1.5 Практикум: выбираем модель сами

9 класс · Алгебра◷ 70–90 минут · можно по станциям◇ БазаНужно знать: уроки 1.1–1.4

В учебнике задача обычно стоит под нужным параграфом, и способ решения понятен заранее. На контрольной и в жизни это не так. Поэтому здесь у задач нет подсказки-заголовка: сначала решаешь, какая это задача, и только потом — как её решать.

Три вопроса, которые стоит задать себе перед любой задачей главы:

1. Сколько неизвестных в вопросе — одно или два?
2. Есть ли переменная в знаменателе? Если да, где запреты?
3. Что будет ответом: число, пара чисел или список пар?

◎ После урока ты сможешь

• выбирать модель — уравнение, систему или график — по виду задачи
• доводить решение до ответа на поставленный вопрос
• проверять результат подстановкой и по смыслу условия
• объяснять, где модель точна, а где приближена

Станция 1. Уравнение с подвохом

Разбери примеры сам и только потом сверься с разбором. Особое внимание — примерам, где кандидатов больше, чем корней.

Лаборатория рациональных уравнений

От записи с дробями — к целому уравнению и обратно

Умножение на выражение с буквой может добавить корни. Поэтому запреты выписывают до решения, а кандидатов сверяют с ними после.

x/(x + 1) + 2/(x − 1) = 2/(x² − 1)

Вынесение общего множителяРазложение группировкойПроизведение равно нулюЗамена t = x²Замена с отбраковкойПосторонний кореньУравнение из задачи о работеОтвет «корней нет»Переменная исчезлаЛовушка сокращенияДва допустимых корня

Дробно-рациональное уравнение: x/(x + 1) + 2/(x − 1) = 2/(x² − 1)

1. 1

   Выписываем запреты: нули знаменателейx ≠ −1, x ≠ 1

2. 2

   Общий знаменатель обеих частейx² − 1

Мои корниЧерез точку с запятой, например «3; −2»; можно написать «нет»

Проверить

?

Реши уравнение сам, а потом сверься с разбором.Запиши корни через точку с запятой: «3; −2». Если корней нет, так и напиши: «нет».

↺ Вернуть пример

◆ Паспорт ответа

Рядом с каждым числом полезно записать: что оно обозначает, в каких единицах получено, точное оно или приближённое и какое ограничение задачи учтено. Число без такого паспорта трудно проверить — и легко перепутать с ответом на другой вопрос.

Станция 2. Линия как множество решений

Проверь несколько пар в уравнении $x^2+y^2=25$. Найди пару с $x=3$, потом вторую пару с тем же $x$.

Лаборатория графиков и систем

Одно уравнение — целая линия решений

Решение уравнения с двумя переменными — пара чисел. Все такие пары вместе и образуют график.

x² + y² = 25

y = x + 2y = x²xy = 6x² + y² = 25

x² + y² = 25 — это окружность с центром в начале координат и радиусом 5

Таблицы «x → y» здесь не получится: одному значению x отвечают сразу два значения y. Это уравнение задаёт линию, но не функцию.

Мой x

Мой y

Проверить

?

Проверь любую пару в уравнении x² + y² = 25.Подставь свои x и y в уравнение. Если равенство верное, точка обязана оказаться на линии.

↺ Вернуть пример

Почему пар именно двеРазбираем вместе

При $x=3$ уравнение $x^2+y^2=25$ превращается в

$9+y^2=25,\qquad y^2=16,\qquad y=\pm4.$

Квадратное уравнение с положительной правой частью даёт два корня — отсюда и две точки $(3;4)$ и $(3;-4)$.

А при $x=5$ получается $y^2=0$: корень один, точка одна. При $x=6$ выходит $y^2=-11$ — решений нет, и точки на окружности с абсциссой $6$ действительно не существует: радиус равен $5$.

Станция 3. Две линии и их общие точки

Оцени число решений по рисунку, потом впиши координаты одной из общих точек и проверь себя.

Лаборатория графиков и систем

Решение системы — общая точка двух линий

Каждое уравнение задаёт свою линию. Пара, подходящая обоим уравнениям, лежит на обеих линиях сразу.

x² + y² = 25

Парабола и прямаяГипербола и прямаяОкружность и прямаяДве прямыеКасание: одно решениеРешений нетИррациональные координаты

Система: x² + y² = 25 и y = x + 1

Мой x

Мой y

Проверить

?

Сколько у этих линий общих точек?Оцени ответ по рисунку, затем впиши координаты одной из общих точек и нажми «Проверить».

↺ Вернуть пример

Проверка понимания

«Периметр прямоугольника 22 см, площадь 24 см². Найди стороны.» Какая модель подходит?

• А. Одно уравнение с одной переменной
• Б. Система x + y = 11, xy = 24
• В. Система x + y = 22, xy = 24

Станция 4. Текст без подсказки

Реши задачу целиком, записывая каждый шаг модели.

Поезд прошёл $240$ км. Если бы его скорость была на $20$ км/ч больше, он затратил бы на $1$ час меньше. Найди скорость поезда.

Разбор

Пусть $v$ — скорость поезда в км/ч, $v>0$. Время в пути равно $\dfrac{240}{v}$, а при увеличенной скорости — $\dfrac{240}{v+20}$. Второе время на час меньше:

$\frac{240}{v}-\frac{240}{v+20}=1.$

Запреты: $v\ne0$ и $v\ne-20$. Умножаем на $v(v+20)$:

$240(v+20)-240v=v(v+20),\qquad 4800=v^2+20v.$

$v^2+20v-4800=0,\qquad D=400+19\,200=19\,600,\qquad \sqrt{D}=140.$

$v_1=\frac{-20-140}{2}=-80,\qquad v_2=\frac{-20+140}{2}=60.$

Отрицательная скорость смысла не имеет. Ответ: $60$ км/ч.

Проверка: $\dfrac{240}{60}=4$ ч и $\dfrac{240}{80}=3$ ч — разница ровно час.

Итоговый набор задач

1. Реши уравнение $x^3-16x=0$.
2. Реши уравнение $x^4-10x^2+9=0$.
3. Реши уравнение $\dfrac{2}{x-3}=\dfrac{5}{x+3}$.
4. Реши уравнение $\dfrac{x}{x-4}=\dfrac{4}{x-4}$.
5. Является ли пара $(-3;4)$ решением уравнения $x^2+y^2=25$? А пара $(4;-3)$?
6. Что является графиком уравнения $xy=12$? Найди решение, у которого $x=-4$.
7. Реши систему $y=x^2$, $y=3x+4$.
8. Реши систему $x^2+y^2=25$, $y=-x+7$.
9. Реши систему $x+y=7$, $xy=12$.
10. При каких значениях $k$ прямая $y=kx-4$ касается параболы $y=x^2$?
11. Сколько решений у системы $y=\dfrac{6}{x}$, $y=-x$? Ответ объясни.
12. Периметр прямоугольника равен $22$ см, площадь — $24\ \text{см}^2$. Найди стороны.
13. Расстояние $240$ км автомобиль проехал бы на $1$ час быстрее, если бы ехал на $20$ км/ч быстрее. Найди его скорость.
14. Сумма цифр двузначного числа равна $9$, а их произведение — $20$. Найди это число.

Ответы, модели и проверки

1. $x(x^2-16)=x(x-4)(x+4)=0$. Ответ: $-4$; $0$; $4$.
2. Замена $t=x^2\ge0$: $t^2-10t+9=0$, $D=100-36=64$, корни $t=1$ и $t=9$. Ответ: $-3$; $-1$; $1$; $3$.
3. $x\ne3$, $x\ne-3$; $2(x+3)=5(x-3)$, то есть $2x+6=5x-15$ и $3x=21$. Ответ: $x=7$.
4. $x\ne4$; после умножения на $x-4$ получаем $x=4$ — запрещённое значение. Ответ: корней нет.
5. $(-3;4)$: $9+16=25$ — да. $(4;-3)$: $16+9=25$ — тоже да. Здесь обе пары подходят, но это особенность именно окружности: у неё $x$ и $y$ входят одинаково.
6. Гипербола из двух ветвей. При $x=-4$ получаем $-4y=12$, то есть $y=-3$; решение $(-4;-3)$.
7. $x^2=3x+4$, то есть $x^2-3x-4=0$, $D=9+16=25$, корни $4$ и $-1$. Ответ: $(4;16)$ и $(-1;1)$.
8. $x^2+(7-x)^2=25$, то есть $2x^2-14x+24=0$ и $x^2-7x+12=0$, $D=49-48=1$, корни $3$ и $4$. Ответ: $(3;4)$ и $(4;3)$.
9. $y=7-x$, тогда $x(7-x)=12$ и $x^2-7x+12=0$, корни $3$ и $4$. Ответ: $(3;4)$ и $(4;3)$. Обрати внимание: задачи 8 и 9 — разные системы с одинаковым ответом.
10. $x^2=kx-4$, то есть $x^2-kx+4=0$. Касание означает $D=0$: $k^2-16=0$, откуда $k=4$ или $k=-4$.
11. $x\ne0$; $\dfrac{6}{x}=-x$ даёт $6=-x^2$, то есть $x^2=-6$. Квадрат не бывает отрицательным. Ответ: решений нет — гипербола лежит в первой и третьей четвертях, а прямая $y=-x$ во второй и четвёртой.
12. $x+y=11$, $xy=24$; подстановка даёт $x^2-11x+24=0$, $D=121-96=25$, корни $3$ и $8$. Ответ: $3$ см и $8$ см.
13. $\dfrac{240}{v}-\dfrac{240}{v+20}=1$ при $v>0$; получается $v^2+20v-4800=0$, $D=19\,600$, корни $60$ и $-80$. Ответ: $60$ км/ч.
14. $a+b=9$, $ab=20$; тогда $a^2-9a+20=0$, $D=81-80=1$, корни $4$ и $5$. Ответ: подходят оба числа — $45$ и $54$.

Рефлексия проекта

1. В каких задачах ответ — число, а в каких — пара или список пар? Как это видно из условия?
2. Где по ходу решения появлялся риск получить посторонний корень, а где — потерять настоящий?
3. Какую задачу можно проверить вторым способом: подстановкой, графиком или прикидкой?

Возможные ответы: ответ-пара возникает там, где неизвестных две и оба условия равноправны; посторонний корень появляется после умножения на выражение с переменной (задачи 3, 4, 13), а потерять корень можно делением на такое выражение или отбрасыванием отрицательного значения без причины; системы 7–9 удобно проверять и подстановкой, и по рисунку.

✦ Мост дальше

Мы решали системы, где одна из линий — парабола. Скоро парабола станет отдельным героем: у неё появятся вершина, направление ветвей и связь с квадратными неравенствами. А знак «$=$» в системе можно заменить на «$>$» — и тогда решением станет не линия, а целая область на плоскости.

Главное, что стоит унести из этой главы: модель выбирают до вычислений, а проверяют — после.

← Текстовые задачи · К обзору 9 класса →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным