У чисел есть устройство

6 класс◷ 10–15 минут◇ БазаНужно знать: умножение и деление натуральных чисел

Число можно видеть не только как точку на прямой. Его можно собирать прямоугольниками, раскладывать на простые «кирпичики», делить на равные группы и сравнивать с ритмами других чисел.

В этой главе мы исследуем внутреннее устройство натуральных чисел. Именно оно объясняет, почему дроби сокращаются и откуда берётся общий знаменатель.

◎ После урока ты сможешь

• различать делитель, кратное, частное и остаток
• быстро проверять делимость по записи числа
• раскладывать число на простые множители
• понимать НОД как наибольшее число одинаковых наборов или общий размер части, а НОК как первое совпадение ритмов

◆ О чём договоримся

В этой главе натуральные числа — это $1,2,3,\ldots$, а делители считаем положительными. В списках будем писать положительные кратные $a,2a,3a,\ldots$ Число $0=a\cdot0$ тоже кратно любому натуральному $a$, но НОК по определению — наименьшее положительное общее кратное.

Входная диагностика

Ответь без калькулятора. Здесь важна не скорость, а объяснение.

1. Можно ли разложить $24$ предмета в равные ряды по $7$ предметов без остатка?
2. Назови все пары натуральных множителей числа $18$.
3. Какой остаток получится при делении $53$ на $8$?
4. Делится ли число $4716$ на $3$? А на $9$?
5. Почему число $1$ не называют простым?
6. Какое наибольшее число одинаковых наборов можно сделать из $12$ красных и $18$ синих деталей без остатка?
7. Два сигнала повторяются каждые $6$ и $8$ секунд. Через сколько секунд они впервые совпадут снова?

Ответы для самопроверки

1. Нет: $24=7\cdot3+3$.
2. $1\cdot18$, $2\cdot9$, $3\cdot6$.
3. $5$, потому что $53=8\cdot6+5$.
4. Сумма цифр равна $18$: число делится и на $3$, и на $9$.
5. У простого числа ровно два натуральных делителя, а у $1$ только один.
6. $6$ наборов: НОД$(12,18)=6$.
7. Через $24$ секунды: НОК$(6,8)=24$.

✦ Одна глава — две будущие операции с дробями

НОД отвечает на вопрос «на сколько можно сократить?», а НОК — «какой общий знаменатель выбрать?». Поэтому эта глава стоит перед дробями, хотя её идеи будут возвращаться ещё много раз.

Маршрут главы

1. Делители и кратные — строим все прямоугольники числа.
2. Остаток — описываем то, что не поместилось в равные группы.
3. Признаки делимости — читаем делимость прямо по цифрам.
4. Простые числа — находим арифметические «атомы».
5. НОД — собираем наибольшее число одинаковых комплектов.
6. НОК — ищем первое совпадение расписаний.
7. Практикум — выбираем нужную идею в смешанных задачах.

Прогресс главы · хранится в браузере

Начни с первой идеи

0 из 7 уроков отмечено

Начать маршрут →

Начни с прямоугольников и делителей.