4.1 Галерея графиков

8 класс · Алгебра◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: координатная плоскость, линейная функция, модуль, квадрат числа, квадратный корень

Три обычные ситуации, и ни одна из них не описывается прямой.

• Дистанция $60$ км: время в пути $t=\dfrac{60}{v}$. Вдвое большая скорость — вдвое меньшее время.
• Квадратная плитка со стороной $a$: площадь $S=a^2$. Сторона выросла в $3$ раза — площадь в $9$ раз.
• Отклонение от нормы: важно не «в какую сторону», а «на сколько», то есть $y=|x|$.

Линейная функция описывать такое не умеет. Нужны новые формы — и их всего несколько, зато узнавать их надо мгновенно.

◎ После урока ты сможешь

• узнавать графики y = k/x, y = x², y = √x и y = |x| по форме
• находить область определения и область значений по формуле и по рисунку
• читать по графику нули функции, промежутки возрастания и убывания, симметрию
• объяснять, за что отвечает коэффициент k в каждой из четырёх формул

Прогноз до вычислений

Запиши предположения — потом проверишь их в лаборатории.

1. У функций $y=x^2$ и $y=|x|$ значения совпадают при $x=1$. А при $x=2$ они совпадут?
2. Может ли график $y=\dfrac{1}{x}$ пересечь ось $y$?
3. Как выглядит график $y=\sqrt{x}$ слева от нуля?

Эксперимент: четыре формы на одной сетке

Сетка честная: одна клетка — одна единица по каждой оси. Переключай семейство и меняй коэффициент $k$; следи, что меняется, а что остаётся неизменным.

Галерея графиков

Четыре формы, которые нужно узнавать сразу

Переключай семейство и меняй коэффициент k. Следи, что остаётся неизменным: форма, область определения и симметрия.

y = 4/x

Обратная пропорциональностьКвадратичная функцияКвадратный кореньМодуль

Коэффициент k 4

−+

От −6 до 6, шаг 0,5; ноль запрещён

Все четыре формулы записаны с одним и тем же коэффициентом: y = 4/x. Знак k отражает график, а модуль k растягивает его по вертикали.

Таблица значений для y = 4/x

x	−4	−2	−1	1	2	4
y	−1	−2	−4	4	2	1

Область определениявсе числа, кроме нуляКакие x вообще можно подставить.

Область значенийвсе числа, кроме нуляКакие y встречаются на графике.

Нули функциинулей нет: дробь с ненулевым числителем не равна нулюГде график пересекает ось x.

Симметрияцентральная симметрия относительно начала координатЧто видно, если сложить рисунок пополам.

Возрастание и убываниеветви лежат в I и III четвертях; на каждом из промежутков (−∞; 0) и (0; +∞) функция убываетКуда идёт график слева направо.

Формагипербола — две отдельные ветвиКак называют эту линию.

ƒ

y = 4/x: гипербола — две отдельные ветви.Область определения: все числа, кроме нуля. Область значений: все числа, кроме нуля. ветви лежат в I и III четвертях; на каждом из промежутков (−∞; 0) и (0; +∞) функция убывает.

↺ Вернуть пример

Вывод эксперимента: знак $k$ отражает график, модуль $k$ растягивает его по вертикали, а форма линии и область определения от $k$ не зависят.

Четыре формулы и четыре формы

∴ Обратная пропорциональность

Функцию вида

$y=\frac{k}{x},\qquad k\neq 0,$

называют обратной пропорциональностью. Её график — гипербола: две отдельные ветви, которые бесконечно приближаются к осям, но никогда их не касаются.

Область определения: все числа, кроме нуля. Область значений: все числа, кроме нуля. Нулей у функции нет. Центр симметрии — начало координат.

При $k>0$ ветви лежат в I и III четвертях, при $k<0$ — во II и IV.

∴ Квадрат, корень и модуль

• $y=x^2$ — парабола с вершиной в $(0;0)$. Определена при любом $x$, значения $y\geqslant 0$, симметрична относительно оси $y$; убывает на $(-\infty;\ 0]$ и возрастает на $[0;\ +\infty)$.
• $y=\sqrt{x}$ — половина параболы, лежащая на боку. Определена только при $x\geqslant 0$, значения $y\geqslant 0$, возрастает на всей области определения — но всё медленнее.
• $y=|x|$ — уголок из двух лучей с вершиной в $(0;0)$. Определена при любом $x$, значения $y\geqslant 0$, симметрична относительно оси $y$.

У всех трёх ровно один нуль: $x=0$.

◆ Одна подсказка на все четыре формулы

В записях $y=\dfrac{k}{x}$, $y=kx^2$, $y=k\sqrt{x}$ и $y=k|x|$ подстановка $x=1$ даёт $y=k$. Поэтому коэффициент читается по графику в одном и том же месте: смотри на точку с абсциссой $1$.

Строим гиперболу y = 6/xРазбираем вместе

Берём удобные значения аргумента — делители числа $6$.

$x$	$1$	$2$	$3$	$6$
$y$	$6$	$3$	$2$	$1$

Точки $(1;6)$, $(2;3)$, $(3;2)$, $(6;1)$ дают правую ветвь. Левая получается центральной симметрией: $(-1;-6)$, $(-2;-3)$, $(-3;-2)$, $(-6;-1)$.

Проверка формы: произведение координат любой точки постоянно, $xy=6$. Значит, ни $x$, ни $y$ не могут быть нулём — график не пересекает осей.

Кто быстрее растёт: x² или |x|Разбираем вместе

Сравним значения на $[0;\ +\infty)$.

При $x=0{,}5$: $x^2=0{,}25$, а $|x|=0{,}5$. Квадрат меньше.

При $x=1$: $x^2=1$ и $|x|=1$. Значения равны.

При $x=2$: $x^2=4$, а $|x|=2$. Квадрат больше.

Вывод: на промежутке $(0;\ 1)$ парабола идёт ниже уголка, а при $x>1$ — выше. Точки $x=0$ и $x=1$ — общие. Ответ на первый вопрос прогноза: при $x=2$ значения не совпадают.

Обратная задача: узнать функцию по картинке

Формула спрятана. Сначала прочитай ответ по рисунку — форма подскажет семейство, а точка с абсциссой $1$ подскажет $k$. Потом нажми «Проверить».

Галерея графиков

Узнай функцию по её графику

Сетка честная: одна клетка — одна единица по каждой оси. Сначала прочитай ответ по рисунку, потом нажми «Проверить».

y = ?

График № 1 из 6Следующий график

Моё семейство функции

Обратная пропорциональностьКвадратичная функцияКвадратный кореньМодуль

Мой k — значение функции при x = 1

Проверить

?

Назови семейство функции и коэффициент k.Подсказка одна на все четыре формулы: k равен значению функции при x = 1.

↺ Вернуть пример

Проверка понимания

График какой функции состоит из двух отдельных ветвей и не пересекает ни одну из осей?

• А. y = x²
• Б. y = |x|
• В. y = 4/x

! Три ловушки галереи

Первая: считать, что гипербола «касается» осей. Она подходит к ним сколь угодно близко, но точки пересечения нет ни одной: $\dfrac{k}{x}$ не равно нулю ни при каком $x$.

Вторая: искать $\sqrt{x}$ при отрицательном $x$. Слева от нуля графика просто нет — это не ошибка рисунка, а область определения.

Третья: путать $-x^2$ и $(-x)^2$. При $x=3$ первое равно $-9$, второе равно $9$: в первом случае в квадрат возводят только $x$, во втором — всё выражение вместе со знаком.

Практика

1. Найди значение функции $y=\dfrac{12}{x}$ при $x=-4$.
2. Принадлежит ли точка $(3;4)$ графику функции $y=\dfrac{12}{x}$?
3. Найди значение функции $y=x^2$ при $x=-7$.
4. Найди значения функции $y=\sqrt{x}$ при $x=25$ и при $x=2{,}25$.
5. Найди значение функции $y=|x|$ при $x=-3{,}5$.
6. Назови область определения каждой из функций $y=\dfrac{5}{x}$, $y=x^2$, $y=\sqrt{x}$, $y=|x|$.
7. Какая из функций $y=\dfrac{5}{x}$, $y=x^2$, $y=|x|$ принимает отрицательные значения?
8. Сравни $x^2$ и $|x|$ при $x=0{,}5$ и при $x=3$.
9. График функции $y=\dfrac{k}{x}$ проходит через точку $(2;-6)$. Найди $k$.
10. Назови нули функций $y=x^2$, $y=|x|$, $y=\sqrt{x}$ и $y=\dfrac{3}{x}$.
11. Какая из функций убывает на всей своей области определения: $y=\sqrt{x}$ или $y=-\sqrt{x}$?
12. В каких четвертях лежат ветви гиперболы $y=-\dfrac{8}{x}$?

Ответы и пояснения

1. $y=\dfrac{12}{-4}=-3$.
2. Да: $\dfrac{12}{3}=4$, и ордината точки тоже равна $4$.
3. $y=(-7)^2=49$.
4. $\sqrt{25}=5$; $\sqrt{2{,}25}=1{,}5$, потому что $1{,}5^2=2{,}25$.
5. $y=|-3{,}5|=3{,}5$.
6. Все числа, кроме нуля; любое число; $x\geqslant 0$; любое число.
7. Только $y=\dfrac{5}{x}$: при $x<0$ дробь отрицательна. У двух других значения $y\geqslant 0$.
8. При $x=0{,}5$: $0{,}25<0{,}5$, квадрат меньше. При $x=3$: $9>3$, квадрат больше.
9. Подставим точку: $-6=\dfrac{k}{2}$, откуда $k=-12$.
10. У первых трёх ровно один нуль $x=0$; у $y=\dfrac{3}{x}$ нулей нет.
11. $y=-\sqrt{x}$: множитель $-1$ отражает график вниз, и функция убывает при $x\geqslant 0$.
12. Во II и IV: коэффициент $k=-8$ отрицателен, поэтому у точек графика $x$ и $y$ разных знаков.

Итог

• Четыре формы стоит узнавать сразу: гипербола, парабола, половина лежащей параболы и уголок.
• Область определения читается по формуле: деление запрещает ноль, корень запрещает отрицательные числа.
• По графику видно всё остальное: нули, область значений, возрастание, убывание и симметрия.
• Коэффициент $k$ во всех четырёх формулах читается в одной точке — при $x=1$.

Область определения мы записывали словами: «все числа, кроме нуля», «$x\geqslant 0$». Дальше научимся записывать такие множества коротко — промежутками.

← Вход в тему · Дальше: числовые промежутки →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным