6.4 Рассеивание данных

8 класс · Вероятность◷ 50–60 минут◇ БазаНужно знать: среднее арифметическое, медиана, действия с десятичными дробями

Двух стрелков отбирают в команду. Каждый сделал пять выстрелов, очки записали:

• Антон: $6$, $7$, $8$, $9$, $10$;
• Борис: $4$, $6$, $8$, $10$, $12$.

Среднее у обоих равно $8$. Тренер говорит: «Показатели одинаковые». Ты видишь, что это не так — но чем это доказать?

Вопрос урока: каким числом измерить разброс данных, если среднее у рядов совпадает?

◎ После урока ты сможешь

• находить размах ряда и понимать, что он видит только края
• вычислять отклонения от среднего и объяснять, почему их сумма равна нулю
• вычислять дисперсию и сравнивать по ней рассеивание двух рядов
• предсказывать, как изменится разброс при сдвиге и растяжении данных

Прогноз до вычислений

1. У кого из стрелков результаты «кучнее» — у Антона или у Бориса?
2. Во сколько раз, по-твоему, разброс Бориса больше?
3. Могут ли два ряда иметь одинаковое среднее и одинаковый размах, но разный разброс?

Размах: самая быстрая мерка

Размах ряда — знакомая по 7 классу мерка (среднее и медиана) — разность наибольшего и наименьшего значений:

$R=x_{\max}-x_{\min}.$

У Антона $R=10-6=4$, у Бориса $R=12-4=8$. Разброс Бориса вдвое шире — уже кое-что.

Но у размаха есть слабое место: он смотрит только на два крайних значения и ничего не знает об остальных. Один-единственный выброс растягивает его как угодно.

Лаборатория данных

Среднее, медиана и размах

Девять участников уже собрали кубик. Время десятого задаёшь ты. Проверь, какая характеристика убегает вслед за одним значением, а какая остаётся на месте.

n = 10

Сборка кубикаСбор на подарок

Десять результатов клуба спидкубинга, секунды

Время десятого участника40 сОт 25 до 300 с; стрелки клавиатуры двигают ползунок на 1.

Обычное значение: 40 сВыброс: 300 с

Масштаб оси один для всех точек: расстояние на рисунке пропорционально разности значений.

Показать центр

Среднее

?

Сумма всех значений, делённая на их количество: слагаемых ровно 10.

Медиана

?

Середина упорядоченного ряда; при чётном объёме — среднее двух серединных значений.

Размах

12

Разность наибольшего и наименьшего: 42 − 30.

?

Сначала оцени центр на глаз, потом открой ответ.Точки уже нарисованы: прикинь, где окажется середина ряда, а где — среднее.

↺ Вернуть пример

Подвигай ползунок: одно значение улетает вправо — и размах прыгает, хотя девять остальных результатов остались на месте. Нужна мерка, которая учитывает каждое значение.

Отклонения от среднего

∴ Отклонение и его свойство

Отклонение значения от среднего — это разность

$d_i=x_i-\bar{x}.$

Отклонение положительно у значений выше среднего и отрицательно у значений ниже.

Сумма всех отклонений ряда всегда равна нулю:

$\sum d_i=\sum x_i-n\bar{x}=n\bar{x}-n\bar{x}=0.$

Поэтому «средним отклонением» разброс измерить не получится: оно равно нулю у любого ряда, хоть у кучного, хоть у разбросанного.

Ноль в сумме — не беда, а подсказка: минусы гасят плюсы. Значит, знак нужно убрать. Школьная статистика убирает его возведением в квадрат.

Дисперсия

∴ Дисперсия — среднее квадратов отклонений

Дисперсия ряда $x_1,\;x_2,\;\ldots,\;x_n$ со средним $\bar{x}$ — это число

$S^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\ldots+(x_n-\bar{x})^2}{n}.$

Свойства, которые стоит помнить:

• $S^2\ge0$ всегда, потому что это среднее квадратов;
• $S^2=0$ тогда и только тогда, когда все значения ряда равны;
• чем сильнее данные рассеяны вокруг среднего, тем больше дисперсия;
• единица дисперсии — квадрат единицы данных (очки в квадрате, минуты в квадрате), поэтому дисперсию используют для сравнения рядов, а не как «типичное отклонение».

У этой мерки в 11 классе появится близнец: дисперсия $D(X)$ случайной величины устроена ровно так же, только квадраты отклонений усредняют не по числу наблюдений, а по вероятностям.

Два стрелка: считаем по таблицеРазбираем вместе

Порядок действий один и тот же: среднее — отклонения — квадраты — среднее квадратов.

Антон: $6$, $7$, $8$, $9$, $10$. Среднее $\bar{x}=\frac{40}{5}=8$.

$x_i$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$d_i=x_i-8$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$d_i^2$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$

Сумма отклонений: $-2-1+0+1+2=0$ — контроль пройден. Сумма квадратов: $4+1+0+1+4=10$, поэтому

$S^2_{\text{А}}=\frac{10}{5}=2.$

Борис: $4$, $6$, $8$, $10$, $12$. Среднее тоже $\frac{40}{5}=8$.

$x_i$	$4$	$6$	$8$	$10$	$12$
$d_i=x_i-8$	$-4$	$-2$	$0$	$2$	$4$
$d_i^2$	$16$	$4$	$0$	$4$	$16$

Сумма квадратов: $16+4+0+4+16=40$, значит

$S^2_{\text{Б}}=\frac{40}{5}=8.$

Средние равны, а дисперсии отличаются в четыре раза. Это не случайность: все отклонения Бориса ровно вдвое больше, а квадрат двойки — четыре.

Вывод для тренера: у стрелков одинаковый средний результат, но Антон стабильнее.

Когда размах бессилен

Возьмём ещё два ряда — результаты Веры и Гали:

• Вера: $5$, $8$, $8$, $8$, $11$;
• Галя: $5$, $5$, $8$, $11$, $11$.

Средние равны $8$, размахи равны $11-5=6$. По этим двум числам ряды неразличимы. Считаем дисперсии.

Ряд	Отклонения	Квадраты	Сумма	$S^2$
Вера	$-3;\;0;\;0;\;0;\;3$	$9;\;0;\;0;\;0;\;9$	$18$	$18:5=3{,}6$
Галя	$-3;\;-3;\;0;\;3;\;3$	$9;\;9;\;0;\;9;\;9$	$36$	$36:5=7{,}2$

У Веры данные жмутся к середине, у Гали — расходятся к краям. Дисперсия это видит, размах — нет. Именно поэтому дисперсию считают, даже когда размах уже известен.

Проверка понимания

Ряды 5, 8, 8, 8, 11 и 5, 5, 8, 11, 11 имеют одинаковое среднее 8 и одинаковый размах 6. Что можно сказать о разбросе?

• А. Разброс одинаковый: размахи совпали
• Б. Сравнить нельзя, нужны дополнительные данные
• В. Во втором ряду разброс больше: дисперсии равны 3,6 и 7,2

Что делает с разбросом сдвиг и растяжение

Если к каждому значению прибавить одно и то же число $c$, весь ряд просто переезжает по оси. Среднее увеличится на $c$, а все отклонения останутся прежними — значит, размах и дисперсия не изменятся.

Если каждое значение умножить на $k>0$, все отклонения умножатся на $k$: размах вырастет в $k$ раз, а дисперсия — в $k^2$ раз, ведь отклонения возводятся в квадрат.

! Сложили отклонения — получили ноль и растерялись

Первая ошибка: измерять разброс средним отклонением $\frac{\sum(x_i-\bar{x})}{n}$. Оно равно нулю у любого ряда — плюсы и минусы гасят друг друга. Именно поэтому отклонения возводят в квадрат.

Вторая ошибка: делить сумму квадратов не на то число. В школьной дисперсии делят на $n$ — на количество всех значений, а не на количество ненулевых отклонений.

Третья ошибка: сравнивать дисперсии рядов, измеренных в разных единицах. Дисперсия времени в минутах и дисперсия времени в секундах отличаются в $3600$ раз, хотя данные одни и те же.

Практика

1. Найди размах ряда $12$, $7$, $15$, $9$, $11$.
2. Найди среднее и все отклонения от среднего для ряда $3$, $5$, $4$, $8$. Проверь сумму отклонений.
3. Найди дисперсию ряда $3$, $5$, $4$, $8$.
4. Найди дисперсию ряда $6$, $7$, $8$, $9$, $10$.
5. Найди дисперсию ряда $4$, $6$, $8$, $10$, $12$ и сравни с предыдущим ответом.
6. Все пять значений ряда равны $7$. Найди размах и дисперсию.
7. К каждому значению ряда $6$, $7$, $8$, $9$, $10$ прибавили $3$. Как изменятся среднее, размах и дисперсия?
8. Каждое значение ряда $6$, $7$, $8$, $9$, $10$ умножили на $2$. Найди новое среднее, размах и дисперсию.
9. Сравни рассеивание рядов $5$, $8$, $8$, $8$, $11$ и $5$, $5$, $8$, $11$, $11$ по размаху и по дисперсии.
10. Найди дисперсию ряда $2$, $2$, $5$, $5$.
11. Может ли дисперсия быть отрицательной? А равной нулю?
12. Объясни, почему сумма отклонений от среднего всегда равна нулю.

Ответы и пояснения

1. $15-7=8$.
2. Среднее $\frac{3+5+4+8}{4}=\frac{20}{4}=5$; отклонения $-2$, $0$, $-1$, $3$; их сумма равна $0$.
3. Квадраты отклонений $4$, $0$, $1$, $9$; сумма $14$; дисперсия $\frac{14}{4}=3{,}5$.
4. Сумма квадратов $4+1+0+1+4=10$, дисперсия $\frac{10}{5}=2$.
5. Сумма квадратов $16+4+0+4+16=40$, дисперсия $\frac{40}{5}=8$ — вчетверо больше, потому что все отклонения вдвое больше.
6. Размах $0$, дисперсия $0$: все отклонения нулевые.
7. Среднее станет $11$, размах останется $4$, дисперсия останется $2$: сдвиг не меняет отклонений.
8. Ряд $12$, $14$, $16$, $18$, $20$: среднее $16$, размах $8$, дисперсия $8$ — размах вырос вдвое, дисперсия вчетверо.
9. Размахи одинаковы и равны $6$. Дисперсии: $\frac{18}{5}=3{,}6$ и $\frac{36}{5}=7{,}2$, поэтому второй ряд рассеян сильнее.
10. Среднее $\frac{14}{4}=3{,}5$; отклонения $-1{,}5$, $-1{,}5$, $1{,}5$, $1{,}5$; квадраты по $2{,}25$; дисперсия $\frac{9}{4}=2{,}25$.
11. Отрицательной — нет: это среднее квадратов, а квадраты неотрицательны. Нулю — да, ровно тогда, когда все значения ряда одинаковы.
12. Сумма отклонений равна $\sum x_i-n\bar{x}$. Но $\sum x_i=n\bar{x}$ по определению среднего, поэтому разность равна нулю.

Итог

• Размах $R=x_{\max}-x_{\min}$ считается мгновенно, но видит только края ряда.
• Отклонения $d_i=x_i-\bar{x}$ показывают положение каждого значения относительно среднего; их сумма всегда равна нулю.
• Дисперсия $S^2$ — среднее квадратов отклонений; она учитывает все значения и позволяет сравнивать разброс рядов с одинаковым средним.
• Сдвиг данных не меняет разброс, а растяжение в $k$ раз увеличивает размах в $k$ раз, а дисперсию — в $k^2$ раз.

Дальше — практикум: соберём события, дерево и разброс в один разбор случайного опыта.

← Дерево испытаний · Дальше: практикум →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным