6.2 Независимость событий

10 класс · Вероятность◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: условная вероятность, правило умножения, дерево испытаний

На складе лежат $200$ деталей с двух станков. Контролёр проверил их все:

	брак	годная	всего
станок №1	$6$	$114$	$120$
станок №2	$4$	$76$	$80$
всего	$10$	$190$	$200$

Станки разные, деталей у них тоже разное количество. Кажется, что информация «деталь со станка №1» должна что-то сообщать о её качестве.

Вопрос урока: как проверить вычислением, влияет ли одно событие на вероятность другого?

◎ После урока ты сможешь

• проверять независимость событий по равенству P(A и B) = P(A)·P(B)
• объяснять, почему несовместные события с положительными вероятностями зависимы
• считать вероятности в сериях независимых испытаний
• различать опыты с возвращением и без возвращения

Прогноз до вычислений

1. Как думаешь, у какого станка доля брака больше?
2. Изменится ли вероятность брака, если известно, что деталь пришла со станка №1?
3. Если бы станки различались по качеству, как это было бы видно на картинке из прошлого урока?

Эксперимент

Открой набор «Два станка» и сравни высоты цветных частей в двух столбцах со штриховой линией.

Лаборатория условной вероятности

Таблица частот и условная доля

Условие сужает группу: мы смотрим не на всех, а только на один столбец таблицы. Меняй частоты и следи, как расходятся доли.

n = 200

Домашняя работаДва станкаКоты и собаки

На складе 200 деталей: часть сделал станок №1, остальные — станок №2. Контролёр отметил, какие детали оказались бракованными.

станок №1 и брак

станок №1, но годная

станок №2, но брак

станок №2 и годная

Каждый объект попадает ровно в одну клетку, поэтому четыре числа в сумме дают всю группу: 200 деталей.

Таблица частот: 200 деталей

	брак	годная	Всего
станок №1	6	114	120
станок №2	4	76	80
Всего	10	190	200

Итоги строк и столбцов — это частоты событий по отдельности, а четыре внутренние клетки — частоты пересечений.

P

P(брак) = 1/20 ≈ 0,05; P(брак | станок №1) = 6 / 120 = 1/20 ≈ 0,05; P(станок №1 | брак) = 6 / 10 = 3/5.P(станок №1) = 3/5, P(оба сразу) = 3/100, произведение P(A)·P(B) = 3/5·1/20. Пересечение совпало с произведением, значит события независимы: условная доля равна безусловной. Для сравнения: P(станок №1 | годная) = 3/5.

↺ Вернуть пример

Обе цветные части заканчиваются ровно на штриховой линии. Это и означает: условие ничего не изменило. Переключись на «Коты и собаки» — там столбцы разойдутся, и лаборатория сообщит, сколько объектов стояло бы в первой клетке при независимости.

Определение

Считаем по таблице:

$P(\text{брак})=\frac{10}{200}=\frac{1}{20},\qquad P(\text{брак}\mid\text{станок №1})=\frac{6}{120}=\frac{1}{20},\qquad P(\text{брак}\mid\text{станок №2})=\frac{4}{80}=\frac{1}{20}.$

Условие не изменило вероятность. Такие события называют независимыми.

∴ Независимость событий

События $A$ и $B$ независимы, если

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B).$

Если $P(B)>0$, это равносильно $P(A\mid B)=P(A)$, а если ещё и $P(A)>0$ — то и $P(B\mid A)=P(B)$.

Почему определение записывают через произведение, а не через условную вероятность? Потому что произведение симметрично и не требует оговорки $P(B)>0$: равенство имеет смысл при любых вероятностях.

Проверим станки: $P(\text{станок №1})\cdot P(\text{брак})=\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{1}{20}=\dfrac{3}{100}$, а $P(\text{станок №1}\cap\text{брак})=\dfrac{6}{200}=\dfrac{3}{100}$. Совпало — события независимы.

✦ Независимость передаётся противоположному событию

Если $A$ и $B$ независимы, то независимы и $A$ с $\bar B$:

$P(A\cap\bar B)=P(A)-P(A\cap B)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)\bigl(1-P(B)\bigr)=P(A)\,P(\bar B).$

Проверь на таблице: $P(\text{станок №1}\cap\text{годная})=\dfrac{114}{200}=\dfrac{57}{100}$ и $\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{19}{20}=\dfrac{57}{100}$.

Серия независимых испытаний

Если каждое испытание не влияет на остальные, вероятности вдоль пути просто перемножаются:

$P(A_1\cap A_2\cap\ldots\cap A_n)=P(A_1)\,P(A_2)\cdots P(A_n).$

Именно на этом равенстве стоит схема Бернулли: формула $P_n(k)=C_n^k p^k q^{\,n-k}$ верна только для независимых испытаний с одинаковой вероятностью успеха.

Три выстрела и два прибораРазбираем вместе

Стрелок. Вероятность попадания при одном выстреле $0{,}8$, выстрелы независимы, их три.

Все три попадания: $0{,}8^3=0{,}512$.

Хотя бы одно попадание удобно считать через противоположное событие «ни одного»:

$1-0{,}2^3=1-0{,}008=0{,}992.$

Два прибора. Работают независимо с надёжностью $0{,}9$ и $0{,}8$.

Оба работают: $0{,}9\cdot0{,}8=0{,}72$. Хотя бы один: $1-0{,}1\cdot0{,}2=1-0{,}02=0{,}98$.

Обрати внимание: «хотя бы один» почти всегда считают через дополнение — так короче и безопаснее, чем перебирать случаи.

С возвращением и без возвращения

Один и тот же мешок даёт независимые или зависимые шаги в зависимости от того, возвращаем ли мы шар.

Лаборатория дерева испытаний

Многошаговый опыт и правило умножения

В мешке лежат красные (К) и синие (С) шары. Шары вынимают по одному; режим определяет, возвращается ли шар обратно.

4 пути

Мешок с шарамиСерия выстрелов

Красных шаров 3От 1 до 5; стрелки клавиатуры меняют число на 1.

Синих шаров 2Всего в мешке 5 шаров.

Извлечений 2Каждый новый шаг ветвит дерево дальше; сейчас у него 4 пути.

Без возвращенияС возвращением

все 2 шара красныехотя бы один красный шарровно один красный шарни одного красного шара

Пути дерева: вероятность пути — произведение вероятностей его рёбер

Путь	Произведение по рёбрам	Вероятность	Событие
КК	3/5 · 1/2	3/10	✓
КС	3/5 · 1/2	3/10	—
СК	2/5 · 3/4	3/10	—
СС	2/5 · 1/4	1/10	—

·

P(все 2 шара красные) = 3/10 = 3/10.Сумма вероятностей всех 4 путей равна 1 — дерево полное, ни один исход не потерян. Благоприятные пути отмечены: вероятность события — сумма вероятностей его путей.

↺ Вернуть пример

Переключи режим на «с возвращением» и сравни числа на рёбрах второго уровня. Без возвращения:

$P(\text{второй красный}\mid\text{первый красный})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\ne\frac{3}{5}=P(\text{второй красный}),$

шаги зависимы. С возвращением состав мешка восстанавливается, и обе вероятности равны $\frac{3}{5}$ — шаги независимы.

Проверка понимания

События A и B несовместны, P(A) = 0,3 и P(B) = 0,4. Независимы ли они?

• А. Да: раз они не пересекаются, то и не влияют друг на друга
• Б. Нет: P(A и B) = 0, а P(A)·P(B) = 0,12
• В. Данных не хватает

Типичная ошибка

! Несовместные — не значит независимые

Эти два слова звучат похоже, но означают противоположное.

Несовместные: $A\cap B=\varnothing$, то есть $P(A\cap B)=0$. Одно исключает другое.

Независимые: $P(A\cap B)=P(A)\,P(B)$. Одно ничего не сообщает о другом.

Если $P(A)>0$ и $P(B)>0$, несовместные события обязательно зависимы: слева ноль, справа положительное число. Знание «выпал орёл» полностью исключает «выпала решка» — куда уж сильнее зависимость.

Вторая ловушка — решать вопрос о независимости «по здравому смыслу». Кажется, что цвет глаз и любимый предмет независимы, а домашняя работа и оценка — нет. Но независимость определяется числами: пока равенство не проверено, ответа нет. В таблице «коты и собаки» из лаборатории житейское ожидание «одно другому не мешает» не выдерживает проверки.

Практика

1. События $A$ и $B$ независимы, $P(A)=0{,}4$, $P(B)=0{,}5$. Найди $P(A\cap B)$ и $P(A\cup B)$.
2. Монету бросают четыре раза. Какова вероятность выпадения четырёх орлов?
3. Стрелок попадает с вероятностью $0{,}8$ и делает три независимых выстрела. Найди вероятность трёх попаданий и вероятность хотя бы одного попадания.
4. Два прибора работают независимо с надёжностями $0{,}9$ и $0{,}8$. Найди вероятность того, что работают оба, и вероятность того, что работает хотя бы один.
5. Опрос $250$ школьников: у $100$ есть кот, у $120$ — собака, у $60$ есть оба животных. Независимы ли события «есть кот» и «есть собака»?
6. События $A$ и $B$ несовместны, $P(A)=0{,}3$, $P(B)=0{,}5$. Независимы ли они? Ответ обоснуй вычислением.
7. Известно, что $P(A\mid B)=P(A)$ и обе вероятности положительны. Чему равно $P(B\mid A)$?
8. Из колоды в $36$ карт вынимают одну. Независимы ли события «вынут туз» и «вынута карта пиковой масти»?
9. В мешке $3$ красных и $2$ синих шара, вынимают два шара. Найди вероятность двух красных без возвращения и с возвращением.
10. При каких значениях $P(A)$ событие $A$ независимо само с собой?

Ответы и пояснения

1. $P(A\cap B)=0{,}4\cdot0{,}5=0{,}2$; $P(A\cup B)=0{,}4+0{,}5-0{,}2=0{,}7$.
2. $\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16}=0{,}0625$.
3. $0{,}8^3=0{,}512$; $1-0{,}2^3=0{,}992$.
4. $0{,}9\cdot0{,}8=0{,}72$; $1-0{,}1\cdot0{,}2=0{,}98$.
5. $P(\text{кот})=\frac{100}{250}=\frac{2}{5}$, $P(\text{собака})=\frac{120}{250}=\frac{12}{25}$, произведение $\frac{24}{125}=0{,}192$. А $P(\text{оба})=\frac{60}{250}=\frac{6}{25}=0{,}24$. Числа не равны — события зависимы, причём связь положительная: у владельцев кота собака встречается чаще.
6. $P(A\cap B)=0$, а $P(A)P(B)=0{,}15$. Равенство нарушено, события зависимы.
7. $P(B\mid A)=P(B)$: независимость симметрична. Формально $P(A\cap B)=P(A\mid B)P(B)=P(A)P(B)$, отсюда $P(B\mid A)=\frac{P(A)P(B)}{P(A)}=P(B)$.
8. $P(\text{туз})=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$, $P(\text{пики})=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$, произведение $\frac{1}{36}$. Пиковый туз ровно один, поэтому $P(\text{туз пик})=\frac{1}{36}$. События независимы.
9. Без возвращения $\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}=\frac{3}{10}=0{,}3$; с возвращением $\frac{3}{5}\cdot\frac{3}{5}=\frac{9}{25}=0{,}36$.
10. Нужно $P(A)=P(A)^2$, то есть $P(A)=0$ или $P(A)=1$. Только невозможное и достоверное события независимы сами с собой — и это хорошее напоминание, что независимость определяется формулой, а не словами.

Итог

• Независимость — это равенство $P(A\cap B)=P(A)P(B)$, а не житейское ощущение.
• При $P(B)>0$ независимость равносильна $P(A\mid B)=P(A)$: условие ничего не меняет.
• Несовместные события с положительными вероятностями всегда зависимы.
• В сериях независимых испытаний вероятности перемножаются, а «хотя бы один» считается через противоположное событие.

Теперь у нас есть обе половины инструмента: условная вероятность и правило умножения. Из них собирается способ разбирать сложные опыты по гипотезам — и разворачивать условие в обратную сторону. Это следующий урок.

← Условная вероятность · Дальше: полная вероятность и формула Байеса →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным