Экспонента и логарифм

11 класс · Алгебра◷ 15–20 минут◇ БазаНужно знать: свойства степеней с целым показателем, корни, геометрическая прогрессия, обратная функция

Вклад под процент, колония бактерий, остывающий чай, распад углерода-14, число просмотров ролика. Разные истории — одна арифметика: за равные промежутки времени величина умножается на одно и то же число.

Такой рост нельзя описать линейной функцией и нельзя описать параболой. Ему нужна собственная модель — показательная функция $y=a^x$. А как только появляется она, немедленно возникает обратный вопрос: сколько шагов нужно, чтобы величина выросла в заданное число раз? Ответ на него и называется логарифмом.

◎ После урока ты сможешь

• вычислять степени с рациональным показателем и переводить их в корни и обратно
• описывать показательную функцию по графику и по формуле и строить модели роста
• понимать логарифм как обратную операцию к возведению в степень и применять его свойства
• читать логарифмическую функцию, её область определения и монотонность
• решать простейшие показательные и логарифмические уравнения и неравенства с учётом ОДЗ

◆ Одно равенство — две записи

Запись $2^5=32$ и запись $\log_2 32=5$ говорят об одном и том же факте. Отличается только то, что считается известным, а что — искомым.

В первой записи известны основание и показатель, а ищется значение. Во второй известны основание и значение, а ищется показатель. Вся глава держится на умении свободно поворачивать это равенство.

Входная диагностика

Отвечай по возможности без калькулятора.

1. Чему равно $2^{-3}$?
2. Чему равно $\left(\dfrac{2}{3}\right)^0$?
3. Упрости $a^7\cdot a^{-4}$ при $a\neq 0$.
4. Чему равен $\sqrt{49}$? А $\sqrt[3]{-27}$?
5. Может ли $3^x$ равняться нулю хотя бы при каком-нибудь $x$?
6. Вклад $1000$ рублей растёт на $10\%$ в год. Какая сумма будет через $2$ года?
7. Что нельзя подставлять в выражение $\dfrac{1}{x-2}$?
8. Точка $(2;7)$ лежит на графике обратимой функции $f$. Какая точка лежит на графике $f^{-1}$?

Ответы для самопроверки

1. $2^{-3}=\dfrac{1}{2^3}=\dfrac{1}{8}$.
2. $1$: любое число, кроме нуля, в нулевой степени даёт единицу.
3. $a^7\cdot a^{-4}=a^{3}$.
4. $\sqrt{49}=7$; $\sqrt[3]{-27}=-3$.
5. Нет. Степень положительного числа всегда положительна.
6. $1000\cdot1{,}1^2=1210$ рублей.
7. Число $2$: знаменатель обратится в ноль.
8. Точка $(7;2)$: координаты меняются местами.

Если пункты 1–3 вызвали заминку, загляни в свойства степеней; если пункт 8 — в обратную функцию.

Договорённости главы

• Основание степени с рациональным показателем считаем строго положительным: $a>0$. Иначе запись $a^{p/q}$ перестаёт быть однозначной, и мы это честно разберём в первом уроке.
• Основание логарифма подчиняется двум условиям: $a>0$ и $a\neq 1$. Под знаком логарифма стоит строго положительное число.
• Решая логарифмическое уравнение или неравенство, ОДЗ выписываем до преобразований, а не после. Проверка ответа подстановкой — часть решения, а не украшение.
• Иррациональные значения вроде $\log_2 5$ оставляем в точном виде. Приближение $\approx$ появляется только тогда, когда нужен реальный ответ «сколько лет» или «сколько граммов».
• Лаборатория показывает, как ведут себя числа, но ничего не доказывает. Доказательство — выкладка.

Маршрут главы

1. Степень с рациональным показателем — что должно означать $a^{1/2}$ и почему выбора у нас нет.
2. Показательная функция — график, монотонность, множество значений и модели роста.
3. Логарифм — обратная операция, основное тождество и четыре рабочих свойства.
4. Логарифмическая функция — область определения, монотонность и логарифмические шкалы.
5. Уравнения и неравенства — базовые типы, замена переменной и обязательное ОДЗ.
6. Практикум — вклад, распад, звук и кислотность в одном наборе задач.

Прогресс главы · хранится в браузере

Начни с первой идеи

0 из 6 уроков отмечено

Начать маршрут →

Начни с вопроса, который выглядит невинно: что вообще означает половина в показателе?