Комбинаторика

9 класс · Вероятность◷ 15–20 минут◇ БазаНужно знать: классическая вероятность, дерево испытаний, действия с дробями, степени

В 8 классе вероятность считали так: выписывали все исходы и делили. Пока исходов шесть или тридцать шесть, способ работает. Но в лотерее «пять номеров из тридцати шести» исходов почти четыреста тысяч, а в задаче «сколько разных составов команды можно собрать из класса» их столько, что список не поместится ни на одну доску.

Комбинаторика решает ровно эту проблему: она даёт формулы для числа вариантов — чтобы считать, не выписывая. А как только число исходов найдено, классическая вероятность снова работает: $P=\dfrac{m}{n}$, где и $m$, и $n$ посчитаны формулами.

Вторая половина главы — про повторяющиеся испытания. Стрелок стреляет пять раз, ученик отвечает наугад на десять вопросов, прибор из шести блоков работает или ломается. Число попаданий заранее неизвестно, но у каждого его значения есть своя вероятность — и эту таблицу можно вычислить целиком.

◎ После урока ты сможешь

• выбирать между правилом суммы и правилом произведения по условию задачи
• считать перестановки, размещения и сочетания и различать их по роли порядка
• пользоваться формулой C(n, k), её симметрией и треугольником Паскаля
• применять формулу Бернулли к серии независимых испытаний
• строить таблицу распределения случайной величины и проверять её суммой

◆ Главный вопрос комбинаторики

Перед любой формулой ответь на два вопроса: важен ли порядок и можно ли брать объект дважды. Ответы на них определяют формулу; всё остальное — арифметика.

«Три призёра с местами» и «трое в жюри» — это одни и те же люди, но разные задачи: в первой порядок важен, во второй нет.

Входная диагностика

Ответь до чтения главы; на всё уйдёт минут пять.

1. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр $1$, $2$, $3$, если цифры разрешено повторять?
2. Сколько различных пар можно составить из $5$ человек, если порядок в паре не важен?
3. Из $12$ одинаковых на ощупь карточек событию $A$ благоприятны $4$. Чему равна $P(A)$?
4. Вычисли $\left(\dfrac{2}{3}\right)^3$.
5. Вычисли $1-\left(\dfrac{5}{6}\right)^2$.
6. Сколько исходов у одновременного броска двух различимых кубиков?
7. Сократи дробь $\dfrac{12}{30}$.
8. В мешке $3$ белых и $2$ чёрных шара. Чему равна вероятность вынуть белый?

Ответы для самопроверки

1. $3\cdot3=9$ — правило умножения.
2. $\dfrac{5\cdot4}{2}=10$: каждая пара иначе была бы посчитана дважды.
3. $P(A)=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}$.
4. $\dfrac{8}{27}$.
5. $1-\dfrac{25}{36}=\dfrac{11}{36}$.
6. $6\cdot6=36$ пар.
7. $\dfrac{12}{30}=\dfrac{2}{5}$.
8. $\dfrac{3}{5}$.

Если задание 2 вызвало заминку, загляни в перебор вариантов: вся глава вырастает именно из него.

Договорённости главы

• Число вариантов — всегда целое неотрицательное число. Дробный ответ означает ошибку в модели, а не «половину варианта».
• Вероятность записываем обыкновенной дробью и сокращаем; десятичное приближение ставим рядом со знаком $\approx$.
• Формула $P=\dfrac{m}{n}$ применяется только к равновозможным исходам. Комбинаторика помогает посчитать $m$ и $n$, но не отменяет проверку равновозможности.
• В каждой задаче сначала словами описываем, что считаем одним вариантом, и только потом берём формулу.
• Сумма вероятностей в таблице распределения равна $1$ — это бесплатная проверка любого ответа.

Маршрут главы

1. Правила подсчёта — правило суммы, правило произведения и выбор между ними.
2. Перестановки и размещения — факториал, $P_n=n!$ и $A_n^k$, когда порядок важен.
3. Сочетания — формула $C_n^k$, её симметрия и треугольник Паскаля.
4. Схема Бернулли — серия независимых испытаний и распределение числа успехов.
5. Практикум — турнир, лотерея и серия испытаний в одном разборе.

Прогресс главы · хранится в браузере

Начни с первой идеи

0 из 5 уроков отмечено

Начать маршрут →

Начни с двух правил подсчёта: на них держатся все остальные формулы главы.