3.4 Накопление величины

11 класс · Алгебра◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: формула Ньютона–Лейбница, первообразная, единицы измерения физических величин

Формула $s=vt$ работает ровно в одном случае — когда скорость постоянна. Как только машина разгоняется, тормозит или стоит на светофоре, умножать становится нечего: какое $v$ подставлять?

Ответ уже готов. Мы просто ещё не заметили, что нашли его в геометрической задаче.

◎ После урока ты сможешь

• записывать накопленную величину через интеграл от скорости её изменения
• определять единицу результата по единицам функции и аргумента
• различать путь и перемещение и считать каждое из них
• вычислять работу переменной силы и среднее значение функции на отрезке

Прогноз до вычислений

Тело движется со скоростью $v(t)=2t+1$ м/с.

1. Чему равна скорость в начале и в конце первых трёх секунд?
2. Оцени путь: он больше или меньше, чем $1\cdot3=3$ м? Больше или меньше, чем $7\cdot3=21$ м?
3. Попробуй угадать путь одним числом. Какое «среднее $v$» ты для этого мысленно взял?

Главная идея урока

Вернёмся к рассуждению из прошлого урока, но выбросим из него слово «площадь».

Пусть величина $Q$ меняется, а $q(t)$ — скорость её изменения, то есть $Q'(t)=q(t)$. За маленький промежуток $\Delta t$ величина изменится примерно на $q(t)\cdot\Delta t$. Сложив все такие кусочки и измельчая разбиение, получаем интеграл.

∴ Накопление по скорости изменения

Если $Q'(t)=q(t)$ на отрезке $[a;b]$, то

$Q(b)-Q(a)=\int_a^b q(t)\,dt.$

Словами: интеграл от скорости изменения даёт накопленное изменение величины.

Начальное значение $Q(a)$ по одной лишь функции $q$ не восстанавливается — это та самая постоянная $C$ из урока 3.1. Но при вычитании она сокращается, поэтому вопрос «на сколько изменилось» всегда имеет однозначный ответ, даже когда вопрос «сколько всего» не имеет.

Отсюда сразу три классических случая:

Скорость изменения	Накопленная величина
скорость $v(t)$, м/с	перемещение $\displaystyle\int_a^b v(t)\,dt$, м
сила $F(x)$, Н	работа $\displaystyle\int_a^b F(x)\,dx$, Дж
расход $q(t)$, л/мин	объём $\displaystyle\int_a^b q(t)\,dt$, л
мощность $P(t)$, Вт	энергия $\displaystyle\int_a^b P(t)\,dt$, Дж

◆ Единицы говорят сами

Единица интеграла всегда равна произведению единицы функции на единицу аргумента: $\dfrac{\text{м}}{\text{с}}\cdot\text{с}=\text{м}$, $\text{Н}\cdot\text{м}=\text{Дж}$, $\dfrac{\text{л}}{\text{мин}}\cdot\text{мин}=\text{л}$.

Это удобная проверка. Если единицы не сходятся, значит, перепутано, что здесь скорость изменения, а что — сама величина.

Эксперимент: путь под графиком скорости

Верхний график — скорость, нижняя граница — ось времени. Площадь под графиком равна пути (точнее, перемещению), а лаборатория показывает всю выкладку по шагам.

Лаборатория накопления

Площадь под графиком скорости — это путь

Верхний график — скорость, нижний — ноль. Площадь под графиком скорости равна пути, пройденному за выбранный промежуток времени.

F(b) − F(a)

Скорость v022x + 1x + 2x²4 − x²x² − 2x + 3x³График этой функции рисуется сплошной линией.

Нижняя граница022x + 1x + 2x²4 − x²x² − 2x + 3x³Значение «0» — это ось абсцисс: получится площадь под графиком.

Нижний предел a 0От −8 до 8.

Верхний предел b 3Должен быть больше a хотя бы на 0,2.

Графики пересекаются при t = −0,5.Взять пределы по пересечениям

1. 1

   Разность: f(t) − g(t) = 2t + 1Высота вертикального отрезка внутри фигуры.

2. 2

   Первообразная: F(t) = t² + tПостоянную C можно не писать: при вычитании она исчезнет.

3. 3

   F(3) = 12, F(0) = 0Подставляем сначала верхний предел, потом нижний.

4. 4

   F(b) − F(a) = 12Разность неотрицательна на всём отрезке, поэтому это и есть площадь.

∫

Накопленная величина равна 12.Интеграл разности сразу даёт площадь: на всём отрезке один график лежит выше другого.

↺ Вернуть пример

План работы:

1. Проверь прогноз: чему равно перемещение при $v(t)=2t+1$ за первые $3$ с?
2. Раздели ответ на длительность. Получилось «среднее $v$». Совпало ли оно с твоей догадкой из пункта 3 прогноза?
3. Поставь постоянную скорость $2$ и убедись, что интеграл превращается в обычное $v\cdot t$.
4. Выбери в роли скорости параболу и сравни перемещение за $[0;2]$ и за $[2;4]$. Во сколько раз они отличаются?

Три задачи с одинаковой математикойРазбираем вместе

Путь. Скорость $v(t)=2t+1$ м/с, промежуток $[0;3]$ с:

$s=\int_0^3(2t+1)\,dt=(t^2+t)\Big|_0^3=12-0=12\ \text{м}.$

Средняя скорость равна $\dfrac{12}{3}=4$ м/с — это скорость в середине промежутка, потому что $v$ линейна.

Работа. Пружина сопротивляется с силой $F(x)=kx$, где $k=200$ Н/м. Растянем её на $0{,}1$ м:

$A=\int_0^{0{,}1}200x\,dx=100x^2\Big|_0^{0{,}1}=100\cdot0{,}01=1\ \text{Дж}.$

Формула $A=Fs$ здесь не работает: сила меняется от $0$ до $20$ Н. Зато работает интеграл — и, кстати, даёт ровно $A=\dfrac{kx^2}{2}$, знакомую формулу энергии деформированной пружины.

Объём. Насос качает с расходом $q(t)=3-0{,}5t$ л/мин и к шестой минуте выдыхается: $q(6)=0$. За всё время работы:

$V=\int_0^6(3-0{,}5t)\,dt=(3t-0{,}25t^2)\Big|_0^6=18-9=9\ \text{л}.$

Три разные задачи, три разные единицы, одна и та же формула Ньютона–Лейбница.

Путь и перемещение — разные величины

Если скорость меняет знак, тело разворачивается. Интеграл от $v$ учитывает знак и даёт перемещение — смещение относительно старта. Пройденный путь — это интеграл от модуля скорости, то есть сумма модулей по кускам между моментами разворота.

Тело сдало назадРазбираем вместе

Пусть $v(t)=t-2$ м/с на промежутке $[0;3]$ с. Скорость обращается в ноль при $t=2$: до этого момента тело движется назад, после — вперёд.

Перемещение:

$\int_0^3(t-2)\,dt=\left(\frac{t^2}{2}-2t\right)\Bigg|_0^3=4{,}5-6=-1{,}5\ \text{м}.$

Минус означает, что тело оказалось на $1{,}5$ м позади старта.

Путь. Режем отрезок точкой $t=2$. На $[0;2]$ интеграл равен $2-4=-2$, значит, пройдено $2$ м. На $[2;3]$ он равен $(4{,}5-6)-(2-4)=0{,}5$, то есть ещё $0{,}5$ м.

$s=2+0{,}5=2{,}5\ \text{м}.$

Путь всегда не меньше модуля перемещения. Равенство — только когда тело ни разу не разворачивалось.

Среднее значение функции

Разделив накопленное на длину промежутка, получаем среднее значение — то самое «постоянное $v$», которое дало бы такой же результат.

$f_{\text{ср}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$

Для $v(t)=t^2$ на $[0;3]$: интеграл равен $9$, длина промежутка $3$, среднее равно $3$ м/с. Обрати внимание: значение функции в середине промежутка равно $v(1{,}5)=2{,}25$ — это не то же самое. Среднее по значениям и значение в середине совпадают только у линейной функции.

Проверка понимания

Расход воды измеряется в литрах в минуту, время — в минутах. Что означает площадь под графиком расхода?

• А. Средний расход в литрах в минуту
• Б. Объём вытекшей воды в литрах
• В. Время наполнения в минутах

! Четыре ловушки прикладных задач

Формула $s=vt$ при переменной скорости. Подставлять «какое-нибудь» $v$ нельзя. Единственный корректный ход — интеграл.

Полусумма вместо среднего. Для $v(t)=2t+1$ полусумма крайних значений $\dfrac{1+7}{2}=4$ случайно совпала с ответом, потому что функция линейна. Для $v(t)=t^2$ на $[0;3]$ полусумма даёт $4{,}5$, а верное среднее равно $3$.

Путь вместо перемещения. Если в задаче спрашивают «сколько метров проехал», а скорость меняла знак, интеграл сам по себе ответа не даёт: нужно резать по нулям скорости.

Потерянные единицы. Ответ «$9$» без литров — это половина ответа. Единицу получаем умножением единиц функции и аргумента.

Практика

1. Скорость $v(t)=6t$ м/с. Найди путь за первые $4$ с.
2. Скорость $v(t)=2t+1$ м/с. Найди путь за первые $3$ с и среднюю скорость.
3. Скорость $v(t)=12-3t$ м/с. В какой момент тело остановится и какой путь пройдёт до остановки?
4. Скорость $v(t)=t-2$ м/с на промежутке $[0;3]$ с. Найди перемещение и путь.
5. Пружина с жёсткостью $k=200$ Н/м растягивается на $0{,}1$ м. Найди работу.
6. Сила меняется по закону $F(x)=3x^2$ Н. Найди работу на пути от $x=0$ до $x=2$ м.
7. Расход $q(t)=3-0{,}5t$ л/мин. Сколько воды вытечет за $6$ мин?
8. Мощность прибора $P(t)=100+20t$ Вт. Сколько энергии он потребит за $10$ с?
9. Скорость роста числа жителей посёлка равна $r(t)=4t$ тысяч человек в год. На сколько вырастет население за $5$ лет?
10. Сила тока $i(t)=0{,}5t$ А. Какой заряд пройдёт через сечение за $4$ с?
11. Запиши функцию $Q(x)=\displaystyle\int_0^x 2t\,dt$ явной формулой и проверь равенство $Q'(x)=2x$.
12. Расход измеряется в литрах в минуту, время — в минутах. В каких единицах получится интеграл? А если расход измерять в литрах в секунду, а время — в минутах?
13. Через сколько минут в задаче 7 наберётся ровно $8$ л?
14. Скорость $v(t)=t^2$ м/с. Найди путь за первые $3$ с, среднюю скорость и сравни её со значением скорости в середине промежутка.

Ответы и пояснения

1. $s=\displaystyle\int_0^4 6t\,dt=3t^2\Big|_0^4=48$ м.
2. $s=(t^2+t)\Big|_0^3=12$ м; средняя скорость $\dfrac{12}{3}=4$ м/с.
3. Остановка при $12-3t=0$, то есть $t=4$ с. Путь: $\left(12t-1{,}5t^2\right)\Big|_0^4=48-24=24$ м.
4. Перемещение $-1{,}5$ м, путь $2{,}5$ м (разбор выше).
5. $A=\displaystyle\int_0^{0{,}1}200x\,dx=100x^2\Big|_0^{0{,}1}=1$ Дж.
6. $A=\displaystyle\int_0^2 3x^2\,dx=x^3\Big|_0^2=8$ Дж.
7. $V=(3t-0{,}25t^2)\Big|_0^6=18-9=9$ л.
8. $E=(100t+10t^2)\Big|_0^{10}=1000+1000=2000$ Дж.
9. $\displaystyle\int_0^5 4t\,dt=2t^2\Big|_0^5=50$ тысяч человек.
10. $q=\displaystyle\int_0^4 0{,}5t\,dt=0{,}25t^2\Big|_0^4=4$ Кл.
11. $Q(x)=t^2\Big|_0^x=x^2$, и действительно $Q'(x)=2x$. Это ровно утверждение о том, что функция площади — первообразная.
12. Литры. Во втором случае единицы не согласованы: сначала нужно перевести время в секунды или расход в литры в минуту, иначе результат не имеет смысла.
13. Решаем $3t-0{,}25t^2=8$, то есть $t^2-12t+32=0$; корни $t=4$ и $t=8$. Промежутку работы насоса принадлежит только $t=4$ мин.
14. $s=\dfrac{t^3}{3}\Big|_0^3=9$ м; средняя скорость $3$ м/с; в середине промежутка $v(1{,}5)=2{,}25$ м/с. Функция нелинейна, поэтому средняя скорость больше значения в середине.

Итог

• Интеграл от скорости изменения даёт накопленное изменение величины: $Q(b)-Q(a)=\displaystyle\int_a^b q(t)\,dt$.
• Начальное значение по скорости не восстанавливается, но в разности оно и не нужно.
• Единица ответа равна произведению единиц функции и аргумента — это первая проверка решения.
• Перемещение считает интеграл со знаком, путь — интеграл модуля по кускам между разворотами.
• Среднее значение функции равно интегралу, делённому на длину промежутка.

Осталось собрать всё вместе: в практикуме одна задача потребует и приближения суммами, и точного интеграла, и внимания к единицам.

← Формула Ньютона–Лейбница · Дальше: практикум →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным