5.4 Углы и расстояния

11 класс · Геометрия◷ 60–70 минут◇ БазаНужно знать: скалярное произведение в пространстве, расстояния и углы в стереометрии, признак перпендикулярности прямой и плоскости

В 10 классе, чтобы найти расстояние от точки до плоскости, приходилось строить перпендикуляр и доказывать, что он перпендикуляр. Иногда это красиво. Иногда — полстраницы построений ради одного числа.

Сейчас появится альтернатива: у плоскости будет уравнение, и все расстояния и углы посчитаются подстановкой.

◎ После урока ты сможешь

• составлять уравнение плоскости по точке и нормали и по трём точкам
• находить расстояние от точки до плоскости по формуле
• вычислять угол между прямой и плоскостью и угол между плоскостями
• выбирать между координатным методом и классическим построением

Прогноз до вычислений

В кубе с ребром $6$ проведём плоскость через $A_1$, $B$ и $D$ — она отсекает угол куба у вершины $A$.

Как далеко от этой плоскости находится сама вершина $A$? Варианты, которые называют чаще всего: «$3$, половина ребра», «$6$, целое ребро», «половина диагонали». Запиши свою версию — она понадобится через пять минут.

Нормаль и уравнение плоскости

Плоскость однозначно задаётся точкой и направлением, ей перпендикулярным.

∴ Вектор нормали

Нормалью плоскости называют любой ненулевой вектор, перпендикулярный этой плоскости. Точка $M(x;y;z)$ лежит в плоскости, проходящей через $M_0(x_0;y_0;z_0)$ с нормалью $\vec n(a;b;c)$, тогда и только тогда, когда вектор $\vec{M_0M}$ перпендикулярен нормали:

$a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.$

Раскрыв скобки и обозначив $d=-(ax_0+by_0+cz_0)$, получаем общее уравнение плоскости:

$ax+by+cz+d=0,\qquad a^2+b^2+c^2\ne0.$

Главное следствие читается прямо из записи: коэффициенты при $x$, $y$, $z$ — это координаты нормали. Увидев $2x-y+2z+3=0$, ты сразу знаешь, что $\vec n(2;-1;2)$.

Уравнение определено с точностью до множителя: $x+y+z-6=0$ и $2x+2y+2z-12=0$ задают одну плоскость. Поэтому коэффициенты обычно сокращают на общий делитель.

Знакомые плоскости выглядят так: $z=0$ — это $Oxy$, $y=0$ — это $Oxz$, $x=0$ — это $Oyz$. Их нормали — единичные векторы осей.

По точке и нормалиРазбираем вместе

Составим уравнение плоскости с нормалью $\vec n(2;-1;2)$, проходящей через $M(1;3;-1)$.

Подставляем: $2(x-1)-1\cdot(y-3)+2(z+1)=0$, то есть $2x-2-y+3+2z+2=0$ и окончательно

$2x-y+2z+3=0.$

Проверка: подставим $M$ в левую часть — $2\cdot1-3+2\cdot(-1)+3=2-3-2+3=0$. Точка лежит в плоскости.

Плоскость по трём точкам

Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит ровно одна плоскость. Чтобы найти её уравнение на базовом уровне, достаточно подставить координаты точек в $ax+by+cz+d=0$ и решить систему — она однородная, поэтому одно из неизвестных можно выбрать свободно.

Плоскость A₁BD в кубе с ребром 6Разбираем вместе

Координаты: $A_1(0;0;6)$, $B(6;0;0)$, $D(0;6;0)$.

Подставляем в $ax+by+cz+d=0$.

Из точки $B$: $6a+d=0$, значит $a=-\dfrac{d}{6}$.

Из точки $D$: $6b+d=0$, значит $b=-\dfrac{d}{6}$.

Из точки $A_1$: $6c+d=0$, значит $c=-\dfrac{d}{6}$.

Возьмём $d=-6$ — тогда $a=b=c=1$ и уравнение получается совсем простым:

$x+y+z-6=0.$

Нормаль равна $\vec n(1;1;1)$. А вектор $\vec{AC_1}=(6;6;6)=6\vec n$ ей коллинеарен — значит диагональ $AC_1$ перпендикулярна плоскости $A_1BD$. Ровно это мы доказали в прошлом уроке двумя скалярными произведениями.

Расстояние от точки до плоскости

∴ Формула расстояния

Расстояние от точки $M_0(x_0;y_0;z_0)$ до плоскости $ax+by+cz+d=0$ равно

$\rho=\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.$

В числителе — модуль левой части уравнения в этой точке, в знаменателе — длина нормали. Деление на длину нормали обязательно: без него результат зависел бы от того, сократили мы уравнение или нет.

Возвращаемся к прогнозуРазбираем вместе

Куб с ребром $6$, плоскость $A_1BD$ имеет уравнение $x+y+z-6=0$, длина нормали $\sqrt{1+1+1}=\sqrt3$.

Расстояние от $A(0;0;0)$:

$\rho(A)=\frac{|0+0+0-6|}{\sqrt3}=\frac{6}{\sqrt3}=2\sqrt3\approx3{,}46.$

Расстояние от противоположной вершины $C_1(6;6;6)$:

$\rho(C_1)=\frac{|6+6+6-6|}{\sqrt3}=\frac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3\approx6{,}93.$

Проверка: $2\sqrt3+4\sqrt3=6\sqrt3$ — это в точности длина диагонали $AC_1$. Так и должно быть: диагональ перпендикулярна плоскости, поэтому оба расстояния лежат на ней и в сумме дают всю диагональ.

Заодно видно, что плоскость $A_1BD$ делит диагональ в отношении $1:2$, считая от $A$.

Управляемый эксперимент

Проводи плоскость через любые три отмеченные точки и меряй расстояние от четвёртой. Сначала посчитай сам, потом нажимай «Проверить».

Лаборатория плоскостей в координатах

Уравнение плоскости и расстояние до неё

Через три выбранные точки тела проходит единственная плоскость. Лаборатория составляет её уравнение, показывает нормаль и опускает перпендикуляр из четвёртой точки — всё это счётом по координатам, а не по чертежу.

d = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d| : √(a² + b² + c²)

Ребро куба 6 см

Плоскость: первая точкавершина Aвершина Bвершина Cвершина Dвершина A₁вершина B₁вершина C₁вершина D₁середина ребра ABсередина ребра BCсередина ребра CDсередина ребра DAсередина ребра A₁B₁середина ребра B₁C₁середина ребра C₁D₁середина ребра D₁A₁середина ребра AA₁середина ребра BB₁середина ребра CC₁середина ребра DD₁центр грани ABCDцентр грани A₁B₁C₁D₁центр грани ABB₁A₁центр грани DCC₁D₁центр грани ADD₁A₁центр грани BCC₁B₁центр тела

Плоскость: вторая точкавершина Aвершина Bвершина Cвершина Dвершина A₁вершина B₁вершина C₁вершина D₁середина ребра ABсередина ребра BCсередина ребра CDсередина ребра DAсередина ребра A₁B₁середина ребра B₁C₁середина ребра C₁D₁середина ребра D₁A₁середина ребра AA₁середина ребра BB₁середина ребра CC₁середина ребра DD₁центр грани ABCDцентр грани A₁B₁C₁D₁центр грани ABB₁A₁центр грани DCC₁D₁центр грани ADD₁A₁центр грани BCC₁B₁центр тела

Плоскость: третья точкавершина Aвершина Bвершина Cвершина Dвершина A₁вершина B₁вершина C₁вершина D₁середина ребра ABсередина ребра BCсередина ребра CDсередина ребра DAсередина ребра A₁B₁середина ребра B₁C₁середина ребра C₁D₁середина ребра D₁A₁середина ребра AA₁середина ребра BB₁середина ребра CC₁середина ребра DD₁центр грани ABCDцентр грани A₁B₁C₁D₁центр грани ABB₁A₁центр грани DCC₁D₁центр грани ADD₁A₁центр грани BCC₁B₁центр тела

Точка, до которой меряемвершина Aвершина Bвершина Cвершина Dвершина A₁вершина B₁вершина C₁вершина D₁середина ребра ABсередина ребра BCсередина ребра CDсередина ребра DAсередина ребра A₁B₁середина ребра B₁C₁середина ребра C₁D₁середина ребра D₁A₁середина ребра AA₁середина ребра BB₁середина ребра CC₁середина ребра DD₁центр грани ABCDцентр грани A₁B₁C₁D₁центр грани ABB₁A₁центр грани DCC₁D₁центр грани ADD₁A₁центр грани BCC₁B₁центр тела

Поворот −35°

Подъём 28°

Проекция параллельная: перпендикуляр к плоскости почти никогда не выглядит на рисунке прямым углом. Прямой угол здесь — результат вычисления, а не картинки.

Моё расстояние от A до плоскости A₁BD, смПроверить

?

Плоскость A₁BD и точка A.Составь уравнение плоскости, подставь координаты точки и раздели модуль результата на длину нормали. Ответ вводи с точностью до 0,01.

↺ Вернуть пример

Обрати внимание на перпендикуляр на рисунке: он почти никогда не выглядит прямым углом. Параллельная проекция искажает углы — а формула не искажает.

Три угла — три формулы

∴ Угол между прямой и плоскостью

Пусть $\vec m$ — направляющий вектор прямой, $\vec n$ — нормаль плоскости. Угол между прямой и нормалью дополняет искомый угол $\varphi$ до $90°$, поэтому в формуле появляется синус:

$\sin\varphi=\frac{|\vec m\cdot\vec n|}{|\vec m|\cdot|\vec n|},\qquad 0°\le\varphi\le90°.$

∴ Угол между плоскостями

Угол между плоскостями равен углу между их нормалями, взятому не тупым:

$\cos\psi=\frac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1|\cdot|\vec n_2|},\qquad 0°\le\psi\le90°.$

Итого весь координатный метод укладывается в четыре формулы: косинус для прямых, синус для «прямая и плоскость», косинус для плоскостей и дробь для расстояния. Модуль в числителе стоит везде — потому что все три угла измеряются от $0°$ до $90°$.

Два угла в кубе с ребром 6Разбираем вместе

Угол между плоскостью $A_1BD$ и плоскостью основания. Нормали: $\vec n_1(1;1;1)$ и $\vec n_2(0;0;1)$. Тогда

$\cos\psi=\frac{|0+0+1|}{\sqrt3\cdot1}=\frac{1}{\sqrt3}\approx0{,}577,$

откуда $\psi\approx54{,}7°$.

Угол между диагональю $AC_1$ и плоскостью основания. Направляющий вектор $\vec m(6;6;6)$, нормаль основания $\vec n(0;0;1)$:

$\sin\varphi=\frac{|6|}{6\sqrt3\cdot1}=\frac{1}{\sqrt3}\approx0{,}577,$

откуда $\varphi\approx35{,}3°$.

Проверка: $54{,}7°+35{,}3°=90°$. Это не совпадение — диагональ перпендикулярна плоскости $A_1BD$, поэтому её угол с основанием дополняет угол между плоскостями. И заодно ответ совпал с классическим решением через тангенс, где получалось $\approx35°$.

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Формулу для этого случая на базовом уровне не заучивают — вместо неё работает приём: расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от точки одной прямой до плоскости, которая проходит через вторую прямую параллельно первой.

Расстояние между AB и A₁C₁Разбираем вместе

Куб с ребром $6$. Прямая $A_1C_1$ лежит в плоскости верхней грани $z=6$, а прямая $AB$ — в плоскости $z=0$ и, значит, параллельна верхней грани.

Тогда искомое расстояние равно расстоянию от точки $A(0;0;0)$ до плоскости $z-6=0$:

$\rho=\frac{|0-6|}{\sqrt{0+0+1}}=6.$

Ответ: $6$, то есть ребро куба. Здесь общий перпендикуляр — это само ребро $AA_1$.

∴ Алгоритм координатного метода

1. Поставь начало координат в вершину, где сходятся три взаимно перпендикулярных ребра; выпиши координаты нужных точек.
2. Для прямых найди направляющие векторы; для плоскостей составь уравнение и выпиши нормаль.
3. Подставь в нужную формулу — расстояния или одного из трёх углов.
4. Проверь правдоподобие: расстояние до плоскости не может быть больше любой наклонной, а угол обязан попасть в промежуток от $0°$ до $90°$.

! Три ловушки координатного метода

Забывают делить на длину нормали. Число $|ax_0+by_0+cz_0+d|$ само по себе не расстояние: умножь уравнение на $10$ — и оно вырастет в десять раз, хотя плоскость не сдвинулась.

Меняют местами синус и косинус. Для пары «прямая и плоскость» формула даёт синус искомого угла, потому что считается угол с нормалью. Для пары плоскостей — косинус.

Берут дополнительный угол. Получив угол с нормалью $35°$, легко записать его в ответ. Но угол с самой плоскостью тогда равен $55°$, и наоборот. Проверяй по смыслу: пологая плоскость даёт малый угол с основанием.

Проверка понимания

Плоскость задана уравнением 2x − y + 2z − 6 = 0. Чему равно расстояние от точки P(1;1;1) до неё?

• А. 3, это значение левой части
• Б. 9, это произведение модуля на длину нормали
• В. 1

Практика

Задачи 7–12 — о кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $6$ и стандартной расстановкой координат.

1. Составь уравнение плоскости с нормалью $\vec n(2;-1;2)$, проходящей через $M(1;3;-1)$.
2. Найди расстояние от начала координат до плоскости $2x-y+2z+3=0$.
3. Найди расстояние от точки $P(1;1;1)$ до плоскости $2x-y+2z-6=0$.
4. Найди расстояние между плоскостями $2x-y+2z-6=0$ и $2x-y+2z+3=0$.
5. Составь уравнение плоскости через точки $(1;0;0)$, $(0;2;0)$, $(0;0;3)$ и найди расстояние от начала координат до неё.
6. Найди угол между плоскостью $2x-y+2z-6=0$ и плоскостью $Oxy$.
7. Составь уравнение плоскости $A_1BD$ и найди расстояние от $A$ до неё.
8. Найди расстояние от $C_1$ до плоскости $A_1BD$.
9. Найди угол между плоскостью $A_1BD$ и плоскостью основания.
10. Найди угол между прямой $AC_1$ и плоскостью основания.
11. Найди расстояние между скрещивающимися прямыми $AB$ и $A_1C_1$.
12. Найди расстояние от вершины $B$ до плоскости $ACC_1A_1$.
13. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания равна $6$, боковое ребро — $8$, а $A(0;0;0)$, $B(6;0;0)$, $C(3;3\sqrt3;0)$. Найди расстояние от $A$ до плоскости $BCC_1B_1$ и угол между прямой $AB_1$ и плоскостью основания.

Ответы и пояснения

1. $2(x-1)-(y-3)+2(z+1)=0$, то есть $2x-y+2z+3=0$.
2. $\dfrac{|3|}{\sqrt{4+1+4}}=\dfrac33=1$.
3. $\dfrac{|2-1+2-6|}{3}=\dfrac33=1$.
4. Плоскости параллельны (нормали совпадают). Возьмём точку $(3;0;0)$ первой плоскости: $\dfrac{|6-0+0+3|}{3}=3$.
5. Из подстановки: $a+d=0$, $2b+d=0$, $3c+d=0$. При $d=-6$ получаем $a=6$, $b=3$, $c=2$, то есть $6x+3y+2z-6=0$. Длина нормали $\sqrt{36+9+4}=7$, расстояние $\dfrac{6}{7}\approx0{,}86$.
6. Нормали $(2;-1;2)$ и $(0;0;1)$; $\cos\psi=\dfrac{2}{3}\approx0{,}667$, поэтому $\psi\approx48{,}2°$.
7. $A_1(0;0;6)$, $B(6;0;0)$, $D(0;6;0)$ дают $x+y+z-6=0$; $\rho(A)=\dfrac{6}{\sqrt3}=2\sqrt3\approx3{,}46$.
8. $\rho(C_1)=\dfrac{|18-6|}{\sqrt3}=\dfrac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3\approx6{,}93$. Сумма с задачей 7 даёт $6\sqrt3=AC_1$.
9. Нормали $(1;1;1)$ и $(0;0;1)$; $\cos\psi=\dfrac{1}{\sqrt3}\approx0{,}577$, поэтому $\psi\approx54{,}7°$.
10. $\vec m(6;6;6)$, нормаль основания $(0;0;1)$; $\sin\varphi=\dfrac{6}{6\sqrt3}=\dfrac{1}{\sqrt3}$, поэтому $\varphi\approx35{,}3°$.
11. Прямая $A_1C_1$ лежит в плоскости $z=6$, прямая $AB$ ей параллельна; расстояние от $A(0;0;0)$ до $z-6=0$ равно $6$.
12. Плоскость $ACC_1A_1$ проходит через $A(0;0;0)$, $C(6;6;0)$, $A_1(0;0;6)$ и имеет уравнение $x-y=0$. Тогда $\rho(B)=\dfrac{|6-0|}{\sqrt2}=3\sqrt2\approx4{,}24$ — это половина диагонали $BD$, как и должно быть.
13. Плоскость $BCC_1B_1$ вертикальна, её нормаль лежит в основании. Через точки $B(6;0;0)$, $C(3;3\sqrt3;0)$ и $B_1(6;0;8)$ получаем уравнение $\sqrt3\,x+y-6\sqrt3=0$ с нормалью $(\sqrt3;1;0)$ длины $2$. Тогда $\rho(A)=\dfrac{|-6\sqrt3|}{2}=3\sqrt3\approx5{,}20$ — это высота равностороннего основания, что совпадает с ожиданием. Для угла: $\vec{AB_1}=(6;0;8)$, нормаль основания $(0;0;1)$, поэтому $\sin\varphi=\dfrac{8}{10}=0{,}8$ и $\varphi\approx53{,}1°$.

Итог

• Плоскость задаётся уравнением $ax+by+cz+d=0$, где $(a;b;c)$ — координаты нормали.
• Расстояние от точки до плоскости — модуль левой части уравнения, делённый на длину нормали.
• Угол между прямой и плоскостью считают через синус (потому что берут угол с нормалью), угол между плоскостями — через косинус.
• Расстояние между скрещивающимися прямыми сводится к расстоянию от точки до подходящей параллельной плоскости.

Осталось собрать всё вместе. В практикуме одна и та же постройка потребует и координат, и векторов, и уравнения плоскости — а проверять ответы будем классическими рассуждениями.

← Скалярное произведение · Дальше: практикум →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным