1.2 Показательная функция

11 класс · Алгебра◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: степень с рациональным показателем, геометрическая прогрессия, монотонность функции

Лист бумаги толщиной $0{,}1$ мм складывают пополам. Один раз — $0{,}2$ мм, два — $0{,}4$ мм. Складываем $42$ раза.

Почти все на этот вопрос отвечают «несколько метров» или «ну, может, километр». Правильный ответ: около $440\,000$ км — это расстояние до Луны с запасом. Ошибка интуиции здесь не случайна: мы привыкли к линейному росту, а тут работает совсем другой механизм.

◎ После урока ты сможешь

• описывать свойства функции y = a в степени x по формуле и по графику
• различать возрастание при основании больше единицы и убывание при основании от нуля до единицы
• сравнивать степени с одинаковым основанием, опираясь на монотонность
• строить показательные модели роста и убывания и считать по ним

Прогноз до вычислений

1. Что больше: $2^{10}$ или $10^2$?
2. Что больше: $2^{3}$ или $3^{2}$?
3. Может ли график функции $y=2^x$ пересечь ось $x$?
4. Как ты думаешь, начиная с какого целого $x$ значение $2^x$ становится больше $x^2$ и уже никогда не отстаёт?

Запиши свои ответы, прежде чем открывать лабораторию. Пункты 2 и 4 обычно оказываются сюрпризом.

Эксперимент: три вида роста в одном окне

Высота окна подобрана под степенную и линейную функции. Показательная кривая в него просто не помещается — и это не дефект рисунка, а суть дела.

Лаборатория роста

Показательный рост против степенного и линейного

Меняй основание и показатель степени. Следи не за первыми числами, а за тем, кто выигрывает в конце.

y = 2ˣ

a = 1,5a = 2a = 3

y = xy = x²y = x³

y = 5xy = 10xy = 20x

Значения трёх функций при чётных x от 0 до 12; жирным выделено наибольшее число в столбце

x	0	2	4	6	8	10	12
2ˣ	1	4	16	64	256	1024	4096
x²	0	4	16	36	64	100	144
10x	0	20	40	60	80	100	120

Обгон навсегдаx = 5Начиная с этого целого значения показательная функция больше степенной при всех следующих x.

Множитель за шаг2 разаПоказательная функция умножается на одно и то же число при каждом шаге в единицу — это и есть её отличие.

Выход за окноx ≈ 7,307Высота окна подобрана под степенную и линейную функции — показательная в неё просто не помещается.

↗

При x = 12: 2^12 = 4096, x² = 144, 10x = 120.Начиная с x = 5 неравенство 2ˣ > x² выполняется уже для всех целых x. До этого момента степенная функция может лидировать — и именно поэтому «на глаз» первые значения обманывают.

↺ Вернуть пример

Обрати внимание на карточку «Обгон навсегда». При $y=2^x$ и $y=x^2$ она показывает $x=5$: до этого момента парабола честно лидирует, а после — отстаёт навсегда. Переключи степень на $x^3$ — точка обгона сдвинется, но никуда не исчезнет.

Определение и свойства

∴ Показательная функция

Пусть $a>0$ и $a\neq 1$. Функция

$y=a^{x}$

называется показательной с основанием $a$.

Её свойства:

• область определения — все числа: $D(y)=\mathbb{R}$;
• множество значений — только положительные числа: $E(y)=(0;+\infty)$;
• график проходит через точку $(0;1)$ при любом допустимом $a$;
• при $a>1$ функция возрастает, при $0<a<1$ — убывает;
• ось $x$ — горизонтальная асимптота: график подходит к ней сколь угодно близко, но не касается;
• функция монотонна на всей области определения, поэтому обратима.

Случай $a=1$ исключён специально: $1^x=1$ при любом $x$, это обычная постоянная функция, и ничего показательного в ней нет. Случай $a\leqslant 0$ исключён определением из прошлого урока.

✦ Главное следствие монотонности

Раз функция строго монотонна, каждое своё значение она принимает ровно один раз. Отсюда рабочее правило, на котором держится весь урок 1.5:

$a^{x_1}=a^{x_2}\ \Longleftrightarrow\ x_1=x_2\qquad (a>0,\ a\neq 1).$

И правило сравнения: при $a>1$ большему показателю отвечает большее значение, а при $0<a<1$ — наоборот, меньшее.

Ещё одно наблюдение из лаборатории: графики $y=2^x$ и $y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^x$ симметричны относительно оси $y$. Это видно и из формулы: $\left(\dfrac{1}{2}\right)^x=2^{-x}$, а замена $x$ на $-x$ — это как раз отражение относительно оси $y$, знакомое по преобразованиям графиков.

Сравнение без вычисленийРазбираем вместе

Что больше: $3^{\sqrt2}$ или $3^{1{,}4}$?

Основание $3>1$, значит функция возрастает, и сравнивать надо показатели. Так как $\sqrt2\approx1{,}41421>1{,}4$, получаем $3^{\sqrt2}>3^{1{,}4}$.

Что больше: $0{,}3^{-2}$ или $0{,}3^{-3}$?

Основание $0{,}3<1$, функция убывает: большему показателю отвечает меньшее значение. Так как $-2>-3$, получаем $0{,}3^{-2}<0{,}3^{-3}$.

Проверим числами: $0{,}3^{-2}=\dfrac{1}{0{,}09}\approx11{,}1$, а $0{,}3^{-3}=\dfrac{1}{0{,}027}\approx37{,}0$. Всё сходится.

Модели роста и убывания

Показательная функция появляется всюду, где за равные промежутки времени величина умножается на одно и то же число. Это ровно та же идея, что и в геометрической прогрессии, только время теперь непрерывно.

◆ Две рабочие формулы

Рост в разы. Если начальное значение равно $N_0$, а за единицу времени величина умножается на $a$, то

$N(t)=N_0\cdot a^{t}.$

Рост в процентах. Если величина растёт на $p\%$ за период, то $a=1+\dfrac{p}{100}$; если убывает на $p\%$, то $a=1-\dfrac{p}{100}$.

Период полураспада. Если за время $T$ величина уменьшается вдвое, то

$m(t)=m_0\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}.$

Вклад под сложный процентРазбираем вместе

На счёт положили $5000$ рублей под $8\%$ годовых с ежегодной капитализацией. Сколько будет через $10$ лет?

Множитель за год: $a=1+0{,}08=1{,}08$. Значит

$S(10)=5000\cdot 1{,}08^{10}.$

Считаем степень последовательными квадратами: $1{,}08^2=1{,}1664$, затем $1{,}08^4=1{,}1664^2\approx1{,}36049$, затем $1{,}08^8\approx1{,}36049^2\approx1{,}85093$. Осталось домножить на $1{,}08^2$:

$1{,}08^{10}\approx1{,}85093\cdot1{,}1664\approx2{,}15892.$

Ответ: $S(10)\approx5000\cdot2{,}15892\approx10\,795$ рублей.

Сравни с наивным подсчётом «$8\%$ за год, значит $80\%$ за десять лет», который дал бы $9000$ рублей. Разница почти $1800$ рублей — это и есть вклад сложного процента, подробно разобранный в 9 классе.

РаспадРазбираем вместе

Период полураспада изотопа равен $8$ суткам. Взяли $40$ г. Сколько останется через $24$ суток?

За $24$ суток укладывается $\dfrac{24}{8}=3$ периода, поэтому

$m=40\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=40\cdot\frac{1}{8}=5\ \text{г}.$

Важно: величина уменьшается, но никогда не обращается в ноль — множество значений показательной функции не содержит нуля. Физически это означает, что модель перестаёт работать, когда атомов остаётся совсем мало.

Проверка понимания

Каково множество значений функции y = 5 в степени x?

• А. Все числа
• Б. Все неотрицательные числа, то есть [0; +∞)
• В. Все положительные числа, то есть (0; +∞)

! 2 в степени x и x в квадрате — разные функции

Записи $2^x$ и $x^2$ путают постоянно, и на маленьких числах ошибка почти не видна: при $x=2$ обе дают $4$, при $x=4$ обе дают $16$.

Но при $x=10$: $2^{10}=1024$, а $10^2=100$. При $x=20$: $2^{20}=1\,048\,576$, а $20^2=400$.

Разница принципиальна. У степенной функции $x^2$ переменная стоит в основании, у показательной $2^x$ — в показателе. Первая при удвоении аргумента растёт вчетверо, вторая при увеличении аргумента на единицу удваивается — и именно поэтому в конце концов обгоняет любую степень.

Вторая половина ошибки — вывод «показательная функция всегда больше». Нет: при $x=3$ имеем $2^3=8<9=3^2$. Обгон случается, но не сразу.

Практика

1. Найди область определения и множество значений функции $y=3^x$.
2. Через какую точку проходят графики всех функций $y=a^x$?
3. Возрастает или убывает функция $y=0{,}4^x$?
4. Сравни $2^{3{,}1}$ и $2^{3{,}5}$.
5. Сравни $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2}$ и $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-1}$.
6. Сравни $5^{0}$ и $5^{-0{,}2}$.
7. Имеет ли корни уравнение $4^{x}=-2$?
8. Реши уравнение $2^{x}=1$.
9. Колония из $500$ бактерий удваивается каждый час. Сколько бактерий будет через $6$ часов?
10. Вклад $20\,000$ рублей положили под $6\%$ годовых. Какая сумма будет через $5$ лет? Округли до копеек.
11. Период полураспада вещества — $5$ суток, взяли $64$ г. Сколько останется через $15$ суток?
12. При каких целых $x$ от $1$ до $5$ выполняется неравенство $2^{x}>x^{2}$?
13. Что общего у графиков $y=2^{x}$ и $y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}$ и чем они различаются?
14. Автомобиль дешевеет на $15\%$ в год. Какую долю от начальной цены он будет стоить через $3$ года?

Ответы и пояснения

1. $D(y)=\mathbb{R}$, $E(y)=(0;+\infty)$.
2. Через точку $(0;1)$: $a^0=1$ при любом допустимом основании.
3. Убывает: основание $0{,}4$ лежит между нулём и единицей.
4. $2>1$, функция возрастает, $3{,}1<3{,}5$, поэтому $2^{3{,}1}<2^{3{,}5}$.
5. Основание $\dfrac13<1$, функция убывает, и из $-2<-1$ следует $\left(\dfrac13\right)^{-2}>\left(\dfrac13\right)^{-1}$. Числами: $9>3$.
6. $5>1$, функция возрастает, $0>-0{,}2$, поэтому $5^{0}>5^{-0{,}2}$. Числами: $1>5^{-0{,}2}$, ведь любое отрицательное значение показателя даёт число меньше единицы.
7. Не имеет: $E(y)=(0;+\infty)$, отрицательные значения недостижимы.
8. $2^{x}=2^{0}$, значит $x=0$ — единственный корень по монотонности.
9. $500\cdot2^{6}=500\cdot64=32\,000$ бактерий.
10. $20\,000\cdot1{,}06^{5}$. Считаем: $1{,}06^2=1{,}1236$, $1{,}06^4\approx1{,}26248$, $1{,}06^5\approx1{,}33823$. Ответ $\approx26\,764{,}51$ рубля.
11. За $15$ суток укладывается $3$ периода: $64\cdot\left(\dfrac12\right)^3=8$ г.
12. $x=1$: $2>1$ — верно. $x=2$: $4=4$ — неверно. $x=3$: $8<9$ — неверно. $x=4$: $16=16$ — неверно. $x=5$: $32>25$ — верно. Ответ: $x=1$ и $x=5$.
13. Общее: обе проходят через $(0;1)$, обе принимают только положительные значения, у обеих ось $x$ — асимптота. Различие: первая возрастает, вторая убывает. Так как $\left(\dfrac12\right)^x=2^{-x}$, графики симметричны относительно оси $y$.
14. Множитель за год $0{,}85$, поэтому доля равна $0{,}85^{3}=0{,}614125$, то есть примерно $61{,}4\%$ начальной цены.

Итог

• Показательная функция $y=a^x$ определена при $a>0$, $a\neq 1$; она принимает все положительные значения и только их.
• При $a>1$ она возрастает, при $0<a<1$ убывает; в обоих случаях она строго монотонна, а значит обратима.
• Сравнение степеней с одинаковым основанием сводится к сравнению показателей — с переворотом знака, если основание меньше единицы.
• Модель $N(t)=N_0\cdot a^{t}$ описывает всё, что за равные промежутки умножается на одно и то же число.

Монотонность даёт больше, чем сравнение. Раз каждое положительное значение достигается ровно один раз, уравнение $a^x=b$ при $b>0$ имеет ровно один корень — даже если этот корень не записывается ни дробью, ни корнем. Значит, ему нужно имя. Это имя — логарифм.

← Степень с рациональным показателем · Дальше: логарифм →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным