2.1 Единичная окружность и радианы

10 класс · Алгебра◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: тригонометрия острого угла, координатная плоскость, длина окружности

Колесо обозрения делает полтора оборота. На какой угол повернулась кабинка — на $540°$? А если оно крутится назад, угол будет отрицательным?

Определение из 8 класса тут бессильно: $\sin \alpha$ было отношением катета к гипотенузе, а прямоугольного треугольника с углом $540°$ не бывает.

Один раз это определение уже расширяли — в 9 классе, в уроке о теореме косинусов: там синус и косинус углов от $0°$ до $180°$ объявили координатами точки на верхней половине окружности радиуса $1$. Сегодня мы делаем последний шаг той же цепочки: замыкаем полуокружность в полную окружность и разрешаем любой угол. Определение снова расширяется, а не заменяется — оба прежних обязаны остаться частными случаями.

◎ После урока ты сможешь

• находить точку единичной окружности по углу поворота, в том числе отрицательному и большему оборота
• определять синус, косинус и тангенс как координаты этой точки и их отношение
• переводить градусы в радианы и обратно
• приводить любой угол к промежутку от 0° до 360° и определять знаки функций по четверти

Прогноз до вычислений

Точка $P_0(1;0)$ поворачивается вокруг начала координат против часовой стрелки на $150°$.

Ответь до чертежа: её ордината будет положительной или отрицательной? А абсцисса? И будет ли она по модулю такой же, как у точки поворота на $30°$?

Запиши свой прогноз — потом проверим.

Управляемый эксперимент

Меняй угол и следи за координатами точки. Обрати внимание на четыре момента: когда координата меняет знак, когда обращается в ноль, что происходит при переходе через $360°$ и что общего у углов $30°$ и $150°$.

Лаборатория единичной окружности

Угол поворота и координаты точки

Координаты вычисляются по углу, а не подгоняются под картинку: для табличных углов они точные.

исследование

Точка поворотаПриведение к обороту

Угол поворота210°

−+

От -900° до 900°, шаг 15°; стрелки ↑ и ↓ тоже работают.

↺

210° → 210° = 7π/6; 3 четвертьcos = −√3/2 ≈ −0,866; sin = −1/2; tg = √3/3 ≈ 0,5774. Опорный острый угол равен 30°, полных оборотов нет.

↺ Вернуть пример

Точка поворота

∴ Единичная окружность

Единичная окружность — окружность радиуса $1$ с центром в начале координат. Её уравнение:

$x^2+y^2=1.$

Поворот на угол $\alpha$ переводит точку $P_0(1;0)$ в некоторую точку $P_\alpha$ этой окружности. Положительным считается поворот против часовой стрелки, отрицательным — по часовой.

Каждому числу $\alpha$ отвечает ровно одна точка $P_\alpha$. Это и есть ключ: координаты точки можно объявить значениями функций.

∴ Определение

Пусть точка $P_\alpha$ имеет координаты $(x;y)$. Тогда

$\cos \alpha = x, \qquad \sin \alpha = y, \qquad \operatorname{tg} \alpha = \frac{y}{x}=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \;\; (\cos \alpha \ne 0).$

Абсцисса — косинус, ордината — синус. Тангенс определён везде, кроме углов, где точка попадает на ось ординат.

Из уравнения окружности сразу следуют два факта.

• $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ — это буквально $x^2+y^2=1$, переписанное новыми буквами.
• $-1\le \sin\alpha\le 1$ и $-1\le\cos\alpha\le 1$: координата точки окружности радиуса $1$ не может выйти за эти границы. Поэтому запись $\sin\alpha=1{,}2$ невозможна ни при каком $\alpha$.

Для острого угла новое определение совпадает со старым. Опусти из $P_\alpha$ перпендикуляр на ось абсцисс: получится прямоугольный треугольник с гипотенузой $1$, противолежащим катетом $y$ и прилежащим $x$. Отношение противолежащего катета к гипотенузе равно $y:1=y$. То же число.

А для углов от $0°$ до $180°$ здесь дословно повторено определение 9 класса: верхняя полуокружность — часть этой же окружности, и координаты точки на ней те же самые. Так что ни $\sin 150°$, ни $\cos 120°$ не переопределены — просто к прежним значениям добавились новые. Одно понятие, три круга применимости.

Радианная мера

Градус — договорённость: кто-то однажды разделил оборот на $360$ частей. Для функции числа удобнее мера, привязанная к самой окружности.

∴ Радиан

Один радиан — центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу.

Вся окружность имеет длину $2\pi R$, то есть содержит $2\pi$ радиусов. Значит,

$360°=2\pi \text{ рад}, \qquad 180°=\pi \text{ рад}, \qquad 1°=\frac{\pi}{180}\text{ рад}.$

Перевод в одну сторону: $\alpha° = \dfrac{\pi\alpha}{180}$ рад. В другую: $1$ рад $=\dfrac{180°}{\pi}\approx 57{,}3°$.

Слово «радиан» обычно опускают: пишут $\sin\dfrac{\pi}{6}$, а не $\sin\dfrac{\pi}{6}$ рад. Зато знак градуса не опускают никогда — именно он и различает две меры.

Градусы	$0°$	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$	$180°$	$270°$	$360°$
Радианы	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\pi$	$\dfrac{3\pi}{2}$	$2\pi$

Четверти и знаки

Оси делят окружность на четыре четверти. Знак координаты — это и есть знак функции.

Четверть	Углы	$\sin\alpha$	$\cos\alpha$	$\operatorname{tg}\alpha$
I	$0°$–$90°$	$+$	$+$	$+$
II	$90°$–$180°$	$+$	$-$	$-$
III	$180°$–$270°$	$-$	$-$	$+$
IV	$270°$–$360°$	$-$	$+$	$-$

Тангенс положителен там, где синус и косинус одного знака, — в I и III четвертях.

Табличные значения

Значения для $30°$, $45°$ и $60°$ уже знакомы. Для остальных четвертей их достаточно дополнить знаком: точка поворота на $150°$ симметрична точке поворота на $30°$ относительно оси ординат, поэтому ордината та же, а абсцисса меняет знак.

$\alpha$	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\pi$	$\dfrac{3\pi}{2}$
$\sin\alpha$	$0$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$0$	$-1$
$\cos\alpha$	$1$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$0$	$-1$	$0$
$\operatorname{tg}\alpha$	$0$	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	—	$0$	—

Прочерк означает, что тангенса нет: $\cos\dfrac{\pi}{2}=0$, делить нельзя.

Синус, косинус и тангенс угла 210°Разбираем вместе

Угол $210°=180°+30°$ лежит в III четверти, а его опорный острый угол равен $30°$.

В III четверти обе координаты отрицательны, поэтому

$\sin 210° = -\frac{1}{2}, \qquad \cos 210° = -\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Тангенс — их отношение:

$\operatorname{tg} 210° = \frac{-\tfrac{1}{2}}{-\tfrac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}.$

Проверка знаком: в III четверти тангенс обязан быть положительным. Сходится.

Приведение угла к одному обороту

Поворот на $360°$ возвращает точку на место. Значит, углы $\alpha$ и $\alpha+360°k$ при любом целом $k$ дают одну и ту же точку — и одинаковые значения всех трёх функций:

$\sin(\alpha+360°k)=\sin\alpha, \qquad \cos(\alpha+360°k)=\cos\alpha.$

В радианах то же самое: период сдвига равен $2\pi$.

Косинус угла 1110°Разбираем вместе

Разделим с остатком: $1110=360\cdot 3+30$. Три полных оборота ничего не меняют, поэтому

$\cos 1110° = \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}.$

Для отрицательного угла удобнее прибавлять обороты: $-390°+720°=330°$, значит $\cos(-390°)=\cos 330°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Проверь себя на лаборатории: введи угол больше оборота и посмотри, сколько оборотов она отбрасывает и в какой четверти оказывается точка.

Лаборатория единичной окружности

Угол поворота и координаты точки

Координаты вычисляются по углу, а не подгоняются под картинку: для табличных углов они точные.

задача

Точка поворотаПриведение к обороту

Угол поворота750°

−+

От -900° до 900°, шаг 15°; стрелки ↑ и ↓ тоже работают.

750° = 30° + 360°·2. Точка поворота у углов 750° и 30° одна и та же, поэтому синус, косинус и тангенс у них совпадают.

Номер четверти (0 — если точка на оси)

Проверить

?

Угол поворота равен 750°. В какой четверти окажется точка?Сначала отбрось полные обороты, потом сравни остаток с 90°, 180° и 270°. Если точка попала на ось, введи 0.

↺ Вернуть пример

! Где обычно теряют задачу

Путают радианы с градусами. $\sin 2$ и $\sin 2°$ — разные числа: $2$ рад $\approx 114{,}6°$, поэтому $\sin 2\approx 0{,}909$, а $\sin 2°\approx 0{,}035$. Если в записи нет знака градуса, аргумент измерен в радианах.

Пишут $\sin 150°=-\dfrac{1}{2}$. Знак берётся не от опорного угла, а от четверти: $150°$ лежит во II четверти, где ордината положительна. Верно $\sin 150°=\dfrac{1}{2}$.

Считают, что $\sin$ может быть любым. Значение синуса — ордината точки единичной окружности, поэтому $|\sin\alpha|\le 1$ всегда. Ответ $\sin\alpha=1{,}2$ означает ошибку раньше по цепочке.

Проверка понимания

Сколько радиан в угле 135°?

• А. 4π/3
• Б. 3π/4
• В. 3π/2

Практика

1. Переведи в радианы: $60°$, $150°$, $300°$.
2. Переведи в градусы: $\dfrac{\pi}{4}$, $\dfrac{7\pi}{6}$, $\dfrac{3\pi}{2}$.
3. В какой четверти лежит точка поворота на $200°$, на $-40°$, на $\dfrac{5\pi}{4}$?
4. Найди $\sin 150°$, $\cos 150°$, $\operatorname{tg} 150°$.
5. Найди $\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)$ и $\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)$.
6. Приведи $1470°$ к промежутку $[0°;360°)$ и найди синус этого угла.
7. Приведи $-390°$ к промежутку $[0°;360°)$ и найди косинус этого угла.
8. Найди координаты точки поворота на $\dfrac{3\pi}{4}$.
9. Найди $\operatorname{tg} 240°$.
10. Может ли выполняться равенство $\sin\alpha=1{,}2$? Ответ объясни.

Ответы и пояснения

1. $60°=\dfrac{\pi}{3}$; $150°=\dfrac{150\pi}{180}=\dfrac{5\pi}{6}$; $300°=\dfrac{300\pi}{180}=\dfrac{5\pi}{3}$.
2. $\dfrac{\pi}{4}=45°$; $\dfrac{7\pi}{6}=\dfrac{7\cdot 180°}{6}=210°$; $\dfrac{3\pi}{2}=270°$.
3. $200°$ — III четверть; $-40°$ равносилен $320°$ — IV четверть; $\dfrac{5\pi}{4}=225°$ — III четверть.
4. II четверть, опорный угол $30°$: $\sin 150°=\dfrac{1}{2}$, $\cos 150°=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\operatorname{tg} 150°=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
5. Поворот на $-30°$ даёт IV четверть: $\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{2}$, $\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
6. $1470=360\cdot 4+30$, значит угол равносилен $30°$ и $\sin 1470°=\dfrac{1}{2}$.
7. $-390°+720°=330°$, значит $\cos(-390°)=\cos 330°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
8. $\dfrac{3\pi}{4}=135°$, II четверть, опорный угол $45°$: точка $\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2};\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
9. $240°$ — III четверть, опорный угол $60°$: $\sin=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos=-\dfrac{1}{2}$, поэтому $\operatorname{tg} 240°=\sqrt{3}$.
10. Нет. Синус — ордината точки единичной окружности, а она не выходит за отрезок $[-1;1]$.

Итог

• Синус и косинус — координаты точки, в которую поворот на угол $\alpha$ переводит точку $(1;0)$: $\cos\alpha=x$, $\sin\alpha=y$.
• Уравнение окружности $x^2+y^2=1$ сразу даёт основное тождество и границы $[-1;1]$.
• Радиан привязан к самой окружности: $180°=\pi$ рад, и без знака градуса аргумент считается радианным.
• Углы, отличающиеся на целое число оборотов, дают одну точку — значит, одинаковые значения функций.

Раз значения повторяются через оборот, у графика обязана быть повторяющаяся форма. В следующем уроке мы развернём окружность в линию и увидим синусоиду.

← Вход в тему · Дальше: графики и периодичность →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным