Действительные числа

8 класс · Алгебра◷ 15–20 минут◇ БазаНужно знать: площадь квадрата, степень с натуральным показателем, обыкновенные и десятичные дроби

Плиточник знает площадь квадратной плитки и хочет назвать её сторону. Программист рисует квадрат из ста пикселей площади. Столяр вырезает квадратную крышку площадью $2$ дм². Вопрос у всех троих один: какое число, умноженное само на себя, даёт заданную площадь?

Иногда ответ красивый: площадь $16$ — сторона $4$. Но уже для площади $2$ ни одна десятичная дробь не подходит. Не потому, что мы плохо ищем, а потому что такого рационального числа просто нет. В этой главе мы это докажем — и научимся работать с числами, которые нельзя записать дробью, но можно назвать точно.

◎ После урока ты сможешь

• понимать квадратный корень как сторону квадрата по его площади
• доказывать иррациональность корня из двух и различать рациональные и иррациональные числа
• зажимать корень между двумя числами и находить приближения нужной точности
• применять свойства корней и преобразовывать выражения с корнями
• работать со степенью с целым показателем и записывать в стандартном виде малые числа

◆ Точное значение и приближение — разные ответы

Запись $\sqrt{2}$ точна: это конкретное число, квадрат которого равен $2$. Запись $1{,}41$ — приближение: её квадрат равен $1{,}9881$, а не $2$. Мы будем считать точно, а округлять — в самом конце, честно называя точность и ставя знак $\approx$.

Входная диагностика

Ответь коротко; вычисляй там, где без этого не обойтись.

1. Вычисли $12^2$ и $15^2$.
2. Какое положительное число в квадрате даёт $81$?
3. Вычисли $(-4)^2$ и $-4^2$.
4. Между какими соседними целыми числами лежит $7{,}4$?
5. Найди площадь квадрата со стороной $6$ см.
6. Сократи дробь $\dfrac{18}{24}$.
7. Разложи $72$ на простые множители.
8. Запиши $0{,}7$ обыкновенной дробью.

Ответы для самопроверки

1. $12^2=144$; $15^2=225$.
2. Девять: $9^2=81$.
3. $(-4)^2=16$, а $-4^2=-16$: минус входит в основание только внутри скобок.
4. Между $7$ и $8$.
5. $6\cdot6=36\text{ см}^2$.
6. $\dfrac{18}{24}=\dfrac{3}{4}$.
7. $72=2^3\cdot3^2$.
8. $0{,}7=\dfrac{7}{10}$.

Если какой-то пункт вызвал заминку, загляни в степень с натуральным показателем и действия с дробями — это фундамент главы.

Договорённости главы

• Знак $\sqrt{\phantom{a}}$ всегда означает арифметический квадратный корень: он неотрицателен и определён только для неотрицательных чисел.
• Точный ответ можно оставлять с корнем: $\sqrt{45}$ и $3\sqrt{5}$ — это точные записи одного числа, а $6{,}7$ — приближение.
• Приближение помечаем знаком $\approx$ и всегда называем точность и способ округления.
• Лаборатории считают точно, целыми числами; они не заменяют умение прикинуть ответ в уме и проверить его возведением в квадрат.

Маршрут главы

1. Квадратный корень — сторона квадрата по его площади и два главных тождества.
2. Иррациональные числа — доказываем, что $\sqrt{2}$ не равен никакой дроби, и достраиваем числовую прямую.
3. Оценка и приближения — зажимаем корень между числами и округляем осознанно.
4. Свойства корня — корень произведения и частного, вынесение множителя, преобразования выражений.
5. Степень с целым показателем — нулевой и отрицательный показатель, свойства степеней и стандартный вид малых чисел.
6. Практикум — смешанные задачи про площадку, ограду и мозаику.

Прогресс главы · хранится в браузере

Начни с первой идеи

0 из 6 уроков отмечено

Начать маршрут →

Начни с квадратного корня.