1.5. Наибольший общий делитель

6 класс · Делимость◷ 35–40 минут◇ База + углублениеНужно знать: делители и разложение на простые множители

Для мастерской приготовили $84$ фиолетовых и $126$ оранжевых фишек. Нужно собрать как можно больше одинаковых комплектов, использовать все фишки и ничего не разрезать. Сколько комплектов получится?

◎ После урока ты сможешь

• понимать НОД как наибольший делитель двух чисел
• находить НОД по спискам делителей и разложениям на простые множители
• узнавать задачи на максимальное число одинаковых групп или наибольший размер части

Две задачи с одной парой чисел

Лаборатория НОД и НОК

Комплекты и совпадения циклов

Одни и те же числа показывают две разные задачи: разделить и синхронизировать.

две модели

Первое число 84От 2 до 150

Второе число 126От 2 до 150

Разделить поровну

НОД(84, 126) = 42

42

Получается 42 одинаковых комплектов: в каждом по 2 фиолетовых и 3 оранжевых фишек.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

Больше 42 одинаковых комплектов собрать нельзя.

Дождаться совпадения

НОК(84, 126) = 252

252

Первый цикл срабатывает каждые 84, второй — каждые 126. Их первая общая отметка — 252.

Шаг 84

1. 84
2. 168
3. 252

Шаг 126

1. 126
2. 252

На отметке 252 оба цикла звучат вместе.

↔

НОД отвечает про максимальное число групп, НОК — про первое общее кратное.Проверка связи: 42 · 252 = 10584, и 84 · 126 = 10584.

Сейчас сосредоточься на левой карточке «Разделить поровну». Правая карточка показывает другую задачу — совпадение циклов; к ней мы вернёмся в следующем уроке.

Если комплектов $k$, то и $84$, и $126$ должны делиться на $k$: в каждом комплекте окажется целое число фишек каждого цвета. Значит, допустимое число комплектов — общий делитель двух количеств. Нам нужен наибольший из них.

∴ Наибольший общий делитель

Общим делителем двух натуральных чисел называют число, которое делит каждое из них без остатка. Наибольший общий делитель, или НОД, — самый большой из общих делителей.

Запись $\operatorname{\text{НОД}}(a,b)=d$ означает: $d$ делит и $a$, и $b$, а общего делителя больше $d$ у этих чисел нет.

Для нашего сюжета

$\operatorname{\text{НОД}}(84,126)=42.$

Получится $42$ комплекта. В каждом будет $84:42=2$ фиолетовые и $126:42=3$ оранжевые фишки.

Способ 1. Выписать делители

Этот способ удобен для небольших чисел.

Найдём НОД чисел 18 и 24Разбираем вместе

Выпишем делители:

$18:\quad1,2,3,6,9,18,$

$24:\quad1,2,3,4,6,8,12,24.$

Общие делители — $1,2,3,6$. Наибольший из них равен $6$, поэтому

$\operatorname{\text{НОД}}(18,24)=6.$

Число $1$ — общий делитель любых натуральных чисел, поэтому НОД всегда существует. Полезные крайние случаи:

$\operatorname{\text{НОД}}(n,n)=n,\qquad \operatorname{\text{НОД}}(n,1)=1.$

Способ 2. Сравнить простые множители

Разложим числа из задачи:

$84=2^2\cdot3\cdot7,$

$126=2\cdot3^2\cdot7.$

Чтобы делитель был общим, в него можно взять только те простые множители, которые есть в обоих разложениях. Каждый общий множитель берём с наименьшим показателем степени:

$\operatorname{\text{НОД}}(84,126)=2^1\cdot3^1\cdot7^1=42.$

∴ Алгоритм по разложениям

1. Разложи оба числа на простые множители.
2. Выбери простые множители, общие для обоих разложений.
3. Возьми каждый из них в наименьшей встречающейся степени.
4. Перемножь выбранные множители.

Если у чисел нет общих простых множителей, их НОД равен $1$. Такие числа называют взаимно простыми. Например, $14=2\cdot7$ и $25=5^2$ взаимно просты, хотя каждое из них составное.

Проверка понимания

Чему равен НОД чисел 48 и 60?

• А. 6
• Б. 12
• В. 240

Как узнать задачу на НОД

Обычно в условии одновременно звучат три идеи:

• все исходные предметы или длины нужно использовать;
• группы, части или плитки должны быть одинаковыми;
• требуется наибольшее число групп либо наибольший размер одной части.

Плитка для прямоугольной площадкиРазбираем вместе

Площадка имеет размеры $168$ см на $252$ см. Какой наибольшей может быть сторона квадратной плитки, если плитки укладываются без обрезки?

Сторона плитки должна делить обе стороны площадки. Поэтому ищем НОД:

$168=2^3\cdot3\cdot7,\qquad252=2^2\cdot3^2\cdot7,$

$\operatorname{\text{НОД}}(168,252)=2^2\cdot3\cdot7=84.$

Подойдёт плитка со стороной $84$ см. Вдоль сторон разместятся $168:84=2$ и $252:84=3$ плитки, всего $6$ плиток.

НОД также помогает сокращать дроби. Чтобы сразу сократить дробь максимально, раздели числитель и знаменатель на их НОД:

$\frac{84}{126}=\frac{84:42}{126:42}=\frac23.$

! Ловушка: найти общий делитель, но забыть слово «наибольший»

Для чисел $48$ и $60$ число $6$ — общий делитель, но не НОД. После получения ответа проверь две вещи: он делит оба числа, и большего общего делителя нет. При разложении на простые множители последнее гарантирует выбор всех общих множителей в наименьших степенях.

Необязательное углубление: алгоритм Евклида

Для больших чисел удобно заменять пару чисел остатками. Общие делители $a$ и $b$ совпадают с общими делителями $b$ и остатка от деления $a$ на $b$.

Например,

$252=180\cdot1+72,$

$180=72\cdot2+36,$

$72=36\cdot2+0.$

Последний ненулевой остаток равен $36$, значит $\operatorname{\text{НОД}}(252,180)=36$. Этот способ называют алгоритмом Евклида.

Практика

Найди НОД

1. Выпиши общие делители чисел $18$ и $24$ и найди их НОД.
2. Найди $\operatorname{\text{НОД}}(30,45)$.
3. Найди $\operatorname{\text{НОД}}(32,48)$.
4. Найди НОД чисел $72$ и $90$ с помощью разложения на простые множители.

Переведи ситуацию на язык делителей

5. Из $84$ красных и $126$ синих бусин собирают наибольшее число одинаковых наборов без остатка. Сколько наборов получится и сколько бусин каждого цвета будет в одном?
6. Ленты длиной $96$ см и $144$ см нужно разрезать на равные куски наибольшей возможной длины. Какова длина куска? Сколько кусков получится из каждой ленты?
7. Прямоугольник $120\times168$ см покрывают одинаковыми квадратными плитками наибольшего размера. Найди сторону плитки и число плиток вдоль каждой стороны.
8. Сократи дробь $\frac{150}{210}$, разделив числитель и знаменатель на их НОД.

Исследуй

9. Взаимно просты ли числа $14$ и $25$? Обязательно ли взаимно простые числа сами должны быть простыми?
10. Найди $\operatorname{\text{НОД}}(180,252)$ алгоритмом Евклида.

Ответы и объяснения

1. Общие делители: $1,2,3,6$; НОД равен $6$.
2. $30=2\cdot3\cdot5$, $45=3^2\cdot5$, поэтому НОД равен $3\cdot5=15$.
3. $32=2^5$, $48=2^4\cdot3$, поэтому НОД равен $2^4=16$.
4. $72=2^3\cdot3^2$, $90=2\cdot3^2\cdot5$, поэтому НОД равен $2\cdot3^2=18$.
5. $\operatorname{\text{НОД}}(84,126)=42$. Получится $42$ набора, в каждом по $2$ красные и $3$ синие бусины.
6. $\operatorname{\text{НОД}}(96,144)=48$. Длина куска $48$ см; получится $2$ куска из первой ленты и $3$ — из второй.
7. $\operatorname{\text{НОД}}(120,168)=24$. Сторона плитки $24$ см; вдоль сторон будет $120:24=5$ и $168:24=7$ плиток.
8. $\operatorname{\text{НОД}}(150,210)=30$, поэтому $\frac{150}{210}=\frac{5}{7}$.
9. Да: их единственный общий натуральный делитель — $1$. Нет, сами числа могут быть составными, как $14$ и $25$.
10. $252=180\cdot1+72$, $180=72\cdot2+36$, $72=36\cdot2+0$. Последний ненулевой остаток — $36$, значит НОД равен $36$.

Мостик к следующему уроку

НОД отвечает на вопрос: «на какое наибольшее число одинаковых групп можно разделить оба количества?» или «каков наибольший общий размер части?» Но иногда два события повторяются с разными периодами и нужно узнать, когда они впервые совпадут. Для шагов $6$ и $8$ такой общей отметкой станет $24$. Это уже задача на наименьшее общее кратное.

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным