4.2 Признаки равенства треугольников

7 класс · Геометрия◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: смежные и вертикальные углы, элементы треугольника

Деталь сломалась, и нужно изготовить точно такую же. Сколько размеров придётся передать на завод? У треугольной пластины шесть элементов: три стороны и три угла. Неужели нужно измерять все шесть?

◎ После урока ты сможешь

• формулировать, что значит «треугольники равны»
• применять три признака равенства треугольников
• отличать набор данных, задающий треугольник однозначно, от недостаточного
• записывать доказательство равенства треугольников по шагам

Прогноз до вычислений

Сколько элементов треугольника, по-твоему, достаточно задать, чтобы форма и размер определились однозначно: один, два, три или все шесть? Запиши свою версию.

Что значит «равны»

∴ Определение

Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением. При этом совмещаются вершина с вершиной, сторона со стороной и угол с углом — такие элементы называют соответственными.

Отсюда сразу следует: у равных треугольников все соответственные стороны равны и все соответственные углы равны. Всего шесть равенств.

Запись $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ читается по порядку букв: $A$ соответствует $A_1$, $B$ — $B_1$, $C$ — $C_1$. Значит $AB = A_1B_1$, $\angle B = \angle B_1$ и так далее. Порядок букв — часть утверждения, менять его нельзя.

Управляемый эксперимент

Зададим только три величины: сторону $AB$ и два угла, прилежащих к ней. Второй треугольник построен по тем же трём числам, но повёрнут. Нажми «Совместить наложением».

Лаборатория доказательств

Треугольник, у которого нет свободы

Каждая длина и каждый угол на чертеже вычислены из введённых данных, а не подогнаны на глаз.

исследование

Треугольник по даннымРавнобедренныйСумма углов и внешний угол

Сторона AB6 см

−+

От 3 до 12 см

Угол A50°

−+

От 20° до 120°, сумма двух углов не больше 150°

Угол B70°

−+

От 20° до 120°, сумма двух углов не больше 150°

Копия построена по тем же данным и повёрнутаСовместить наложением

≅

Сторона 6 см и углы 50° и 70° задают ровно один треугольник.Обе картинки построены по одним и тем же данным, поэтому BC = B₁C₁ = 5,3 см, CA = C₁A₁ = 6,5 см. Нажми «Совместить», чтобы проверить наложением.

↺ Вернуть пример

Меняй данные как угодно: копия всегда совпадает с оригиналом. Третья вершина не имеет выбора — её положение определяется пересечением двух лучей, а два луча пересекаются не более чем в одной точке.

Три величины — не любые три. Дальше три набора, которые действительно работают.

Три признака

∴ Признак I — по двум сторонам и углу между ними (СУС)

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Пусть $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$, $\angle A = \angle A_1$. Наложим $\triangle A_1B_1C_1$ на $\triangle ABC$ так, чтобы вершина $A_1$ совпала с $A$, луч $A_1B_1$ пошёл по лучу $AB$, а точка $C_1$ оказалась по ту же сторону от прямой $AB$, что и $C$. Так как $\angle A_1 = \angle A$, луч $A_1C_1$ пойдёт по лучу $AC$. Так как $A_1B_1 = AB$, точка $B_1$ совпадёт с $B$; так как $A_1C_1 = AC$, точка $C_1$ совпадёт с $C$. Все три вершины совпали, значит треугольники совместились. $\blacksquare$

∴ Признак II — по стороне и двум прилежащим углам (УСУ)

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Пусть $AB = A_1B_1$, $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$. Наложим $\triangle A_1B_1C_1$ так, чтобы $A_1$ совпала с $A$, а луч $A_1B_1$ — с лучом $AB$; тогда из $A_1B_1 = AB$ следует, что $B_1$ совпадёт с $B$. Расположим $C_1$ по ту же сторону от $AB$, что и $C$. Из равенства углов при $A$ луч $A_1C_1$ совпадёт с лучом $AC$, а из равенства углов при $B$ луч $B_1C_1$ совпадёт с лучом $BC$. Точка $C_1$ лежит на обоих лучах, и точка $C$ тоже; но два различных луча имеют не более одной общей точки, поэтому $C_1$ совпадает с $C$. $\blacksquare$

∴ Признак III — по трём сторонам (ССС)

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство третьего признака чуть длиннее: оно опирается на свойство равнобедренного треугольника, которое мы получим в следующем уроке. Там мы к нему и вернёмся — обещание, данное в доказательстве, обязательно нужно выполнять.

Разбираем чертёж

Признак сам по себе бесполезен, если из условия не видно, какие элементы равны. Обычно недостающее равенство берут из предыдущего урока.

Равенство, спрятанное в вертикальных углахРазбираем вместе

Дано: отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$, причём $AO = OB$ и $CO = OD$.

Доказать: $AC = BD$.

Доказательство. Рассмотрим треугольники $AOC$ и $BOD$.

1. $AO = OB$ — по условию.
2. $CO = OD$ — по условию.
3. $\angle AOC = \angle BOD$ — как вертикальные (теорема 2 из урока 4.1).

Угол из пункта 3 заключён именно между сторонами из пунктов 1 и 2, поэтому по признаку I

$\triangle AOC = \triangle BOD.$

У равных треугольников соответственные стороны равны, а стороне $AC$ соответствует сторона $BD$. Значит $AC = BD$. $\blacksquare$

Когда трёх равенств не хватает

Не всякая тройка данных задаёт треугольник. Два опасных набора стоит запомнить отдельно.

! Две ловушки трёх равенств

Три угла — не признак. У треугольника со сторонами $3$, $3$, $3$ и у треугольника со сторонами $10$, $10$, $10$ все углы по $60°$, но равными они не являются. Углы задают форму, но не размер.

Две стороны и угол НЕ между ними — не признак. Возьми $AB = 6$, а угол при $A$ равным $30°$. Отрезок длиной $4$, отложенный из точки $B$, может пересечь второй луч в двух разных точках — получатся два неравных треугольника с одинаковыми данными. Поэтому в признаке I слова «угол между ними» убирать нельзя.

Проверка понимания

В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ известно: AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠B = ∠B₁. Можно ли утверждать, что треугольники равны?

• А. Да, по признаку I (две стороны и угол между ними)
• Б. Да, по признаку II (сторона и два прилежащих угла)
• В. Нет, данных недостаточно

Практика

1. В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$: $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$, $\angle A = \angle A_1$. Равны ли треугольники и по какому признаку?
2. В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$: $AB = A_1B_1$, $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$. Равны ли треугольники и по какому признаку?
3. В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$: $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $CA = C_1A_1$. Равны ли треугольники и по какому признаку?
4. В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$: $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$, $\angle C = \angle C_1$. Достаточно ли этого?
5. Все три угла одного треугольника равны трём углам другого. Следует ли отсюда равенство треугольников?
6. Известно, что $\triangle ABC = \triangle MNK$. Найди $MN$ и $\angle K$, если $AB = 7$ см и $\angle C = 40°$.
7. Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ — середине каждого из них. Докажи, что $AD = BC$.
8. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = AC$, а $AD$ — биссектриса угла $A$, причём точка $D$ лежит на $BC$. Докажи, что $\triangle ABD = \triangle ACD$.
9. В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$: $\angle A = \angle A_1 = 90°$, $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$. Равны ли треугольники?
10. Точка $O$ — середина отрезка $AB$. По разные стороны от прямой $AB$ отложены равные отрезки $AC$ и $BD$ так, что $\angle OAC = \angle OBD$. Докажи, что $OC = OD$.

Ответы и пояснения

1. Да, по признаку I: угол $A$ заключён между сторонами $AB$ и $AC$.
2. Да, по признаку II: сторона $AB$ и прилежащие к ней углы $A$ и $B$.
3. Да, по признаку III.
4. Нет. Угол $C$ лежит против стороны $AB$, а не между данными сторонами; это набор «две стороны и угол не между ними».
5. Нет. Пример: равносторонние треугольники со сторонами $2$ и $5$ имеют по три угла $60°$, но не равны.
6. $MN = 7$ см (сторона $AB$ соответствует $MN$), $\angle K = 40°$ (угол $C$ соответствует углу $K$).
7. В треугольниках $AOD$ и $BOC$: $AO = OB$ и $DO = OC$ по условию, $\angle AOD = \angle BOC$ как вертикальные. По признаку I $\triangle AOD = \triangle BOC$, значит $AD = BC$.
8. В треугольниках $ABD$ и $ACD$: $AB = AC$ по условию, $\angle BAD = \angle CAD$, так как $AD$ — биссектриса, сторона $AD$ общая. По признаку I треугольники равны.
9. Да, по признаку I: прямой угол заключён между сторонами $AB$ и $AC$. Отдельный признак для прямоугольных треугольников тут не нужен.
10. В треугольниках $AOC$ и $BOD$: $AC = BD$ и $\angle OAC = \angle OBD$ по условию, $AO = OB$, так как $O$ — середина. По признаку I $\triangle AOC = \triangle BOD$, значит $OC = OD$.

Итог

• Равные треугольники — те, что совмещаются наложением; у них равны все шесть соответственных элементов.
• Признак I: две стороны и угол между ними. Признак II: сторона и два прилежащих к ней угла. Признак III: три стороны.
• Три угла или «две стороны и угол не между ними» треугольник не определяют.
• В доказательстве недостающее равенство часто даёт теорема о вертикальных углах.

В следующем уроке одно-единственное равенство сторон запустит цепочку из трёх свойств — и заодно позволит доказать третий признак.

← Определения и доказательства · Дальше: равнобедренный треугольник →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным