1.6. Наименьшее общее кратное

6 класс · Делимость◷ 35–40 минут◇ БазаНужно знать: кратные и разложение на простые множители

Два сигнальных огня вспыхнули одновременно. Первый вспыхивает каждые $6$ секунд, второй — каждые $8$ секунд. Через сколько секунд они впервые снова вспыхнут вместе?

◎ После урока ты сможешь

• узнавать НОК как первое положительное совпадение кратных
• находить НОК списком кратных и по простым множителям
• отличать задачи на НОК от задач на НОД

Две задачи с одними числами

Лаборатория НОД и НОК

Комплекты и совпадения циклов

Одни и те же числа показывают две разные задачи: разделить и синхронизировать.

две модели

Первое число 6От 2 до 30

Второе число 8От 2 до 30

Разделить поровну

НОД(6, 8) = 2

2

Получается 2 одинаковых комплектов: в каждом по 3 фиолетовых и 4 оранжевых фишек.

1

2

Больше 2 одинаковых комплектов собрать нельзя.

Дождаться совпадения

НОК(6, 8) = 24

24

Первый цикл срабатывает каждые 6, второй — каждые 8. Их первая общая отметка — 24.

Шаг 6

1. 6
2. 12
3. 18
4. 24

Шаг 8

1. 8
2. 16
3. 24

На отметке 24 оба цикла звучат вместе.

↔

НОД отвечает про максимальное число групп, НОК — про первое общее кратное.Проверка связи: 2 · 24 = 48, и 6 · 8 = 48.

В правой части лаборатории два списка движутся с разным шагом. Для чисел $6$ и $8$ получаем:

$$6,12,18,\boxed{24},\ldots$$ $$8,16,\boxed{24},\ldots$$

Число $24$ — первое положительное число в обоих списках. Значит, сигналы снова совпадут через $24$ секунды.

∴ Наименьшее общее кратное

Общее кратное двух натуральных чисел делится на каждое из них. Наименьшее положительное общее кратное чисел $a$ и $b$ называют НОК$(a,b)$.

У чисел бесконечно много общих кратных. Например, общие кратные $6$ и $8$ — это $24,48,72,\ldots$ Но НОК среди них только одно: самое маленькое положительное.

Способ 1. Выписать кратные

Этот способ особенно удобен для небольших чисел.

Найдём НОК(12, 18) спискомРазбираем вместе

Выписываем кратные большего числа $18$ и проверяем делимость на $12$:

$18,36,54,72,\ldots$

Число $18$ не делится на $12$, а $36$ делится. Поэтому

$\operatorname{\text{НОК}}(12,18)=36.$

Можно было выписывать два списка, но одного списка и проверки обычно достаточно.

Способ 2. Собрать все простые кирпичики

Разложим числа $12$ и $18$:

$12=2^2\cdot3,\qquad18=2\cdot3^2.$

Искомое число должно делиться и на $12$, и на $18$. Поэтому ему нужны:

• две двойки, чтобы вместить разложение $12$;
• две тройки, чтобы вместить разложение $18$.

Берём каждое простое число в наибольшей нужной степени:

$\operatorname{\text{НОК}}(12,18)=2^2\cdot3^2=36.$

✦ Почему берём наибольшие степени

Кратному должны хватить множителей для сборки каждого исходного числа. Одной двойки недостаточно для $12=2^2\cdot3$, а одной тройки недостаточно для $18=2\cdot3^2$. Лишние множители сделали бы число больше, поэтому берём ровно необходимый максимум.

Найдём НОК(24, 90) по разложениямРазбираем вместе

$24=2^3\cdot3,\qquad90=2\cdot3^2\cdot5.$

Собираем максимальные степени всех встретившихся простых чисел:

$\operatorname{\text{НОК}}(24,90)=2^3\cdot3^2\cdot5=360.$

Проверка: $360:24=15$, а $360:90=4$. Оба частных — натуральные числа.

НОД или НОК?

Числа в условии не подсказывают операцию — её подсказывает вопрос.

Если нужно…	Ищи	Образ
разделить всё на наибольшее число одинаковых групп	НОД	раскладываем имеющееся
найти наибольший размер одинаковой плитки или шага	НОД	делитель обеих величин
дождаться первого совпадения повторяющихся событий	НОК	встреча двух циклов
найти наименьшую величину, делящуюся на обе данные	НОК	общее кратное

Проверка понимания

Автобус A приходит каждые 12 минут, а автобус B — каждые 18 минут. Сейчас они пришли вместе. Когда это впервые повторится?

• А. Через 6 минут
• Б. Через 36 минут
• В. Через 216 минут

! Ловушка: всегда перемножать числа

Произведение $a\cdot b$ действительно делится и на $a$, и на $b$, поэтому это общее кратное. Но оно может быть не наименьшим. Например, $12\cdot18=216$, хотя НОК равно $36$. Произведение сразу даёт НОК только для взаимно простых чисел.

Связь НОД и НОК

Для двух положительных целых чисел верно:

$\operatorname{\text{НОД}}(a,b)\cdot\operatorname{\text{НОК}}(a,b)=a\cdot b.$

Поэтому, если НОД уже найден, можно вычислить НОК:

$\operatorname{\text{НОК}}(a,b)=\frac{a\cdot b}{\operatorname{\text{НОД}}(a,b)}.$

Например, НОД$(12,18)=6$, значит

$\operatorname{\text{НОК}}(12,18)=\frac{12\cdot18}{6}=36.$

Почему формула работает?

В разложениях на простые множители НОД берёт меньшую степень каждого простого числа, а НОК — большую. Для любых двух показателей сумма минимума и максимума равна сумме самих показателей. Поэтому произведение НОД и НОК содержит ровно столько же простых множителей, сколько произведение $a\cdot b$.

Мостик к дробям

Чтобы сложить $\frac14$ и $\frac16$, нужны доли одинакового размера. Самый маленький общий знаменатель — это НОК знаменателей:

$\operatorname{\text{НОК}}(4,6)=12.$

Поэтому

$\frac14+\frac16=\frac3{12}+\frac2{12}=\frac5{12}.$

НОК не просто тема про расписания: скоро оно станет инструментом для действий с дробями.

Практика

Найди НОК

1. НОК$(4,6)$.
2. НОК$(8,12)$.
3. НОК$(7,10)$.
4. НОК$(18,24)$.
5. НОК$(45,60)$.

Выбери модель и реши

6. Один маяк подаёт сигнал каждые $15$ секунд, другой — каждые $20$ секунд. Они подали сигнал вместе. Через сколько секунд это повторится впервые?
7. Урок робототехники проходит раз в $6$ дней, а занятие по астрономии — раз в $8$ дней. Сегодня оба занятия. Через сколько дней они снова совпадут?
8. Какой наименьший общий знаменатель удобен для дробей $\frac5{12}$ и $\frac7{18}$?
9. Из $18$ красных и $24$ синих деталей собирают наибольшее возможное число одинаковых наборов без остатка. Нужно искать НОД или НОК? Сколько наборов получится?
10. Известно, что НОД$(a,b)=4$, а $a\cdot b=240$. Найди НОК$(a,b)$.

Ответы и объяснения

1. $12$.
2. $24$.
3. $70$: числа $7$ и $10$ взаимно простые.
4. $72$, потому что $18=2\cdot3^2$, $24=2^3\cdot3$ и НОК$=2^3\cdot3^2$.
5. $180$, потому что $45=3^2\cdot5$, $60=2^2\cdot3\cdot5$.
6. Через $60$ секунд.
7. Через $24$ дня.
8. НОК$(12,18)=36$.
9. Нужен НОД: мы делим имеющиеся предметы на одинаковые группы. НОД$(18,24)=6$, значит получится $6$ наборов.
10. По формуле связи НОК$=240:4=60$.

Итог

• НОК — первое положительное совпадение списков кратных.
• В разложениях на простые множители НОК собирает наибольшую степень каждого простого числа.
• Повторяющиеся события и общий знаменатель ведут к НОК; деление запасов на одинаковые группы — к НОД.

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным