2.2. Сложение дробей

6 класс · Дроби◷ 35–40 минут◇ БазаНужно знать: равные дроби и НОК

Для макета понадобилось $\frac23$ метра синей ленты и $\frac14$ метра жёлтой. Сколько ленты использовали всего?

Складывать «две части и одну часть» пока нельзя: треть и четверть имеют разный размер. Сначала нужно научиться описывать обе длины одинаковыми долями метра.

◎ После урока ты сможешь

• объяснять, почему при сложении выравнивают знаменатели
• находить наименьший общий знаменатель двух дробей
• складывать и вычитать дроби, сокращая результат

Сначала предскажи

Оцени сумму $\frac23+\frac14$ без точного вычисления. Она меньше $\frac34$, равна $\frac34$ или больше $\frac34$?

Поскольку $\frac23>\frac12$, то

$\frac23+\frac14>\frac12+\frac14=\frac34.$

Значит, результат точно больше $\frac34$. Эта оценка пригодится для проверки.

Лаборатория общего знаменателя

Складываем части одного размера

Меняй дроби: модель сама найдёт наименьший общий знаменатель.

живой расчёт

Числитель A 2

Знаменатель A 3

Числитель B 1

Знаменатель B 4

23 + 14=812 +312= 1112

Первая дробь: 8 из 12 частей

Вторая дробь: 3 из 12 частей

+

Общий знаменатель — 12.Складываем 8 + 3 = 11. Ответ уже несократим.

Почему знаменатели не складываются

Если доли одинаковы, мы просто считаем их количество:

$\frac{3}{11}+\frac{5}{11}=\frac{8}{11}.$

Размер части — одна одиннадцатая — не изменился, поэтому знаменатель остался $11$.

Если бы мы записали $\frac{3+5}{11+11}=\frac8{22}$, то одновременно сделали бы каждую часть вдвое мельче. Получилась бы совсем другая величина.

∴ Смысл сложения дробей

Сначала вырази обе величины частями одного размера. Затем сложи количество этих частей. После этого сократи дробь и, если удобно, выдели целую часть.

Как выбрать общий знаменатель

Произведение знаменателей всегда подойдёт, но часто оно избыточно. Удобнее найти их наименьшее общее кратное.

Для знаменателей $3$ и $4$ это число $12$:

$\frac23=\frac8{12},\qquad \frac14=\frac3{12}.$

Теперь складываем двенадцатые:

$\frac8{12}+\frac3{12}=\frac{11}{12}.$

Ответ согласуется с прогнозом: $\frac{11}{12}>\frac34$ и при этом сумма меньше целого метра.

Как найти НОК, если разложение на множители ещё не знакомо?

Выпиши несколько кратных большего знаменателя и остановись на первом, которое делится на меньший. Для $8$ и $12$ получаем: $12,24,36,\ldots$ Первое число, которое делится на $8$, — это $24$. Значит, НОК$(8,12)=24$.

Сложим 5/6 и 7/15Разбираем вместе

Шаг 1. Находим наименьшее общее кратное знаменателей:

НОК равно $30$:

$\operatorname{\text{НОК}}(6,15)=30.$

Шаг 2. Определяем дополнительные множители:

$30:6=5,\qquad 30:15=2.$

Шаг 3. Приводим и складываем:

$\frac56+\frac7{15}=\frac{25}{30}+\frac{14}{30}=\frac{39}{30}.$

Шаг 4. Сокращаем на $3$ и при желании выделяем целую часть:

$\frac{39}{30}=\frac{13}{10}=1\frac3{10}.$

Как быстро проверить ответ?

$\frac56$ немного меньше $1$, а $\frac7{15}$ немного меньше $\frac12$. Сумма около $1{,}3$, поэтому $1\frac3{10}$ выглядит разумно. Ответ меньше $1$ или больше $1\frac12$ был бы подозрительным.

Общая формула

Если буквы обозначают числа, а $b\ne0$ и $d\ne0$, общий знаменатель $bd$ даёт:

$\frac ab+\frac cd=\frac{ad}{bd}+\frac{bc}{bd}=\frac{ad+bc}{bd}.$

Формула верна, но в конкретных примерах НОК обычно приводит к меньшим числам. Например, для знаменателей $6$ и $15$ формула сразу дала бы знаменатель $90$, хотя достаточно $30$.

Проверка понимания

Чему равна сумма 2/9 + 1/6?

• А. 3/15 = 1/5
• Б. 5/18
• В. 7/18

Вычитание устроено так же

Вычитание тоже требует одинакового размера частей:

$\frac78-\frac5{12}=\frac{21}{24}-\frac{10}{24}=\frac{11}{24}.$

Полезная проверка: результат положителен, потому что $\frac78>\frac5{12}$, и меньше $\frac78$, потому что мы вычли положительное число.

! Ловушка: остановиться слишком рано

Равенство $\frac14+\frac5{12}=\frac8{12}$ ещё не окончательный ответ. Дробь $\frac8{12}$ сокращается до $\frac23$. Всегда проверяй общий делитель числителя и знаменателя.

Четыре типа удобных знаменателей

1. Одинаковые знаменатели: ничего искать не нужно.
2. Один знаменатель делится на другой: выбирай больший. Например, для $\frac34+\frac5{12}$ достаточно знаменателя $12$.
3. Есть общий множитель, но ни один знаменатель не делится на другой: ищи НОК. Для $12$ и $8$ это $24$, а не произведение $96$.
4. Взаимно простые знаменатели: НОК равен произведению. Для $7$ и $10$ это $70$.

Практика

Вычисли и сократи

1. $\frac7{12}+\frac5{18}$
2. $\frac{11}{15}-\frac7{20}$
3. $2\frac16+1\frac5{12}$
4. $3-\frac7{10}$

Построй модель

5. За первый час турист прошёл $\frac38$ пути, а за второй — $\frac5{12}$. Какую часть пути он прошёл? Осталось ли больше четверти?
6. В сосуде было $2\frac12$ литра воды. Из него вылили $\frac34$ литра. Сколько осталось?

Объясни или исследуй

7. Найди ошибку: $\frac25+\frac13=\frac{2+1}{5+3}=\frac38$. Покажи по оценке, что ответ невозможен.
8. Подбери две разные единичные дроби, сумма которых равна $\frac12$.

Ответы и разбор

1. НОК$(12,18)=36$: $\frac{21}{36}+\frac{10}{36}=\frac{31}{36}$.
2. НОК$(15,20)=60$: $\frac{44}{60}-\frac{21}{60}=\frac{23}{60}$.
3. $3+\frac2{12}+\frac5{12}=3\frac7{12}$.
4. $\frac{30}{10}-\frac7{10}=\frac{23}{10}=2\frac3{10}$.
5. $\frac38+\frac5{12}=\frac9{24}+\frac{10}{24}=\frac{19}{24}$. Осталось $\frac5{24}<\frac14$.
6. Чтобы вычесть три четверти, занимаем целую часть: $2\frac12=2\frac24=1\frac64$. Тогда $1\frac64-\frac34=1\frac34$ литра.
7. Оба слагаемых положительны, а $\frac25$ уже больше $\frac38$, поэтому сумма не может быть меньше первого слагаемого. Верно: $\frac25+\frac13=\frac6{15}+\frac5{15}=\frac{11}{15}$.
8. Например, $\frac13+\frac16=\frac12$.

Итог

• Знаменатель описывает размер части; при сложении этот размер должен совпадать.
• НОК даёт самый удобный общий знаменатель, хотя любой общий кратный математически подходит.
• Оценка до вычислений и сокращение после него — две обязательные проверки.

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным