6.5 Практикум: числа, которым можно верить

11 класс · Данные◷ 80–100 минут · можно по станциям◇ БазаНужно знать: уроки 6.1–6.4

Небольшая компания запускает страховку телефонов. Одновременно её производственный цех фасует крупу, а маркетологи заказали опрос о новом тарифе. К вечеру директор должен ответить на четыре вопроса: какую цену поставить, не разорит ли нас неудачный год, останавливать ли линию из-за лёгкой пачки и можно ли писать в пресс-релизе «нас поддерживает большинство».

Ни на один из этих вопросов нельзя ответить одним числом. На каждый — можно ответить парой «число плюс граница надёжности».

◎ После урока ты сможешь

• выбирать инструмент по формулировке вопроса, а не по номеру урока
• доводить расчёт до числа и проверять его вторым способом
• переводить статистический результат в решение и называть его цену
• явно формулировать допущения модели и место, где они могут сломаться

Станция 1. Цена полиса

Ремонт разбитого телефона стоит $12\,000$ ₽. За год телефон разбивает один владелец из двадцати. Компания обещает оплатить ремонт полностью.

Прежде чем считать, назови вслух свою оценку справедливой цены полиса. Затем открой лабораторию: пример со страховкой велосипеда устроен точно так же, только числа другие.

Лаборатория ожидания

Справедливая цена случайной выплаты

Ожидание — это центр тяжести распределения. Назначь цену и посмотри, в какую сторону наклоняется длинная серия повторений.

M(X) = ?

Аттракцион с кубикомНадёжный конвертДжекпотСтраховка велосипеда

Сколько за год выплатит страховая компания. За год велосипед за 20 000 ₽ пропадает у одного владельца из пятидесяти; тогда страховая возмещает всю сумму.

Взнос за полис, ₽ 700Стрелки клавиатуры меняют цену шагом 50 ₽. Цена не влияет на распределение выплаты — она сдвигает только чистый результат.

?

Чему равно M(X) — справедливая цена этой игры в рублях? Можно записать дробью, например 71/2

Проверить

Как складывается ожидание: выплата страховой за год

Исход	Выплата x, ₽	Вероятность p	Вклад x · p	Вклад (x − M)² · p
ничего не случилось	0	49/50	?	?
велосипед пропал	20000	1/50	?	?
Сумма	—	1	?	?

Третий столбец — не выплата и не вероятность, а их произведение: вклад исхода в среднее. Последний столбец устроен так же, но взвешивает квадраты отклонений — из его суммы получается дисперсия.

?

Посчитай сумму произведений x · p, запиши ответ и нажми «Проверить».Подсказка: умножь каждую выплату на её вероятность и сложи все произведения.

↺ Вернуть пример

Справедливая цена и наценкаРазбираем вместе

Выплата $X$ принимает значение $12\,000$ ₽ с вероятностью $\frac{1}{20}$ и $0$ ₽ с вероятностью $\frac{19}{20}$.

Ожидание. $M(X)=12\,000\cdot\frac{1}{20}=600$ ₽ — это чистая цена риска.

Разброс. $M(X^2)=144\,000\,000\cdot0{,}05=7\,200\,000$, поэтому

$D(X)=7\,200\,000-600^2=7\,200\,000-360\,000=6\,840\,000,$

откуда $\sigma(X)=\sqrt{6\,840\,000}\approx2615$ ₽.

Что это значит. Средняя выплата — $600$ ₽, а типичный масштаб отклонения — больше двух с половиной тысяч, вчетверо больше самого среднего. Отдельный полис для компании — почти чистая лотерея.

Цена. Компания ставит $1100$ ₽: $600$ ₽ — риск, $500$ ₽ — работа, налоги и прибыль. Для клиента ожидание отрицательное ($-500$ ₽ в год), и он всё равно покупает — за замену редкого удара в $12\,000$ ₽ на предсказуемый расход.

Станция 2. Почему компания не разорится

Один полис непредсказуем. Десять тысяч полисов — совсем другое дело: здесь работает правило сложения дисперсий из урока 6.2.

Считай сама сумму выплат $S$ по $10\,000$ независимым полисам, а потом сверься с задачами 3 и 4 итогового набора. Вопрос, на который надо выйти: во сколько раз $\sigma$ суммы меньше, чем «сумма сигм»?

◆ Риск в расчёте на один полис тает как корень

Для одного полиса $\dfrac{\sigma}{M}=\dfrac{2615}{600}\approx4{,}36$ — отклонение в четыре с лишним раза больше среднего.

Для суммы $10\,000$ полисов $M(S)=6\,000\,000$ ₽, $\sigma(S)=2615\sqrt{10\,000}=261\,500$ ₽, и то же отношение равно $\dfrac{261\,500}{6\,000\,000}\approx0{,}0436$ — уже около четырёх процентов.

Оно уменьшилось ровно в $\sqrt{10\,000}=100$ раз. Это и есть весь бизнес страхования: риск не исчезает, он делится на корень из числа клиентов.

Станция 3. Контроль линии

Автомат фасует крупу: средний вес пачки $500$ г, стандартное отклонение $4$ г, распределение близко к нормальному. Контролёр выборочно взвешивает пачки.

Прежде чем считать границы, посмотри, откуда вообще берётся колокол на конвейере: вес пачки складывается из множества мелких независимых отклонений дозатора — ровно как сумма очков на восьми кубиках.

Лаборатория нормальной модели

Откуда берётся колокол

Ни кубик, ни монета сами по себе на колокол не похожи. Увеличивай число слагаемых и смотри, как форма распределения суммы меняется сама собой.

σ = 4,83

Сумма очков на кубикахЧисло успехов в серии

Сколько кубиков складываем 8От 1 до 8. Один кубик даёт ровную «полку», два — «крышу», а дальше начинается колокол.

Бросают 8 независимых кубиков и складывают очки. Всего 1679616 равновозможных цепочек граней, но суммы получаются далеко не равновозможными.

Полосы вокруг среднего: точный расчёт против нормальной модели

Полоса	Границы	Точная вероятность	Приближённо	Нормальная модель
M ± 1σ	23,17 … 32,83	269677/419904	0,6422	0,6827
M ± 2σ	18,34 … 37,66	14815/15552	0,9526	0,9545
M ± 3σ	13,51 … 42,49	93169/93312	0,9985	0,9973

Точные вероятности вычислены по распределению, без всякого нормального приближения: сравнение $(x-M)^2\le k^2D$ обходится без извлечения корня. Последний столбец — то, что обещает модель; расхождение показывает, насколько модель уже пригодна.

σ

M(X) = 28, D(X) = 70/3, σ(X) = 4,83. В полосу M ± σ попадает 64,2 % вероятности, в M ± 2σ — 95,3 %, в M ± 3σ — 99,9 %.Кривая нигде не совпадает со столбиками точно: нормальная модель — приближение, а не истина. Чем больше независимых слагаемых, тем ближе картинка к колоколу и тем ближе три числа к 68 %, 95 % и 99,7 %.

↺ Вернуть пример

Границы контроля ставят на $\mu\pm3\sigma$. Пачка вне этих границ — сигнал остановить линию и проверить настройку; пачка внутри — обычное колебание, каким бы «некруглым» ни выглядел её вес.

Станция 4. Опрос и пресс-релиз

Опрос $1600$ случайно выбранных клиентов: новый тариф поддержали $46\%$.

Маркетологи предлагают заголовок: «Почти половина клиентов уже за новый тариф». Юрист просит проверить, не будет ли это введением в заблуждение. Посчитай границу ошибки и реши, какая формулировка честна, а какая — нет.

◆ Паспорт результата

Рядом с каждым числом в отчёте запиши четыре вещи: что именно измерено, в каких единицах, точное это значение или оценка и какая у него граница ошибки. Плюс строку «допущения модели».

Число без паспорта нельзя ни проверить, ни защитить на совещании. Именно эта строка отличает статистику от гадания.

Станция 5. Опасный график

Аналитик приносит диаграмму: по районам города число аистиных гнёзд и число новорождённых связаны с коэффициентом $r\approx0{,}95$. Подпись: «Данные подтверждают народную примету».

Найди настоящее объяснение и сформулируй, какой эксперимент (хотя бы мысленный) мог бы отличить причину от совпадения.

Проверка понимания

Компания продала 10 000 независимых полисов. Ожидаемая выплата по одному — 600 ₽, σ одного полиса — около 2615 ₽. Чему примерно равно σ суммарной выплаты?

• А. Около 26 150 000 ₽: сигмы складываются
• Б. Около 261 500 ₽: складываются дисперсии, поэтому σ растёт как √n
• В. Около 2615 ₽: разброс не зависит от числа полисов

Итоговый набор задач

1. Ремонт стоит $12\,000$ ₽ и требуется с вероятностью $0{,}05$. Найди $M$ выплаты и справедливую цену полиса.
2. Найди $D$ и $\sigma$ выплаты по одному полису двумя способами.
3. Компания продала $10\,000$ полисов по $1100$ ₽. Найди собранную сумму и ожидаемую суммарную выплату.
4. Найди $\sigma$ суммарной выплаты и проверь, покрывают ли собранные деньги выплату с запасом в три сигмы.
5. Два поставщика везут упаковку в среднем за $3$ дня: у первого $\sigma=0{,}5$ дня, у второго $\sigma=2$ дня. Кого выбрать, если груз нужен строго к пятому дню, и почему ожидания здесь бесполезны?
6. Автомат фасует пачки: $\mu=500$ г, $\sigma=4$ г. Назови границы контроля в три сигмы.
7. Какая доля пачек легче $492$ г?
8. За смену выпущено $5000$ пачек. Сколько примерно окажется за пределами трёх сигм?
9. Опрос $1600$ клиентов дал $46\%$ поддержки. Найди границу ошибки и запиши интервал.
10. Какой из заголовков корректен: «почти половина клиентов за», «поддержка составляет $46\%$», «большинство против нового тарифа»?
11. Сколько клиентов нужно опросить, чтобы граница ошибки составила $\pm1{,}5$ пункта?
12. По районам города число аистиных гнёзд и число новорождённых дают $r\approx0{,}95$. Назови общую причину и способ проверки.

Ответы, проверки и модели

1. $M=12\,000\cdot0{,}05=600$ ₽; справедливая цена полиса — те же $600$ ₽.
2. По определению: $D=0{,}95\cdot600^2+0{,}05\cdot11\,400^2=342\,000+6\,498\,000=6\,840\,000$. Через квадраты: $D=0{,}05\cdot12\,000^2-600^2=7\,200\,000-360\,000=6\,840\,000$. Ответы совпали, $\sigma=\sqrt{6\,840\,000}\approx2615$ ₽.
3. Собрано $10\,000\cdot1100=11\,000\,000$ ₽; ожидаемая выплата $10\,000\cdot600=6\,000\,000$ ₽. Ожидаемая прибыль до расходов — $5\,000\,000$ ₽.
4. Полисы независимы, поэтому $D(S)=10\,000\cdot6\,840\,000=68\,400\,000\,000$ и $\sigma(S)=2615\cdot100\approx261\,500$ ₽. Три сигмы — около $784\,500$ ₽, значит выплата почти наверняка не превысит $6\,000\,000+784\,500=6\,784\,500$ ₽. Это заметно меньше собранных одиннадцати миллионов: запас есть.
5. Первого. Пятый день отстоит от среднего на $2$ дня: у первого поставщика это $4\sigma$ (практически исключено), у второго — всего $1\sigma$ (опоздания будут регулярными). Ожидания у поставщиков одинаковые и потому не различают их вовсе.
6. $500\pm3\cdot4$, то есть от $488$ до $512$ г.
7. $492=500-2\cdot4$; вне двух сигм остаётся $4{,}55\%$, слева половина — около $2{,}3\%$ пачек.
8. Вне трёх сигм — около $0{,}27\%$: примерно $5000\cdot0{,}0027\approx13$ пачек за смену. Их появление само по себе не означает поломки.
9. $\sigma_{\hat p}=\sqrt{\frac{0{,}46\cdot0{,}54}{1600}}=\sqrt{\frac{0{,}2484}{1600}}\approx0{,}0125$, значит $\Delta\approx2{,}5$ пункта и интервал примерно $43{,}5\%\ldots48{,}5\%$.
10. Корректен второй, и то с оговоркой: «поддержка составляет $46\%\pm2{,}5$ пункта». Первый заголовок выдаёт оценку за точное значение и округляет в выгодную сторону. Третий формально согласуется с данными (весь интервал ниже $50\%$), но «против» и «не поддержали» — разные вещи: часть респондентов могла не определиться.
11. $n\ge\frac{1}{0{,}015^2}=\frac{1}{0{,}000225}\approx4444{,}4$, значит нужно опросить не меньше $4445$ человек. Обрати внимание на цену точности: чтобы улучшить результат с $2{,}5$ до $1{,}5$ пункта, выборку пришлось увеличить почти втрое.
12. Общая причина — размер и характер района: в крупных сельских районах и людей больше, и мест для гнёзд больше. Проверка: сравнить районы одинаковой численности населения — связь исчезнет. Доказать причинность наблюдением нельзя в принципе, нужен эксперимент со случайным распределением.

Рефлексия проекта

1. Где в этом практикуме ответ был точным числом, а где — только интервалом? Почему разница именно такая?
2. Какую задачу ты проверил вторым способом и совпали ли ответы?
3. Какое допущение сломается первым: независимость полисов, нормальность веса пачки или случайность отбора в опросе?

Возможные ответы: ожидания и дисперсии вычислены точно, потому что распределения заданы полностью, а всё, что опирается на выборку или на нормальную модель, честно записывается интервалом. Задача 2 проверяется формулой $D=M(X^2)-\bigl(M(X)\bigr)^2$, задача 4 — сравнением $\sigma(S)$ с $\sigma\sqrt{n}$. Первым обычно ломается предположение о независимости: массовое падение телефонов в один гололёд или общий сбой дозатора сразу нарушают расчёт, и именно такие «общие причины» разоряют страховые компании чаще, чем неудачная цена.

✦ Мост дальше: чем заканчивается курс 6–11

Посмотри, какой путь пройден. В шестом классе число было ответом: сколько получится. В седьмом и восьмом появилась буква — и ответом стало правило, годное сразу для всех чисел. В девятом и десятом ответом стала функция: не одно значение, а закон связи. В одиннадцатом производная и интеграл описали изменение и накопление, а последняя глава добавила то, чего не было нигде раньше, — честную границу собственного незнания.

Именно поэтому глава о статистике стоит в конце. Все предыдущие инструменты отвечают на вопрос «сколько», и только этот отвечает на вопрос «насколько я в этом уверен». Взрослая работа с числом состоит из обоих ответов: сначала расчёт, потом его границы и допущения.

Формулы забудутся — и это нормально, их всегда можно найти. Останется привычка: увидев число, спросить, откуда оно, что именно измерено, какова погрешность и какое допущение сделано молча. Эта привычка и есть математика, ради которой стоило проходить весь путь.

← Выборка, ошибка и честные выводы · К обзору 11 класса →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным