4.3 Перпендикулярность

10 класс · Геометрия◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: параллельность в пространстве, теорема Пифагора, тангенс острого угла

Мачту ставят вертикально и проверяют это двумя растяжками в разных направлениях. Одной растяжки мало: мачта может быть перпендикулярна ей и всё равно заваливаться в другую сторону. Двух непараллельных — уже достаточно.

Это и есть признак перпендикулярности прямой и плоскости, только сказанный языком монтажников.

◎ После урока ты сможешь

• применять определение и признак перпендикулярности прямой и плоскости
• различать перпендикуляр, наклонную и проекцию наклонной
• связывать три длины теоремой Пифагора и сравнивать наклонные по проекциям
• применять теорему о трёх перпендикулярах в обе стороны

Прогноз до вычислений

Из точки $M$ к плоскости проведён перпендикуляр $MH=3$ и наклонная $MA$, проекция которой $HA=4$. Прикинь до вычисления: длина наклонной ближе к $5$, к $7$ или к $12$? А если проекцию увеличить вдвое — во сколько раз вырастет наклонная?

Лаборатория пространства

Перпендикуляр, наклонная и проекция

Из точки M к плоскости проведены перпендикуляр MH и наклонная MA. Отрезок HA — проекция наклонной.

MA² = MH² + HA²

Перпендикуляр и наклоннаяТри перпендикуляра

Перпендикуляр MH 3 см

Проекция HA 4 см

△

MA = 5 см, угол с плоскостью 36,9°.Треугольник MHA прямоугольный: MA² = 3² + 4² = 25. Расстояние от M до плоскости равно перпендикуляру MH = 3 см, а не наклонной.

↺ Вернуть пример

Второе число почти всегда переоценивают: при $HA=8$ наклонная равна $\sqrt{9+64}\approx8{,}54$, то есть выросла меньше чем в $2$ раза.

Прямая, перпендикулярная плоскости

∴ Определение, признак и две теоремы

Определение. Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой этой плоскости.

Признак. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Теорема 1. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и вторая перпендикулярна ей.

Теорема 2. Если две прямые перпендикулярны одной плоскости, то они параллельны.

Слово «пересекающимся» — главное в признаке. Прямая может быть перпендикулярна сотне параллельных между собой прямых плоскости и всё же не быть перпендикулярной плоскости: все эти прямые задают лишь одно направление.

В кубе ребро $AA_1$ перпендикулярно $AB$ и $AD$ — двум пересекающимся прямым нижней грани. Значит $AA_1\perp(ABCD)$, а отсюда $AA_1$ перпендикулярно и диагонали $AC$, и любой другой прямой этой грани.

Перпендикуляр, наклонная, проекция

∴ Три отрезка из одной точки

Пусть точка $M$ не лежит в плоскости $\alpha$.

• $MH$ — перпендикуляр, если $MH\perp\alpha$; точка $H$ — основание перпендикуляра.
• $MA$ — наклонная, если $A\in\alpha$ и $A\ne H$; точка $A$ — основание наклонной.
• $HA$ — проекция наклонной на плоскость.

Треугольник $MHA$ прямоугольный с прямым углом при $H$, поэтому

$MA^2=MH^2+HA^2.$

Следствия: перпендикуляр короче любой наклонной; равные наклонные имеют равные проекции, и наоборот; большей наклонной соответствует большая проекция.

Именно поэтому расстоянием от точки до плоскости называют длину перпендикуляра: это наименьшее из всех расстояний до точек плоскости.

! Наклонная — не расстояние

«От лампы до пола $2{,}5$ м» и «от лампы до угла пола $3{,}9$ м» — разные величины. Расстояние от точки до плоскости задаёт только перпендикуляр. Любая наклонная строго длиннее, и таких наклонных бесконечно много — по одной к каждой точке плоскости.

Теорема о трёх перпендикулярах

∴ ТТП и обратная теорема

Пусть $MH\perp\alpha$, $MA$ — наклонная, $HA$ — её проекция, а прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ и проходит через точку $A$.

Прямая теорема. Если $a\perp HA$, то $a\perp MA$.

Обратная теорема. Если $a\perp MA$, то $a\perp HA$.

Коротко: прямая плоскости перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна её проекции.

Переключи лабораторию в режим «Три перпендикуляра»: прямая $a$ остаётся перпендикулярной и проекции, и наклонной при любых длинах $MH$ и $HA$. Обрати внимание, что на рисунке эти прямые углы выглядят непрямыми — метки построены как проекции настоящих квадратиков.

Лаборатория пространства

Перпендикуляр, наклонная и проекция

Из точки M к плоскости проведены перпендикуляр MH и наклонная MA. Отрезок HA — проекция наклонной.

MA² = MH² + HA²

Перпендикуляр и наклоннаяТри перпендикуляра

Перпендикуляр MH 4 см

Проекция HA 5 см

⊥

Прямая a перпендикулярна и проекции HA, и наклонной MA.Она лежит в плоскости и перпендикулярна проекции, поэтому по теореме о трёх перпендикулярах она перпендикулярна наклонной. Проверь: меняй MH = 4 см и HA = 5 см — оба прямых угла сохраняются.

↺ Вернуть пример

Пирамида с квадратом в основанииРазбираем вместе

Пусть $ABCD$ — квадрат со стороной $4$, а $SA\perp(ABC)$ и $SA=4$.

Длины боковых рёбер. Так как $SA\perp(ABC)$, треугольники $SAB$, $SAD$ и $SAC$ прямоугольные с прямым углом при $A$:

$SB=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt2\approx5{,}66,\qquad SD=4\sqrt2\approx5{,}66.$

Диагональ квадрата $AC=4\sqrt2$, поэтому

$SC=\sqrt{4^2+(4\sqrt2)^2}=\sqrt{16+32}=4\sqrt3\approx6{,}93.$

Прямой угол по ТТП. Проекция наклонной $SB$ на плоскость основания — отрезок $AB$. В квадрате $BC\perp AB$, поэтому по теореме о трёх перпендикулярах $BC\perp SB$.

Точно так же $CD\perp SD$. Ни один из этих прямых углов не виден на чертеже, но оба доказаны.

Проверка понимания

Прямая p проходит через точку O плоскости α и перпендикулярна двум прямым этой плоскости. Когда отсюда следует, что p ⊥ α?

• А. Всегда
• Б. Если эти две прямые пересекаются
• В. Если эти две прямые перпендикулярны друг другу

Практика

1. Прямая $a$ перпендикулярна двум сторонам треугольника, лежащего в плоскости $\alpha$. Верно ли, что $a\perp\alpha$?
2. $MH\perp\alpha$, $MH=9$, $HA=12$. Найди наклонную $MA$.
3. $MH\perp\alpha$, $MH=8$, $MA=17$. Найди проекцию $HA$.
4. Из точки $M$ проведены наклонные $MA=MB=13$ и перпендикуляр $MH=5$. Найди $HA$ и $HB$.
5. Перпендикуляр равен $12$, две наклонные — $13$ и $15$. Найди их проекции и сравни.
6. В кубе с ребром $6$ докажи, что $AA_1\perp(ABCD)$, и найди угол между $AA_1$ и диагональю $AC$.
7. $ABCD$ — квадрат со стороной $4$, $SA\perp(ABC)$, $SA=4$. Найди $SB$, $SC$ и $SD$.
8. В том же теле докажи, что $BC\perp SB$ и $CD\perp SD$.
9. Точка удалена от плоскости на $8$, а наклонная из неё образует с плоскостью угол $30°$. Найди наклонную и её проекцию.
10. Перпендикуляр равен $5$ и проекция равна $5$. Найди длину наклонной и угол между наклонной и плоскостью.

Ответы и пояснения

1. Да: стороны треугольника — пересекающиеся прямые плоскости $\alpha$, значит выполнен признак.
2. $MA=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$.
3. $HA=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15$.
4. $HA=HB=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$. Равные наклонные имеют равные проекции.
5. $\sqrt{169-144}=5$ и $\sqrt{225-144}=9$. Большей наклонной соответствует большая проекция.
6. $AA_1\perp AB$ и $AA_1\perp AD$ — прямые пересекаются в точке $A$, значит $AA_1\perp(ABCD)$. Прямая $AC$ лежит в этой плоскости, поэтому угол равен $90°$.
7. $SB=SD=4\sqrt2\approx5{,}66$; $AC=4\sqrt2$, поэтому $SC=\sqrt{16+32}=4\sqrt3\approx6{,}93$.
8. Проекция $SB$ — отрезок $AB$, и $BC\perp AB$, значит $BC\perp SB$ по ТТП. Аналогично проекция $SD$ — это $AD$, и $CD\perp AD$, поэтому $CD\perp SD$.
9. Перпендикуляр лежит против угла $30°$: $\sin30°=\dfrac{8}{MA}$, откуда $MA=16$. Проекция равна $\sqrt{256-64}=\sqrt{192}=8\sqrt3\approx13{,}86$.
10. $MA=\sqrt{25+25}=5\sqrt2\approx7{,}07$; $\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{5}{5}=1$, значит угол равен $45°$.

Итог

• Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.
• Перпендикуляр, наклонная и проекция образуют прямоугольный треугольник: $MA^2=MH^2+HA^2$.
• Расстояние от точки до плоскости задаёт перпендикуляр; наклонная всегда длиннее.
• Теорема о трёх перпендикулярах переводит прямой угол с проекции на наклонную и обратно.

Осталось собрать все измерения вместе: какой отрезок называют расстоянием в каждом из случаев и как измеряют углы между прямой и плоскостью и между двумя плоскостями.

← Параллельность · Дальше: расстояния и углы →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным