1.4 Композиция функций

10 класс · Алгебра◷ 55–65 минут◇ БазаНужно знать: область определения, преобразования графиков, обратная функция

В магазине действуют две акции: скидка $20\%$ и купон на $500$ рублей. Кассир может применить их в любом порядке — но покупателю это не всё равно.

Товар стоит $3000$ рублей.

• Сначала скидка, потом купон: $0{,}8\cdot3000=2400$, затем $2400-500=1900$ рублей.
• Сначала купон, потом скидка: $3000-500=2500$, затем $0{,}8\cdot2500=2000$ рублей.

Разница — $100$ рублей на ровном месте. Два правила, применённые одно за другим, дают новое правило, и оно зависит от порядка.

◎ После урока ты сможешь

• вычислять значение композиции и записывать её формулу
• находить область определения композиции по двум условиям
• раскладывать сложную функцию на простые звенья
• объяснять, почему порядок звеньев в общем случае менять нельзя

Прогноз до вычислений

1. Для $f(x)=x^2$ и $g(x)=x-3$: совпадут ли $f(g(1))$ и $g(f(1))$?
2. Функции $f(x)=\sqrt{x}$ и $g(x)=x-5$ определены каждая на своём множестве. Какова область определения функции $f(g(x))$?
3. Что получится, если применить функцию, а затем обратную к ней?

Определение

∴ Композиция

Пусть даны функции $g$ и $f$. Композицией называют функцию

$(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr).$

Сначала работает внутренняя функция $g$, её результат становится аргументом внешней функции $f$.

Область определения складывается из двух условий сразу: в $D(f\circ g)$ входят те и только те $x$, для которых

$x\in D(g)\qquad\text{и}\qquad g(x)\in D(f).$

Словами: $x$ должен быть допустим для внутренней функции, а результат внутренней функции — допустим для внешней.

Запись читают справа налево, как конвейер: число входит в $g$, выходит преобразованным, входит в $f$, выходит окончательно.

! Композиция — не произведение и не перестановка

Первая ловушка. Запись $f(g(x))$ не имеет отношения к произведению $f(x)\cdot g(x)$. Для $f(x)=x^2$ и $g(x)=x+1$ при $x=2$:

$f(g(2))=f(3)=9,\qquad f(2)\cdot g(2)=4\cdot3=12.$

Вторая ловушка. Порядок менять нельзя. Для тех же функций:

$f(g(x))=(x+1)^2,\qquad g(f(x))=x^2+1.$

При $x=2$ это $9$ и $5$. Совпадение $f(g(x))=g(f(x))$ — редкое исключение, а не правило.

Две композиции из корня и сдвигаРазбираем вместе

Пусть $f(x)=\sqrt{x}$ и $g(x)=x-5$.

Внешняя — корень.

$f\bigl(g(x)\bigr)=\sqrt{x-5}.$

Условия: $x$ допустим для $g$ (это любое число) и $g(x)\in D(f)$, то есть $x-5\geqslant 0$. Значит $D=[5;+\infty)$.

Внешняя — сдвиг.

$g\bigl(f(x)\bigr)=\sqrt{x}-5.$

Условия: $x\geqslant 0$ для корня, а дальше вычитать $5$ можно из чего угодно. Значит $D=[0;+\infty)$.

Проверим в точке $x=9$:

$f(g(9))=\sqrt{4}=2,\qquad g(f(9))=3-5=-2.$

Разные формулы, разные области определения, разные значения.

Разложение сложной функции

Обратная задача встречается ещё чаще: дана громоздкая формула, и нужно увидеть в ней конвейер. Это пригодится и при построении графиков, и позже — при вычислении производной.

Разбираем формулы на звеньяРазбираем вместе

Два звена. Функция $y=(2x+1)^3$ разбирается так: внутренняя $u=2x+1$, внешняя $y=u^3$. Проверка: подставляем внутреннюю в внешнюю и получаем исходную формулу.

Три звена. Функция

$y=\frac{1}{\sqrt{x+4}}$

собирается из трёх шагов: $u=x+4$, затем $v=\sqrt{u}$, затем $y=\dfrac{1}{v}$.

Область определения ищем по цепочке: под корнем нужно $x+4\geqslant 0$, а в знаменателе корень не должен обращаться в ноль, поэтому $x+4\neq 0$. Вместе:

$x+4>0,\qquad D=(-4;+\infty).$

Обрати внимание: ни одно из двух условий по отдельности правильного ответа не даёт.

Эксперимент: преобразование графика — это композиция

Запись $y=a\cdot f\bigl(k(x-m)\bigr)+n$ из прошлого урока — тоже конвейер, просто из трёх звеньев:

$x\ \xrightarrow{\ u=k(x-m)\ }\ u\ \xrightarrow{\ v=f(u)\ }\ v\ \xrightarrow{\ y=av+n\ }\ y.$

Первое звено — линейная функция внутри, второе — эталон, третье — линейная функция снаружи. Меняй параметры и смотри на список шагов под графиком: это и есть разложенная композиция.

Лаборатория преобразований

Четыре ручки над любым эталоном

Пунктир — эталон, он не двигается никогда. Меняй по одной ручке за раз и следи, что случилось со сплошной линией, с D(f) и с E(f).

y = a·f(k(x − m)) + n

y = xy = x²y = x³y = |x|y = √xy = 1/x

ЭталонВправо на 3Вниз на 4Отражение по оси xОтражение по оси yСжатие к оси y вдвоеРастяжение от оси x вдвоеВсё сразу

Множитель a 2−3−2−1−0,50,5123Растягивает по вертикали; при a < 0 отражает относительно оси x.

Множитель k 1−2−1−0,50,512Сжимает по горизонтали в |k| раз; при k < 0 отражает относительно оси y.

Сдвиг m −3−5−4−3−2−1012345Стоит внутри скобки со знаком минус: вправо при m > 0.

Сдвиг n −4−5−4−3−2−1012345Прибавляется в конце: вверх при n > 0.

y = x²→y = 2·(x + 3)² − 4

Спрятать эталон y = x²

1. 1

   y = x²Эталон, от которого идём.

2. 2

   y = (x + 3)²Сдвиг вдоль оси x на 3 влево.

3. 3

   y = 2·(x + 3)²Значение умножили на 2: растяжение от оси x в 2 раз.

4. 4

   y = 2·(x + 3)² − 4Сдвиг вдоль оси y на 4 вниз.

Область определениялюбое числоКакие x вообще можно подставить.

Область значенийy ⩾ −4Какие y встречаются на графике.

Чётностьни чётная, ни нечётнаяни чётная, ни нечётная.

ƒ

y = 2·(x + 3)² − 4: D(f): любое число, E(f): y ⩾ −4.ни чётная, ни нечётная. Опорная точка (0; 0) эталона перешла в (−3; −4).

↺ Вернуть пример

Композиция и обратная функция

Равенство из прошлого урока теперь читается одной строкой:

$f^{-1}\bigl(f(x)\bigr)=x\ \text{ при }x\in D(f),\qquad f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=x\ \text{ при }x\in E(f).$

Композиция функции с обратной даёт тождественную функцию $y=x$ — ту, которая ничего не меняет. Именно поэтому обратную функцию и называют обратной: она отменяет действие исходной.

Проверка понимания

Даны f(x) = 1/x и g(x) = x − 2. Какова область определения функции f(g(x))?

• А. x ≠ 0
• Б. x ≠ 2
• В. Любое число

Практика

Всюду ниже $f(x)=x^2$, $g(x)=2x-1$, $h(x)=\sqrt{x}$.

1. Вычисли $f(g(2))$.
2. Вычисли $g(f(2))$.
3. Запиши формулу $f(g(x))$.
4. Запиши формулу $g(f(x))$.
5. Запиши формулу $g(g(x))$.
6. Запиши формулу $h(g(x))$ и найди её область определения.
7. Запиши формулу $g(h(x))$ и найди её область определения.
8. Вычисли $f(h(9))$.
9. Разложи на два звена функцию $y=\sqrt{3x-7}$ и найди её область определения.
10. Разложи на два звена функцию $y=\dfrac{1}{x^2+1}$ и найди её область определения.
11. Для $p(x)=x+4$ найди $p(p(x))$.
12. Для $q(x)=\dfrac{1}{x}$ найди $q(q(x))$ и укажи область определения.
13. Найди область определения функции $y=\sqrt{\dfrac{1}{x-3}}$.
14. Товар стоит $a$ рублей. Запиши формулу итоговой цены для порядка «скидка $20\%$, затем купон $500$ рублей» и для обратного порядка. При какой цене результаты совпадут?

Ответы и пояснения

1. $g(2)=3$, поэтому $f(g(2))=9$.
2. $f(2)=4$, поэтому $g(f(2))=2\cdot4-1=7$.
3. $f(g(x))=(2x-1)^2$.
4. $g(f(x))=2x^2-1$. Сравни с предыдущим ответом: формулы разные.
5. $g(g(x))=2(2x-1)-1=4x-3$.
6. $h(g(x))=\sqrt{2x-1}$; условие $2x-1\geqslant 0$ даёт $D=[0{,}5;+\infty)$.
7. $g(h(x))=2\sqrt{x}-1$; условие $x\geqslant 0$ даёт $D=[0;+\infty)$.
8. $h(9)=3$, поэтому $f(h(9))=9$.
9. Внутренняя $u=3x-7$, внешняя $y=\sqrt{u}$; условие $3x-7\geqslant 0$ даёт $D=\left[\dfrac{7}{3};+\infty\right)$.
10. Внутренняя $u=x^2+1$, внешняя $y=\dfrac{1}{u}$; так как $x^2+1\geqslant 1$, знаменатель никогда не равен нулю и $D$ — все числа.
11. $p(p(x))=(x+4)+4=x+8$.
12. $q(q(x))=\dfrac{1}{1/x}=x$, но только при $x\neq 0$: исходная функция в нуле не определена.
13. Нужны два условия сразу: $\dfrac{1}{x-3}\geqslant 0$ и $x-3\neq 0$. Дробь неотрицательна при $x-3>0$, поэтому $D=(3;+\infty)$.
14. Первый порядок: $0{,}8a-500$. Второй порядок: $0{,}8(a-500)=0{,}8a-400$. Разность равна $100$ рублям при любой цене, поэтому результаты не совпадут никогда.

Итог

• Композиция $f(g(x))$ — конвейер: сначала внутренняя функция, потом внешняя.
• Область определения композиции требует двух условий сразу: $x\in D(g)$ и $g(x)\in D(f)$.
• Порядок звеньев менять нельзя: $f(g(x))$ и $g(f(x))$ — в общем случае разные функции.
• Композиция функции с обратной даёт тождественную функцию $y=x$.

Теперь у нас есть весь словарь главы. Осталось научиться пользоваться им вместе: в практикуме предстоит собрать полный паспорт незнакомой функции — от области определения до обратной.

← Обратная функция · Дальше: практикум →

Закончил урок?

Отметь прогресс — регистрация не нужна.

Отметить пройденным