5.5 Практикум: маршрут дрона

9 класс · Геометрия◷ 70–90 минут · можно по станциям◇ Смешанная практикаНужно знать: уроки 5.1–5.4

Дрон обследует поле. Ангар стоит в точке $A(0;0)$, одна клетка плана — $10$ метров.

Сначала дрон летит на вектор $\vec p_1(6;8)$ и оказывается в точке $B$, затем на вектор $\vec p_2(8;-6)$ и оказывается в точке $C$. Нужно проверить план: хватит ли дальности связи, под каким углом дрон повернул и как разметить вторую площадку зеркально первой.

◎ После урока ты сможешь

• переводить условие задачи в векторы и координаты и обратно
• различать длину пути и длину перемещения
• проверять перпендикулярность и находить углы вычислением
• применять движения для построения симметричной разметки

Станция 1. Перемещения

Сложи два вектора этапов и посмотри, куда приведёт замыкающая стрелка.

Лаборатория векторов

Действия с векторами на решётке

Все стрелки строятся по введённым координатам: рисунок нельзя «подогнать» под ответ.

задача

СложениеВычитаниеУмножение на число

a: координата x6

−+

От −8 до 8, шаг 1

a: координата y8

−+

От −8 до 8, шаг 1

b: координата x8

−+

От −8 до 8, шаг 1

b: координата y−6

−+

От −8 до 8, шаг 1

Координата x вектора a + b

Координата y вектора a + b

Проверить

?

Найди координаты вектора a + b и введи их в поля ниже.Складывать и вычитать координаты нужно по отдельности: отдельно x, отдельно y.

Квадрат длины считается точно: |a|² = 100, |b|² = 100.

↺ Вернуть пример

Путь и перемещение — разные числаРазбираем вместе

Длины этапов: $|\vec p_1| = \sqrt{36+64} = 10$ и $|\vec p_2| = \sqrt{64+36} = 10$ клеток. Значит, дрон пролетел $20$ клеток, то есть $200$ м.

Итоговое перемещение — сумма векторов:

$\vec{AC} = \vec p_1 + \vec p_2 = (6+8;\ 8-6) = (14;2).$

Его длина: $AC = \sqrt{14^2+2^2} = \sqrt{200} = 10\sqrt2 \approx 14{,}1$ клетки, то есть примерно $141$ м.

Путь $200$ м, перемещение $\approx141$ м. Разница появилась потому, что дрон повернул: если бы он летел по прямой, числа совпали бы.

Станция 2. Координаты и зона связи

Ангар держит связь на расстоянии до $12$ клеток. Значит, зона уверенного приёма — круг:

$x^2+y^2 = 144.$

Проверять принадлежность точки удобно без корней: сравниваем $x^2+y^2$ с числом $144$.

Кто внутри, кто снаружиРазбираем вместе

Точка $B(6;8)$: $36+64 = 100 < 144$ — внутри зоны.

Точка $C(14;2)$: $196+4 = 200 > 144$ — вне зоны. До ангара оттуда $\sqrt{200}\approx14{,}1$ клетки, а связь берёт только $12$.

Значит, вторую точку съёмки придётся приблизить или поставить ретранслятор. Например, в середине отрезка $AC$ — в точке $M\left(\dfrac{0+14}{2};\ \dfrac{0+2}{2}\right) = M(7;1)$.

Станция 3. Курсы и углы

Найди скалярное произведение курса и направления на север $\vec n(0;1)$ — оно подскажет угол отклонения.

Лаборатория скалярного произведения

Знак произведения и угол между векторами

Дуга угла и перпендикуляр строятся по вычисленным координатам, а не рисуются «на глаз».

задача

Знак произведенияКосинус и уголПроекция

a: координата x6

−+

Целое число от -8 до 8

a: координата y8

−+

Целое число от -8 до 8

b: координата x0

−+

Целое число от -8 до 8

b: координата y1

−+

Целое число от -8 до 8

Скалярное произведение a · bПроверить

?

Найди скалярное произведение векторов a (6; 8) и b (0; 1).Перемножь одноимённые координаты и сложи результаты. Ответ — целое число.

↺ Вернуть пример

✦ Ноль как ответ

Для двух курсов дрона $\vec p_1(6;8)$ и $\vec p_2(8;-6)$ произведение равно $6\cdot8+8\cdot(-6) = 0$. Это значит, что дрон повернул ровно на $90°$ — и проверить это удалось арифметикой, без транспортира и без чертежа.

Станция 4. Симметричная разметка

Вторую площадку размечают зеркально первой. Посмотри, как ведут себя координаты стенда $P(3;2)$ при отражениях.

Лаборатория координатной плоскости

Адрес точки: сначала x, затем y

В записи (x; y) первая координата задаёт горизонтальное движение, вторая — вертикальное.

(x; y)

Координаты точкиОтраженияМаршрут

Координата x 3

−+

От −6 до 6, шаг 0,5

Координата y 2

−+

От −6 до 6, шаг 0,5

↑y + 0,5←x − 0,50в начало→x + 0,5↓y − 0,5

относительно Ox(3; 2) → (3; −2)x сохраняется, y меняет знак

относительно Oy(3; 2) → (−3; 2)y сохраняется, x меняет знак

относительно O(3; 2) → (−3; −2)оба знака меняются

⌖

Отражения A: Aₓ(3; −2), Aᵧ(−3; 2), A₀(−3; −2).При отражении относительно оси меняется знак перпендикулярной координаты; относительно начала — знаки обеих.

↺ Вернуть пример

◆ Паспорт результата

Рядом с каждым числом запиши: что оно измеряет (длину, угол, площадь), в каких единицах получено, точное оно или приближённое. Число $\sqrt{200}$ — точное, $14{,}1$ — приближённое, и знак между ними обязан быть $\approx$, а не $=$.

Проверка понимания

Чем длина пути отличается от длины итогового перемещения?

• А. Ничем: это два названия одной величины
• Б. Путь — сумма длин этапов, перемещение — длина суммы векторов; путь никогда не меньше
• В. Перемещение всегда больше пути

Итоговый набор задач

Всюду $A(0;0)$, первый этап — вектор $\vec p_1(6;8)$, второй — вектор $\vec p_2(8;-6)$; одна клетка равна $10$ м.

1. Найди координаты точек $B$ и $C$.
2. Найди длины этапов и общий путь дрона в клетках и в метрах.
3. Найди вектор итогового перемещения $\vec{AC}$ и его длину — точно и приближённо.
4. Проверь вычислением, перпендикулярны ли курсы $\vec p_1$ и $\vec p_2$.
5. Найди координаты середины отрезка $AC$.
6. Запиши уравнение зоны связи (центр $A$, радиус $12$) и определи, попадают ли в неё $B$ и $C$.
7. Найди угол между первым курсом и направлением на север $\vec n(0;1)$.
8. Запиши уравнение прямой $AB$.
9. Каким вектором дрон вернётся из $C$ в ангар? Чему равна сумма всех трёх перемещений?
10. Вторую площадку строят симметрично первой относительно оси $y$. Куда перейдут точки $A$, $B$, $C$?
11. Стенд $P(3;2)$ продублировали поворотом на $90°$ против часовой стрелки вокруг ангара $A$. Найди координаты дубля.
12. Найди расстояние $BC$ и сравни его с длиной второго этапа.
13. Найди площадь треугольника $ABC$ в клетках и в квадратных метрах.
14. Найди угол $\angle ABC$ и объясни, почему ответ можно было предсказать заранее.

Ответы, модели и проверки

1. $B(0+6;\ 0+8) = B(6;8)$; $C(6+8;\ 8-6) = C(14;2)$.
2. $|\vec p_1| = \sqrt{36+64} = 10$ и $|\vec p_2| = \sqrt{64+36} = 10$ клеток; путь $20$ клеток $=200$ м.
3. $\vec{AC} = (14;2)$; $AC = \sqrt{196+4} = \sqrt{200} = 10\sqrt2 \approx 14{,}1$ клетки $\approx 141$ м.
4. $\vec p_1\cdot\vec p_2 = 6\cdot8+8\cdot(-6) = 48-48 = 0$ — курсы перпендикулярны.
5. $M\left(\dfrac{0+14}{2};\ \dfrac{0+2}{2}\right) = M(7;1)$.
6. $x^2+y^2 = 144$. Для $B$: $36+64 = 100 < 144$ — внутри. Для $C$: $196+4 = 200 > 144$ — снаружи.
7. $\vec p_1\cdot\vec n = 8$, $|\vec p_1| = 10$, $|\vec n| = 1$; $\cos\alpha = 0{,}8$, значит $\alpha \approx 36{,}9°$.
8. Направляющий вектор $(6;8)$ сокращается до $(3;4)$, нормаль — $(4;-3)$, прямая проходит через начало координат: $4x-3y = 0$, то есть $y = \tfrac43 x$.
9. $\vec{CA} = (-14;-2)$. Сумма трёх перемещений равна $\vec 0$: дрон вернулся в исходную точку.
10. При симметрии относительно оси $y$ меняется знак $x$: $A(0;0)$ остаётся на месте, $B_1(-6;8)$, $C_1(-14;2)$.
11. По формуле $(x;y)\mapsto(-y;x)$ получаем $(-2;3)$.
12. $\vec{BC} = (8;-6)$, поэтому $BC = 10$ клеток. Это и есть длина второго этапа: дрон летел из $B$ в $C$ по прямой.
13. Треугольник прямоугольный с катетами $AB = 10$ и $BC = 10$, поэтому $S = \dfrac{10\cdot10}{2} = 50$ клеток$^2$. Одна клетка — $10\times10$ м, то есть $100\text{ м}^2$; значит $S = 5000\text{ м}^2$.
14. $\vec{BA} = (-6;-8)$, $\vec{BC} = (8;-6)$, их произведение $-48+48 = 0$, поэтому $\angle ABC = 90°$. Предсказать можно было по задаче 4: курсы перпендикулярны, а угол между курсами и есть угол поворота в точке $B$.

Рефлексия проекта

1. В каких пунктах ответ получился точным, а где пришлось округлять? По какому признаку это видно сразу?
2. Какую задачу можно решить двумя способами — векторами и «чистой» геометрией? Какой способ оказался короче?
3. Что модель не учитывает: ветер, высоту полёта, время разворота? Как это повлияло бы на длину пути и на длину перемещения?

Возможные ответы: точны все ответы, где корень извлекается ($10$, $50$ клеток$^2$), приближены $\sqrt{200}$ и угол $36{,}9°$. Прямой угол в точке $B$ находится и скалярным произведением, и теоремой, обратной теореме Пифагора ($100+100 = 200$). Модель считает полёт мгновенно ломаной линией: реальный дрон закругляет поворот, поэтому настоящий путь больше $200$ м, а перемещение остаётся прежним.

✦ Мост дальше

Координатный метод не заканчивается плоскостью. Тот же приём — заменить точку набором чисел, а фигуру уравнением — работает и в пространстве, где к паре $(x;y)$ добавляется третья координата, и в физике, где векторами описывают силы и скорости. Формулы длины, середины и скалярного произведения переносятся туда почти без изменений.

← Движения плоскости · К обзору 9 класса →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным