёх случаях число «сколько» ничего не решает: нужно ещё знать «куда». Величину, у которой есть и размер, и направление, удобно записывать вектором — и тогда её можно складывать, умножать на число и превращать в координаты.

◎ После урока ты сможешь

• выполнять действия с векторами геометрически и в координатах
• решать задачи координатным методом: расстояние, середина, уравнения прямой и окружности
• находить угол между векторами через скалярное произведение
• описывать движения плоскости формулами и называть то, что они сохраняют

✦ Зачем ещё один язык

Ты уже умеешь доказывать теоремы чертежом и рассуждением. Векторы и координаты дают второй способ: перевести условие в числа, посчитать и вернуться обратно к геометрии. Там, где чертёж требует догадки, координатный метод часто требует только аккуратности.

Входная диагностика

Отвечай коротко; вычисляй только там, где без этого никак.

1. Точка $A$ имеет координаты $(-3;2)$. В какой четверти она лежит?
2. Катеты прямоугольного треугольника равны $6$ и $8$. Чему равна гипотенуза?
3. Найди расстояние между точками $A(1;2)$ и $B(5;5)$ на координатной плоскости.
4. Куда перейдёт точка $(4;-1)$ при симметрии относительно оси $x$? А относительно начала координат?
5. Чему равен $\cos 60°$ и $\cos 90°$?
6. Что задаёт уравнение $y = 2x - 3$?
7. Как найти координату середины отрезка на координатной прямой, если концы имеют координаты $-4$ и $10$?
8. Может ли треугольник со сторонами $5$, $12$, $13$ быть прямоугольным?

Ответы для самопроверки

1. Во второй: $x<0$, $y>0$.
2. $c^2 = 36 + 64 = 100$, поэтому $c = 10$.
3. Разности координат равны $4$ и $3$, значит $AB^2 = 16 + 9 = 25$ и $AB = 5$.
4. Относительно оси $x$ — в $(4;1)$; относительно начала координат — в $(-4;1)$.
5. $\cos 60° = 0{,}5$, $\cos 90° = 0$.
6. Прямую на координатной плоскости.
7. Полусумму: $\dfrac{-4+10}{2} = 3$.
8. Да: $25 + 144 = 169 = 13^2$.

Если координаты подзабылись, вернись к уроку «Координатная плоскость»; если теорема Пифагора — к уроку «Теорема Пифагора».

Договорённости главы

• Вектор обозначаем стрелкой: $\vec{AB}$ — от начала $A$ к концу $B$. Длину пишем в модуле: $|\vec{AB}|$.
• Координаты вектора и координаты точки записываем через точку с запятой: $\vec a(3;-2)$, $A(3;-2)$. Это разные объекты с одинаковой записью, и путать их нельзя.
• Квадрат длины оставляем точным целым числом, а сам корень при необходимости округляем со знаком $\approx$.
• Углы измеряем в градусах, от $0°$ до $180°$; поворот против часовой стрелки считаем положительным.
• Все чертежи в лабораториях строятся по введённым координатам: подогнать картинку под ответ нельзя.

Маршрут главы

1. Векторы и действия с ними — направленный отрезок, равенство векторов, сложение, вычитание и умножение на число.
2. Координатный метод — координаты вектора, длина, середина отрезка, уравнения прямой и окружности.
3. Скалярное произведение — число из двух векторов, признак перпендикулярности и угол.
4. Движения плоскости — перенос, симметрии, поворот и то, что они сохраняют.
5. Практикум — маршрут дрона: перемещения, зона связи, курсы и симметричная разметка.

Прогресс главы · хранится в браузере

Начни с первой идеи

0 из 5 уроков отмечено

Начать маршрут →

Начни с векторов и действий над ними: дальше вся глава опирается на них.