1.6 Практикум: рост, распад и шкалы

11 класс · Алгебра◷ 70–90 минут · можно по станциям◇ Смешанная практикаНужно знать: уроки 1.1–1.5

Аналитический отдел готовит одну справку сразу для четырёх служб: финансовой (что будет с вкладом), лаборатории (сколько изотопа останется), акустиков (насколько станет громче) и химиков (как изменится кислотность).

Четыре разные предметные области. Одна и та же математика: где-то нужно возвести в степень, где-то — найти показатель, а где-то просто аккуратно прочитать логарифмическую шкалу.

◎ После урока ты сможешь

• выбирать нужный приём — приведение к основанию, логарифмирование, замену переменной или чтение шкалы
• доводить прикладную задачу до числа с правильной единицей и честной точностью
• проверять ответ подстановкой и оценкой правдоподобия
• объяснять границы применимости показательной модели

Станция 1. Кто окажется впереди

Отдел прогнозов спорит: расходы растут линейно, база данных — как квадрат, а число запросов удваивается каждый месяц. Кто первым упрётся в потолок?

Ответь до того, как нажмёшь «Проверить»: график сначала показывает только начальный участок.

Лаборатория роста

Кто впереди в конце отрезка?

Сначала видны только первые значения. Реши, какая функция окажется наибольшей в конце отрезка, и проверь себя.

y = 2ˣ

a = 1,5a = 2a = 3

y = xy = x²y = x³

y = 5xy = 10xy = 20x

Мой ответ

y = 2ˣy = x³y = 20x

Проверить

Значения трёх функций на первом участке до x = 4; жирным выделено наибольшее число в столбце

x	0	1	2	3	4
2ˣ	1	2	4	8	16
x³	0	1	8	27	64
20x	0	20	40	60	80

?

Кто окажется больше при x = 16?Пока виден только участок до x = 4, где показательная функция выглядит скромно. Выбери ответ и нажми «Проверить».

↺ Вернуть пример

◆ Почему интуиция ошибается

На коротком участке показательная функция выглядит скромно: при $x=3$ имеем $2^{3}=8$, а $x^{3}=27$ — степенная больше более чем втрое. При $x=16$ картина обратная: $2^{16}=65\,536$ против $16^{3}=4096$. Обгон случается позже, но он неизбежен, и после него разрыв растёт лавинообразно.

Практический вывод: экстраполировать показательный процесс «на глаз» по первым точкам нельзя. Нужна формула.

Станция 2. Возврат по зеркалу

Точка на показательной кривой известна. Где её пара на логарифмической?

Лаборатория зеркала

Где окажется точка после отражения?

График логарифма спрятан. Определи, куда переходит отмеченная точка, и проверь себя.

y = log_3 x

a = 2a = 3a = 0,5

x = −1x = 0x = 1

y = 3ˣ⇄y = ?

Мой ответ

(0,333; −1)(−1; 0,333)(1; 0,333)

Проверить

Пары «показатель — значение» и возврат по логарифму

x	−1	0	1
3ˣ	0,333	1	3

?

Точка (−1; 0,333) лежит на графике y = 3ˣ. Какая точка лежит на графике y = log_3 x?Выбери ответ и нажми «Проверить». График логарифма появится только после этого.

↺ Вернуть пример

Что именно проверяет эта станцияРазбираем вместе

Пусть основание равно $3$ и отмечена точка $\left(-1;\dfrac13\right)$ на графике $y=3^{x}$.

Равенство $3^{-1}=\dfrac13$ можно прочитать в обратную сторону: $\log_3\dfrac13=-1$. Значит на графике $y=\log_3 x$ лежит точка $\left(\dfrac13;-1\right)$ — координаты просто поменялись местами.

Отрезок между этими точками перпендикулярен прямой $y=x$ и делится ею пополам: середина равна $\left(\dfrac{-1+\frac13}{2};\dfrac{\frac13-1}{2}\right)=\left(-\dfrac13;-\dfrac13\right)$ и действительно лежит на прямой $y=x$.

Тот же разбор годится для любой отмеченной точки: показательное равенство и логарифмическое — это одна запись, прочитанная в разные стороны.

Станция 3. Запись ответа

Неравенство решено, осталось записать ответ. Ошибка в скобке — потерянный балл, хотя вся математика сделана верно.

Лаборатория неравенств

Собери промежуток и прочитай его запись

Меняй границы и их включённость. Следи за тремя записями одного и того же множества: рисунок, скобки, неравенство.

[2; 7)

Левая граница 2

−+

От −10 до 10, шаг 0,5

Правая граница 7

−+

От −10 до 10, шаг 0,5

Левый конец: включена

[ включена( не включена−∞

Правый конец: не включена

] включена) не включена+∞

↔

[2; 7) — это полуинтервал.Условие на число: 2 ⩽ x < 7. Круглая скобка — граница не входит, квадратная — входит.

↺ Вернуть пример

◆ Паспорт ответа

Рядом с каждым числом запиши: что именно оно измеряет, в какой единице получено, точное оно или приближённое и какое условие модели использовано.

Например: «$t\approx9{,}01$ года; приближение получено через десятичные логарифмы; модель предполагает ежегодную капитализацию и неизменную ставку». Число без такого паспорта проверить почти невозможно.

Проверка понимания

Население города растёт на 2% в год. Какой моделью это описывается?

• А. N(t) = N₀ + 0,02t
• Б. N(t) = N₀ · t^0,02
• В. N(t) = N₀ · 1,02^t

Итоговый набор задач

1. Вычисли $27^{4/3}$.
2. Вычисли $16^{-3/4}$.
3. Упрости при $x>0$ выражение $\left(x^{1/3}\right)^{9/2}\cdot x^{-1/2}$.
4. Вычисли $\log_2 96-\log_2 3$.
5. Вычисли $\log_6 4+\log_6 9$.
6. Вычисли $4^{\log_2 3}$.
7. Между какими соседними целыми числами лежит $\log_2 1000$?
8. Реши уравнение $5^{2x-1}=25$.
9. Реши уравнение $4^{x}-6\cdot2^{x}+8=0$.
10. Реши уравнение $\log_3(2x-5)=2$.
11. Реши неравенство $\left(\dfrac12\right)^{x}\leqslant\dfrac18$.
12. Реши неравенство $\log_{0{,}5}(x-1)>-2$.
13. Вклад $30\,000$ рублей положен под $7\%$ годовых. Через сколько полных лет сумма превысит $45\,000$ рублей? Считай $\lg1{,}5\approx0{,}17609$ и $\lg1{,}07\approx0{,}02938$.
14. Период полураспада углерода-14 равен $5730$ годам. В образце осталось $25\%$ исходного количества. Сколько лет образцу?
15. Интенсивность звука выросла в $1000$ раз. На сколько децибел выросла громкость, если $L=10\lg\dfrac{I}{I_0}$?
16. Кислотность считают по формуле $\mathrm{pH}=-\lg[\mathrm{H}^{+}]$. Концентрация ионов выросла со $10^{-5}$ до $10^{-3}$ моль/л. Как изменился $\mathrm{pH}$?
17. Найди область определения функции $y=\log_4(6-2x)$.
18. Сравни $\log_{0{,}7}3$ и $0$ и объясни ответ одним предложением.

Ответы, модели и проверки

1. $\sqrt[3]{27}=3$, затем $3^{4}=81$.
2. $\sqrt[4]{16}=2$, затем $16^{-3/4}=\dfrac{1}{2^{3}}=\dfrac18$.
3. $\dfrac13\cdot\dfrac92=\dfrac32$, затем $\dfrac32-\dfrac12=1$. Ответ: $x$.
4. $\log_2\dfrac{96}{3}=\log_2 32=5$.
5. $\log_6(4\cdot9)=\log_6 36=2$.
6. $4^{\log_2 3}=\left(2^{\log_2 3}\right)^{2}=3^{2}=9$.
7. $2^{9}=512<1000<1024=2^{10}$, поэтому $9<\log_2 1000<10$.
8. $5^{2x-1}=5^{2}$, значит $2x-1=2$ и $x=1{,}5$.
9. Замена $t=2^{x}>0$: $t^{2}-6t+8=0$, корни $t=2$ и $t=4$. Отсюда $x=1$ и $x=2$. Проверка при $x=2$: $16-24+8=0$.
10. ОДЗ: $2x-5>0$. Из $2x-5=9$ получаем $x=7$; проверка: $2\cdot7-5=9>0$, и $\log_3 9=2$.
11. $\left(\dfrac12\right)^{x}\leqslant\left(\dfrac12\right)^{3}$; основание меньше единицы, знак переворачивается: $x\geqslant3$, ответ $[3;+\infty)$.
12. ОДЗ: $x>1$. Основание меньше единицы, знак переворачивается: $x-1<0{,}5^{-2}=4$, то есть $x<5$. Пересечение: $(1;5)$.
13. Условие $30\,000\cdot1{,}07^{t}>45\,000$ означает $1{,}07^{t}>1{,}5$, откуда $t>\dfrac{\lg1{,}5}{\lg1{,}07}\approx\dfrac{0{,}17609}{0{,}02938}\approx5{,}99$. Наименьшее целое — $6$ лет. Проверка: $1{,}07^{6}\approx1{,}5007$, сумма $\approx45\,022$ рубля, а $1{,}07^{5}\approx1{,}4026$ даёт лишь $\approx42\,077$ рублей.
14. $\left(\dfrac12\right)^{t/5730}=0{,}25=\left(\dfrac12\right)^{2}$, значит $\dfrac{t}{5730}=2$ и $t=11\,460$ лет.
15. $\Delta L=10\lg1000=30$ дБ.
16. Было $\mathrm{pH}=-\lg10^{-5}=5$, стало $\mathrm{pH}=-\lg10^{-3}=3$. Кислотность выросла, $\mathrm{pH}$ уменьшился на $2$.
17. $6-2x>0$, то есть $x<3$. Ответ: $(-\infty;3)$.
18. $\log_{0{,}7}3<0$: основание меньше единицы, поэтому функция убывает, и на аргументах больше единицы она принимает отрицательные значения.

Рефлексия проекта

1. В каких задачах ответ получился точным, а в каких — приближённым? Что именно заставило появиться знак $\approx$?
2. Какую задачу можно решить двумя способами и сверить результаты?
3. Задача 14 даёт «возраст образца» с точностью до года. Насколько это честно?
4. Где показательная модель перестаёт описывать реальность?

Возможные ответы: точными вышли все задачи на приведение к одному основанию, приближёнными — те, где показатель оказался иррациональным (задача 13); задачу 9 можно проверить прямой подстановкой обоих корней, а задачу 6 — сначала через основное тождество, потом через переход к основанию $2$; в задаче 14 период полураспада сам известен приближённо, и запись $11\,460$ лет создаёт ложное впечатление точности до года; показательная модель роста населения или колонии всегда упирается в ресурсы, и на больших временах её заменяют другой.

✦ Мост дальше

Вопрос «во сколько раз выросло» мы теперь решаем логарифмом. Но у роста есть и второй вопрос: как быстро он идёт прямо сейчас, в конкретный момент, а не в среднем за год.

Ответ на него даст производная — и там показательная функция снова окажется особенной. Среди всех оснований найдётся ровно одно, при котором скорость роста в каждой точке равна самому значению функции. Это число $e\approx2{,}71828$, а логарифм по этому основанию называется натуральным именно поэтому.

Пока достаточно запомнить: экспонента и логарифм — не отдельная тема, а рабочий инструмент, который дальше будет встречаться постоянно.

← Уравнения и неравенства · К обзору 11 класса →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным